资源简介

§7　导数的应用
7．1　实际问题中导数的意义
7．2　实际问题中的最值问题
最新课程标准 运用导数解决一些实际问题． 学科核心素养 1.了解实际问题中导数的意义．(数学抽象) 2．利用导数解决实际问题中的最值问题．(数学建模、数学运算)
[教材要点]
要点一　导数的实际意义
在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以中学物理为例，速度是________关于________的导数，线密度是________关于________的导数，功率是________关于________的导数等．
要点二　最优化问题
在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题．导数是解决最优化问题的一个重要工具．
[基础自测]
1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4 s时的瞬时速度为(　　)
A．12 B．－12
C．4 D．－4
2．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为(　　)
A． B．
C． D．
4．某吊装设备在工作时做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可表示为W(t)＝t3－2t＋6，则在t＝2时此设备的功率为________ W．
题型一　导数在实际问题中的意义
例1　如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t.
(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．
方法归纳
函数在某处的导数的实际意义
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．
2．导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义．
跟踪训练1　已知某商品生产成本c与产量q(0题型二　实际问题中的最值问题
例2　某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(2＋)x万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成关于x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小？
方法归纳
利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练2　某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)
(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大．
题型三　利用导数研究函数的问题
角度1　证明问题
例3　设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
构造函数
g(x)＝ex－x2＋2ax－1.
方法归纳
关于证明问题
首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关，如果有关则转化为相应的问题证明；其次是针对要证明的命题构造函数，再通过构造的函数性质证明，函数的证明问题往往都比较复杂，需要综合应用函数、导数等知识进行构造、转化等方式证明．
角度2　函数的零点问题
例4　若函数f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
方法归纳
已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝ln x＋－a有且只有一个零点，则实数a的值为________．
(2)已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在(0，1)处的切线斜率为－1.
①求a的值及函数f(x)的极值；
②证明：当x>0时，x2易错辨析　求解实际应用问题忽视定义域
例5　现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35 kn，A地与B地之间的航行距离约为500 n mile，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(kn)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解析：(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函数的定义域为(0，35]，即y＝＋300x(0(2)因为y＝＋300x(0所以y′＝－＋300.
令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0，35]，当0所以函数y＝＋300x在区间(0，35]上单调递减，
所以当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
所以为了使全程运输成本最小，轮船应以35 kn的速度行驶．
【易错警示】
出错原因 纠错心得
误认为轮船的最大航行速度是40 kn，但题目中给出了轮船的最大航行速度是35 kn，因此x＝40是取不到的． 解应用题最关键的就是要准确写出数学模型的函数关系式，这其中就包括函数的定义域．求定义域时一定要根据题目的条件，考虑自变量的实际意义．
[课堂十分钟]
1．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的高度变化的速度是(　　)
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为(　　)
A．6 cm B．8 cm
C．10 cm D．12 cm
3．已知函数f(x)＝x3－3x＋m只有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A． B．(－∞，－2)
C． D．
4．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元．已知销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝－x3＋x2＋x(其中x是该产品的月产量，单位：百台，05．设函数f(x)＝ln x－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1< .
§7　导数的应用
7．1　实际问题中导数的意义
7．2　实际问题中的最值问题
新知初探·课前预习
要点一
路程　时间　质量　长度　功　时间
[基础自测]
1．解析：s′(t)＝－4(1－t)．
t＝4 s时，s′(4)＝12.
所以瞬时速度为12.
故选A.
答案：A
2．解析：设其中一个数为x，则另一个数为8－x，y＝x3＋(8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，
令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.
当0≤x≤4时，y′<0；当40.
所以当x＝4时，y最小．
故选B.
答案：B
3．解析：设圆锥的高为x cm，体积为V(x)，则底面半径为 cm，
V(x)＝πx(202－x2)(0∴V′(x)＝π(400－3x2)，令V′(x)＝0，解得x＝.
当00；当∴当x＝时，V(x)取得最大值．
故选D.
答案：D
4．解析：W′(t)|t＝2＝(3t2－2)|t＝2＝10.
答案：10
题型探究·课堂解透
题型一
例1　解析：(1)当t从1 s变到3 s时，功W从W(1)＝11 J变到W(3)＝21 J，此时功W关于时间t的平均变化率为＝＝5 J/s.
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.
