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*§5　数学归纳法
最新课程标准 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 学科核心素养 1.了解数学归纳法原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(逻辑推理、数学运算)
[教材要点]
要点　数学归纳法
(1)概念：用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．
(2)步骤：①证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立；
②假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立．
根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)推证n＝k＋1时可以不用n＝k时的假设．(　　)
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　)
(3)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)
(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)
2．已知f(n)＝＋…＋，则(　　)
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝
3．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)
A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1
B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1
C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1
D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1
4．用数学归纳法证明命题“1＋＋…＋>(n∈N＋，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是__________________．
题型一　证明恒等式
例1　用数学归纳法证明1－＋…＋＝＋…＋(n∈N*)．
方法归纳
用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：
(1)n＝n0时，等式的结构．
(2)n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
跟踪训练1　用数学归纳法证明：
＋…＋＝(n∈N＋)
题型二　证明不等式
例2　用数学归纳法证明：
＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．
方法归纳
用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝k＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个k值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立，得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、放缩法等．
跟踪训练2　求证：＋…＋＞(n≥2，n∈N*)．
题型三　证明猜想
例3　在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3.
(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．
方法归纳
1．“归纳—猜想—证明”的解题步骤
2．“归纳—猜想—证明”解决的主要问题
(1)已知数列的递推公式，求通项公式或前n项和．
(2)由一些恒等式，不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在．
(3)给出一些简单命题(n＝1，2，3……)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
提醒：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功．③如果猜想出来的结论与正整数n有关，一般用数学归纳法证明．
跟踪训练3　设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n.
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2n·an}的前n项和Sn.
易错辨析　不理解数学归纳法证明问题的实质致误
例4　用数学归纳法证明：＋…＋＝1－(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝1－＝，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，等式成立，
即＋…＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，左边＝＋…＋＝1－＝1－＝右边．
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任意n∈N*都成立．
【易错警示】
出错原因 纠错心得
出错的地方在第二步，有的同学直接利用了等比数列的求和公式求出了当n＝k＋1时，式子＋…＋的和，而没有利用“归纳假设”，不符合数学归纳法证明的步骤． 数学归纳法能对正整数相关的命题予以证明 ，正是因为它的两个步骤；第一步是命题成立的基础，第二步，由n＝k命题成立，推证到n＝k＋1时命题也成立，意思是n为一个正整数成立，那么它为下一个正整数也一定成立，这样才能保证命题对从第一个起始值n0开始的任何正整数都成立，所以，第二步在推证n＝k＋1时命题成立，一定要用到n＝k时命题成立这个作为推证的基础，否则这个“多米诺骨牌”就无法全部倒下去，即对后面无穷尽的正整数命题无法成立．
[课堂十分钟]
1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是(　　)
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
2．在数列{an}中，an＝1－＋…＋，则ak＋1等于(　　)
A．ak＋ B．ak＋
C．ak＋ D．ak＋
3．证明1＋＋…＋>(n∈N*)，假设n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是(　　)
A．1 B．k－1
C．k D．2k
4．已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn＝2n－an(n∈N*)，若已经算出a1＝1，a2＝，则猜想an等于(　　)
A． B．
C． D．
5．已知f(n)＝1＋＋…＋(n∈N*)．用数学归纳法证明f(2n)>，请补全证明过程：
(1)当n＝1时，f(21)＝1＋>；
(2)假设n＝k时命题成立，即f(2k)>，
则当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝f(2k)＋____________________________，
即当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对任意n∈N*，都有f(2n)>成立．
*§5　数学归纳法
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝.故选D.
答案：D
3．解析：因为将式子：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1中n用k＋1替换得：当n＝k＋1时，有1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.故选D.
答案：D
4．解析：因为n≥2，所以第一步要证的是当n＝2时结论成立，即1＋>.
答案：1＋>
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即
1－＋…＋＝＋…＋，
那么当n＝k＋1时，
左边＝1－＋…＋
＝＋…＋
＝＋…＋.
上式表明当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立．
跟踪训练1　证明：(1)当n＝1时，
左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，
所以等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋…＋
＝＝＝
＝＝.
所以当n＝k＋1时，等式也成立，
由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立．
题型二
例2　证明：(1)当n＝2时，左边＝＝，右边＝1－＝.
明显<，所以不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时， 不等式成立，
即＋…＋<1－，
则当n＝k＋1时，
＋…＋<1－
＝1－＝1－<1－＝1－.
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
跟踪训练2　证明：(1)当n＝2时，左边＝＞0＝右边，
∴不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．
即＋…＋＞成立．
那么当n＝k＋1时，＋…＋＋…＋
＞＋…＋>＋…＋
＝＝，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．
题型三
例3　解析：(1)S1＝a1＝得
＝1.因为an>0，所以a1＝1，
由S2＝a1＋a2＝，
得＋2a2－1＝0，所以a2＝－1.
又由S3＝a1＋a2＋a3＝，
得.
解析：(2)猜想an＝(n∈N*)
证明：①当n＝1时，a1＝1＝猜想成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立即ak＝，
则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝，
即ak＋1＝
＝，
所以
(n∈N*)．
跟踪训练3　解析：(1)由题知，a2＝5，a3＝7.
猜想an＝2n＋1.证明如下：
①当n＝1时，显然成立．
②假设当n＝k(k∈N＋)，ak＝2k＋1(k∈N＋)成立，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时也成立，
由①②知an＝2n＋1，猜想成立．
(2)由(1)得2nan＝(2n＋1)2n，
所以Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n.①
从而2Sn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n＋1)×2n＋1.②
①－②得
－Sn＝3×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n＋1)×2n＋1.
所以Sn＝(2n－1)2n＋1＋2.
[课堂十分钟]
1．解析：当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4.故选D.
答案：D
2．解析：a1＝1－，a2＝1－，…，
an＝1－＋…＋，
ak＝1－＋…＋，
所以ak＋1＝ak＋.故选D.
答案：D
3．解析：当n＝k时，不等式左端为1＋＋…＋；当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋…＋＋…＋，增加了＋…＋项，共(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．故选D.
答案：D
4．解析：因为a1＝1，a2＝，
S3＝1＋＋a3＝6－a3，所以a3＝.
同理可得a4＝，观察1，，…，
猜想an＝(或an＝2－)．故选D.
答案：D
5．解析：因为当n＝k时，f(2k)＝1＋＋…＋>.
所以当n＝k＋1时，f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋…＋>＋…＋>＋(＋…＋)＝＝.
答案：＋…＋>＋…＋>＋(＋…＋)＝＝

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