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§2　导数的概念及其几何意义
最新课程标准 通过函数图象直观理解导数的几何意义． 学科核心素养 1.理解导数的概念及其几何意义．(数学抽象) 2．会求导数及理解导数的实际意义．(数学运算、数学抽象) 3．会求曲线的切线方程．(数学运算)
[教材要点]
要点一　导数的概念
设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值y从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝________＝.
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个____________，那么这个值就是函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在点x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝=
要点二　割线的定义
函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．
要点三　切线的定义
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于________，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在________处的切线．
要点四　导数的几何意义
函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的________________．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(　　)
(2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　)
(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　)
(4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　)
2．函数在某一点的导数是(　　)
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
3．设函数y＝f(x)可导，则等于(　　)
A．f′(1)　　　　　　B．3f′(1)
C． D．以上都不对
4．抛物线y＝x2＋4在点(－2，8)处的切线方程为________．
题型一　在某一点处导数的实际意义
例1　建造一幢面积为x m2的房屋需要成本y万元．假设函数y＝f(x)在x＝100处的导数为f′(100)＝0.1，请解释它们的实际意义．
方法归纳
结合实例，明确在实际问题中导数的含义以及需要用导数概念来理解的量．
跟踪训练1　某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，若函数y＝f(x)在x＝27处的导数f′(27)＝，试解释它的实际意义．
题型二　求函数在某点处的导数
例2　利用导数的定义，求函数y＝f(x)＝＋2在点x＝1处的导数．
方法归纳
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的方法
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求＝；
(3)当Δx趋于0时，得f′(x0)．
跟踪训练2　求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
题型三　求曲线在某点处的切线方程
例3　已知曲线C：y＝x3＋，求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程．
方法归纳
求曲线在某点处的切线方程的步骤
(1)求斜率：求出曲线在点(x0，f(x0))处切线的斜率f′(x0)；
(2)写方程：用点斜式y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)写出切线方程；
(3)变形式：将点斜式变为一般式．
跟踪训练3　求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．
易错辨析　对切线的理解不全面致误
例4　已知曲线f(x)＝上的一点P(0，0)，求曲线在点P处的切线方程．
解析：＝＝＝，
当Δx趋于0时，割线的倾斜角无限趋近于，
斜率不存在，故曲线在点P处的切线为y轴，
即切线方程为x＝0.
【易错警示】
出错原因 纠错心得
误认为函数在点P处的导数不存在，则曲线在该点处的切线就不存在． 函数在某点处可导是曲线在该点处存在切线的充分不必要条件．因此，在求曲线上某点处的切线方程时，如果导数不存在，可由切线的定义来求切线方程．
[课堂十分钟]
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x B．2＋Δx
C．2 D．1
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
3．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)
A．0>f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)>f′(xB)>0
4．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝x3＋ax＋3相切于点(1，4)，则a＝________．
5．求曲线f(x)＝x2＋1在点A(1，2)处的切线方程．
§2　导数的概念及其几何意义
新知初探·课前预习
要点一
　固定的值
要点二
斜率
要点三
点A　点A
要点四
切线的斜率
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数．
故选C.
答案：C
3．解析：由f(x)在x＝1处的导数的定义知，应选A.
故选A.
答案：A
4．解析：
＝
＝
＝－4＋Δx
令Δx趋于0，则f′(－2)＝－4，
在点(－2，8)处的切线方程为：y－8＝－4(x＋2)，
即y＝－4x.
答案：y＝－4x
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：f′(100)＝0.1表示建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 000元/m2，也就是说当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 000元．
跟踪训练1　解析：当时间为27 min时，水流量增加的速度为 m3/min，也就是说当时间为27 min时，每增加1 min，水流量增加 m3.
题型二
例2　解析：∵Δy＝
＝
∴＝
当Δx趋于0，知函数f(x)＝＋2在x＝1处的导数为－2，
∴f′(1)＝－2.
跟踪训练2　解析：∵Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
＝2(Δx)2＋16Δx
∴＝＝2Δx＋16.
当Δx趋于0时，＝16，∴f′(3)＝16.
题型三
例3　解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2，4)，
∵＝＝4＋2Δx＋(Δx)2，
∴当Δx趋于0时，
曲线y＝x3＋在x＝2处的导数y′＝4，
∴曲线y＝x3＋在点(－2，－1)处的切线方程为：y－4＝4(x－2)．
即4x－y－4＝0.
跟踪训练3　解析：＝＝＝
当Δx趋于0时，f(x)＝在x＝－2处的导数为f′(－2)＝－，
∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，
即x＋2y＋4＝0.
[课堂十分钟]
1．解析：＝＝2＋Δx，
当Δx趋于0时，函数y＝x2在x＝1处的导数为2.
故选C.
答案：C
2．解析：∵f′(x0)＝0，
∴点(x0，f(x0))处切线的斜率为0.
故选B.
答案：B
3．解析：f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(xA)故选B.
答案：B
4．解析：∵切点(1，4)在曲线y＝x3＋ax＋3上，
∴4＝13＋a＋3，
∴a＝0.
答案：0
5．解析：∵＝＝2＋Δx，
∴当Δx趋于0时，曲线f(x)＝x2＋1在x＝1处的导数为f′(1)＝2，
∴曲线f(x)＝x2＋1在点A(1，2)处的切线方程为：
y－2＝2(x－1)，
即2x－y＝0.

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