(2)根据导数公式和求导法则可得
W′(t)＝3t2－12t＋16，
于是，W′(1)＝7 J/s，W′(2)＝4 J/s.
W′(1)和W′(2)分别表示t＝1 s和t＝2 s时，这个人每秒做的功分别为7 J和4 J．
跟踪训练1　解析：∵f(q)＝p×q－c＝×q－(100＋4q)，
∴f(q)＝－q2＋21q－100(0∴f′(q)＝－q＋21，∴f′(80)＝－×80＋21＝1.
说明产量q＝80时，产量每增加1，利润也增加1.
题型二
例2　解析：(1)设需要新建n个增压站，且(n＋1)x＝720，即n＝－1，
则y关于x的函数关系式为y＝f(x)＝108n＋(n＋1)(2＋)x
＝108×(2＋)x
＝＋720＋1 332；
(2)由(1)知，f(x)＝＋720＋1 332，f′(x)＝－，
令f′(x)＝0，得＝216，解得x＝36，
当0当360，f(x)在区间(36，720)内为增函数，
所以f(x)在x＝36处取得最小值，
此时n＝－1＝19，即需要新建19个增压站才能使y最小．
跟踪训练2　解析：(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以当t＝2时，f(t)max＝4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3.
对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．
当00，即g(x)在[0，2)上单调递增；
当2所以当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝.
故在三百万资金中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样商场由此所增加的收益最大，最大收益为百万元．
题型三
例3　解析：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ↘? 2(1－ln 2＋a) ↗?
故f(x)单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)．
f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)，无极大值．
(2)证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，
所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
例4　解析：由f(x)＝0可得＝，
令k(x)＝(x∈(0，＋∞))，
则函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，即直线y＝与函数k(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，k′(x)＝＝，令k′(x)＝0得x＝2，
当x∈(0，2)时，k′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，k′(x)<0，所以k(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，
所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值为k(2)＝，
因为k(0)＝0，并且当x>2时，>0，
所以当0<<时，k(x)在(0，＋∞)上的图象与直线y＝有两个不同的交点，
即当a>时，函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点．
所以，若函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.
跟踪训练3　解析：(1)由f(x)＝ln x＋－a，(0令f′(x)≥0，解得x≥1，
令f′(x)<0，解得0所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，
在上单调递增，
所以f(x)在x＝1时取得极小值．
所以函数f(x)＝ln x＋－a有且只有一个零点，
只需f(1)＝0，即1－a＝0，解得a＝1.
解析：(2)①由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.
因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，
所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
当x当x>ln 2时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值．
②证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由①得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，
故g(x)在R上单调递增．
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，即x2答案：(1)1　(2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：∵h′＝－200t＋800，
∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．
故选C.
答案：C
2．解析：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意，得V＝x(48－2x)2(0令V′＝0，则在(0，24)内有解x＝8，
故当x＝8时，V有最大值．故选B.
答案：B
3．解析：由函数f(x)＝x3－3x＋m只有一个零点，等价于函数y＝＋3x的图象与y＝m的图象只有一个交点，
∵y＝－x3＋3x，求导y′＝－3x2＋3，令y′＝0，得x＝±1.
当x<－1时，y′<0，函数在(－∞，－1)上单调递减；当－10，函数在(－1，1)上单调递增；当x>1时，y′<0，函数在(1，＋∞)上单调递减；故当x＝－1时，函数取得极小值y＝－2；当x＝1时，函数取得极大值y＝2；
作出函数图象，如图所示，
由图可知，实数m的取值范围是(－∞，－2)
故选B.
答案：B
4．解析：设销售利润为g(x)，依题意可得，
g(x)＝－x3＋x2＋x－1－x＝－x3＋x2－1，x∈(0，8)，
g′(x)＝－x2＋x＝－x(x－6)，
当x∈(0，6)时，g′(x)>0，当x∈(6，8)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，6)单调递增，在(6，8)单调递减，
所以x＝6时，g(x)取得极大值，也是最大值，
所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大．
答案：6
5．解析：(1)函数f(x)＝ln x－x＋1的导数f′(x)＝－1，
由f′(x)>0，可得01，
即有f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)．
(2)当x∈(1，＋∞)时，由(1)可得f(x)＝ln x－x＋1在(1，＋∞)递减，
可得f(x)故有：1< .

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