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§4　导数的四则运算法则
最新课程标准 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 学科核心素养 1.会利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．(数学运算) 2．利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)
[教材要点]
要点　导数的运算法则
若函数f(x)，g(x)均为可导函数，则有
导数运算法则 语言叙述
1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x) 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．
2.[f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．
3.[]′＝(g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方．
状元随笔　法则1：函数的和(差)的导数
导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u ′(x)±v ′(x)±…±w ′(x)．
法则2：函数的积的导数
(1)(特殊化)当g(x)＝c(c为常数)时，法则2可简化为[cf(x)]′＝c f ′(x)＋c·[f(x)]′＝0＋cf ′(x)＝cf ′(x)，即 [cf(x)]′＝cf ′(x)．
(2)由上述结论及法则1可得[af(x)＋bg(x)]′＝af ′(x)＋bg ′(x)，其中a，b为常数．
(3)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)×…×w(x)]′＝u ′(x)v(x)×…×w(x)＋u(x)v ′(x)×…×w(x)＋…＋u(x)v(x)×…×w ′(x).
法则3：函数的商的导数
(1)注意[]′≠.
(2)(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝ ，[]′＝－.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知函数y＝2ln x－2x，则y′＝－2x ln 2.(　　)
(2)已知函数y＝3sin x＋cos x，则y′＝3cos x＋sin x．(　　)
(3)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　)
(4)若函数f(x)＝，则f′(x)＝.(　　)
2．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为(　　)
A．1－sin 1　　B．1＋sin 1
C．sin 1－1 D．－sin 1
3．函数y＝sin x·cos x的导数是(　　)
A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________．
题型一　利用求导公式和法则求导
例1　求下列函数的导数
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝x2＋ln x；
(3)y＝x2·sin x；
(4)y＝.
方法归纳
利用导数的公式及运算法则求导的思路
跟踪训练1　(1)(多选题)下列求导运算中正确的是(　　)
A．′＝1＋　　　　B．(lg x)′＝
C．′＝ D．(x2cos x)′＝－2x sin x
(2)求下列函数的导数
①y＝x2－2x－4ln x；②y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
③y＝.
题型二　导数与曲线的切线问题
例2　已知曲线y＝在(2，2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0平行，求实数a的值．
变式探究1　本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．
变式探究2　本例条件不变，求与直线y＝－x平行且与曲线相切的直线方程．
方法归纳
关于函数导数的应用及其解决方法
应用 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
方法 先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
跟踪训练2　(1)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________．
(2)已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R，若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．
易错辨析　不能正确应用导数的运算法则致误
例3　求函数y＝的导数．
解析：∵y＝＝3x－x＋5－，
∴y′＝′
＝)′
＝
＝－1
＝－1.
【易错警示】
出错原因 纠错心得
不对求导的式子进行化简，而是直接利用商的导数公式求解，且误记＝致误． 利用导数的四则运算法则求导时，应先把原式进行恒等变形进行化简或变形，如把乘法转化为加减法，把商的形式化成和差的形式．本题就是把商化成和差求导，这样容易计算．
[课堂十分钟]
1．若f(x)＝x cos x，则f′＝(　　)
A． B．1
C．－ D．－1
2．函数y＝2x(ln x＋1)在x＝1处的切线方程为(　　)
A．y＝4x＋2 B．y＝2x－4
C．y＝4x－2 D．y＝2x＋4
3．(多选题)下列结论中正确的有(　　)
A．若y＝sin ，则y′＝0
B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3
C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)的值等于________．
5．已知函数f(x)＝x3＋x－16
(1)求f′(x)；
(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程．
§4　导数的四则运算法则
[基础自测]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：因为f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A.
答案：A
3．解析：y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.故选B.
答案：B
4．解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，
∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
答案：1
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5.
(2)y′＝(x2＋ln x)′＝(x2)′＋(ln x)′＝2x＋.
(3)y′＝(x2)′sin x＋x2·(sin x)′＝2x sin x＋x2cos x.
(4)y′＝
＝＝.
跟踪训练1　解析：(1)′＝1－，A错误；(lg x)′＝，B正确；′＝，C正确；(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x．故选BC.
(2)①y′＝2x－2－；
②∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11；
③y′＝＝.
答案：(1)BC　(2)见解析
题型二
例2　解析：因为y′＝＝－，
所以y′|x＝2＝－1，
即－＝－1.
所以a＝2.
变式探究1　解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0，
直线方程x＋y＋＝0，
所以所求距离d＝＝.
变式探究2　解析：由例2知y′＝－.
令－＝－1，
得x＝0或2(x＝0舍去)，
所以切线方程为x＋y－4＝0.
跟踪训练2　解析：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得即
解得b＝0，c＝1.
(2)f′(x)＝1－，由导数的几何意义，得f′(2)＝3，
于是a＝－8.
由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，
可得f(2)＝2－＋b＝－2＋b＝7，
解得b＝9，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.
答案：(1)b＝0，c＝1　(2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：因为f′＝cos x－x sin x，所以f′＝－.
故选C.
答案：C
2．解析：由已知y′＝2(ln x＋1)＋2x·＝2ln x＋4，
则y′|x＝1＝4，
又x＝1时，y＝2，
则切线方程为y＝4x－2.
故选C.
答案：C
3．解析：若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确；
若f(x)＝3x2－f′(1)·x，则f′(x)＝6x－f′(1)，
令x＝1，则f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确；
若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确；
若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．
故选ABC.
答案：ABC
4．解析：由f(x)＝x2＋3xf′(2)，得f′(x)＝2x＋3f′(2)，
令x＝2，则f′(2)＝4＋3f′(2)，解得f′(2)＝－2，
答案：－2
5．解析：(1) f′＝3x2＋1
(2)可判定点在曲线y＝f上．
∵f′(x)＝3x2＋1
∴在点处的切线的斜率为k＝f′＝13.
∴切线的方程为y＋6＝13，
即y＝13x－32.

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