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§3　导数的计算
最新课程标准 1.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数． 3．会使用导数公式表． 学科核心素养 1.了解用定义求函数的导数．(数学运算) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．(数学运算) 3．能利用基本初等函数的导数公式解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
[教材要点]
要点一　几个常用函数的导数
函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝x f′(x)＝________
f(x)＝x2 f′(x)＝________
f(x)＝x3 f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
f(x)＝ f′(x)＝________
要点二　基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝________
f(x)＝sin x f′(x)＝________
f(x)＝cos x f′(x)＝________
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ex f′(x)＝________
f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝________
f(x)＝ln x f′(x)＝________
状元随笔　(1)几个基本初等函数导数公式的特点
①正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．
②指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数．
③对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．
(2)函数与其导函数奇偶性的关系
①常数的导数是0.
②奇函数的导函数为偶函数．
③偶函数的导函数为奇函数．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)′＝.(　　)
(2)(log3x)′＝.(　　)
(3)′＝cos .(　　)
(4)若y＝e3，则y′＝e3.(　　)
2．(多选题)下列导数运算正确的是(　　)
A．(ln x)′＝x B．(ax)′＝xax－1
C．(sin x)′＝cos x D．(x－5)′＝－5x－6
3．曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x－y－2＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－2＝0
4．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________．
题型一　利用导数公式求函数的导数
例1　求下列函数的导数
(1)y＝；(2)y＝； (3)y＝log3x；(4)y＝cos .
方法归纳
求简单函数的导数有两种基本方法
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．　
跟踪训练1　(1)(多选题)下列求导运算不正确的是(　　)
A．(cos x)′＝sin x B．′＝ln x
C．′＝xax－1 D．′＝
(2)已知f(x)＝，则f′＝________．
题型二　利用导数公式求函数在某点处的导数
例2　质点的运动方程是s＝sin t，
(1)求质点在t＝时的速度；
(2)求质点运动的加速度．
方法归纳
1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．
2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．
跟踪训练2　(1)求函数f(x)＝在(1，1)处的导数；
(2)求函数f(x)＝cos x在处的导数．
题型三　利用导数公式解决与曲线的切线有关的问题例3　(1)设曲线y＝在点(2，)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A． B．
C．－2 D．2
(2)求曲线y＝在点(1，1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积．
方法归纳
求曲线方程或切线方程时的三点注意
1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
跟踪训练3　已知直线y＝kx是y＝ln x的一条切线，求k的值．
易错辨析　求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致误例4　经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程．
解析：设切点为A(x0，y0)，
∴k＝y′|x＝＝，
故所求的切线方程为：y－y0＝(x－x0)．
又∵A在曲线上，
∴y0＝，
∴切线方程为：＝(x－x0)．
把点(2，8)代入上式得＝(2－x0)，
＋4＝0，
即(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
当x0＝－1时，此时的切线方程为：y＋1＝3(x＋1)，
即3x－y＋2＝0.
当x0＝2时，此时的切线方程为：y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.
【易错警示】
出错原因 纠错心得
误把点(2，8)当作切点，易求的是在点(2，8)处的切线方程，导致漏解． 在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2，8)不一定是切点，做题时要高度关注．
[课堂十分钟]
1．(多选题)下列结论正确的是(　　)
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝2x，则y′＝2x ln 2
D．若y＝3x，则y′＝3
2．若y＝sin x，则(　　)
A． B．－
C． D．－
3．函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为(　　)
A．
B．
C．或
D．或
4．曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是________．
5．当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点．
§3　导数的计算
新知初探·课前预习
要点一
0　1　2x　3x2　－
要点二
0　αxα－1　cos x　－sin x　ax ln a　ex　
[基础自测]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由导数公式得C、D正确．故选CD.
答案：CD
3．解析：y′|x＝0＝ex|x＝0＝1，即切线斜率为1，又切点为A(0，1)，故切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.故选C.
答案：C
4．解析：f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：(1)y′＝(x－2)′＝－2x－3＝－；
(2)y′＝()′＝′＝；
(3)y′＝(log3x)′＝；
(4)∵y＝cos ＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x．
跟踪训练1　解析：(1)(cos x)′＝－sin x，A错误；′＝－，B错误；′＝ax ln a，C错误；′＝，D正确．故选ABC.
(2)f′(x)＝′＝，∴f′＝＝.
答案：(1)ABC　(2)
题型二
例2　解析：　(1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos ＝.
即质点在t＝时的速度为.
(2)∵v(t)＝cos t，
∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t．
跟踪训练2　解析：(1)∵f′(x)＝′＝′＝＝－，
∴f′(1)＝－＝－.
(2)∵f′(x)＝－sin x，
∴f′＝－sin ＝－.
题型三
例3　解析：(1)y′＝()′＝′＝＝，
所以切线的斜率为k＝y′|x＝2＝，
由已知，得－a＝－2，即a＝2，故选D.
(2)∵y′＝′＝，
∴y′|x＝1＝，
∴曲线y＝在(1，1)处的切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，围成的三角形面积为：＝.
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练3　解析：设切点坐标为(x0，y0)．
∵y＝ln x，∴y′＝，∴y′|x＝＝＝k.
∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝ln x上
∴把k＝代入①式得y0＝1，
再把y0＝1代入②式求得x0＝e，
∴k＝＝.
[课堂十分钟]
1．解析：A、C、D正确，B错误，因为y′＝′＝′＝＝－，故选ACD.
答案：ACD
2．解析：∵y′＝(sin x)′＝＝cos ＝，故选A.
答案：A
3．解析：由题意知y′＝－＝－4
解得x＝±
∴y＝±2
即点P或，故选C.
答案：C
4．解析：曲线y＝ln x与x轴的交点为(1，0)．
∵y′＝(ln x)′＝，
∴y′|x＝1＝1，
∴所求切线方程为y＝x－1.
答案：y＝x－1
5．解析：设切点为＋k)．
∵y′＝2x，
∴解得
故当k＝时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为

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