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章末复习课
考点一　传统文化中的数列问题
1．在以实用为主的古代数学中，数列是研究的热点问题．
2．通过对优秀传统文化的学习，提升学生的数学建模、数学运算素养．
例1　(1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有禀粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗．今有大夫一人后来，亦当禀五斗．仓无粟，欲以衰出之，问各几何？”
现解决如下问题：原有大夫、不更、簪裹、上造、公士5种爵位的人各1人，现增加一名大夫，共计6人，按照爵位共献出5斗粟，其中5种爵位的人所献粟的量成等差数列{an}，其公差d满足d＝－a5，请问6人中爵位为簪裹的人需献出粟的数量是(　　)
A．斗 B．斗
C．1斗 D．斗
(2)中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半．六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为(　　)
A．6里 B．12里
C．24里 D．48里
跟踪训练1　《张丘建算经》中有一道题的大致意思是，有一女子善于织布，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在该女子一个月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺，则该女子第一天织布(　　)
A．3尺 B．4尺
C．5尺 D．6尺
考点二　等差、等比数列的基本运算
(1)计算基本量：将条件利用基本量表示，列出方程(组)求解；
(2)利用性质计算：利用数列的性质转化条件，简化运算，常用的性质有等差(比)中项、数列两项、四项的关系等；
(3)通过对等差、等比数列的基本运算的考查，提升学生的数学运算素养．
例2　(1)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＝7，S3＝S7，则S7－a8＝(　　)
A．24 B．26
C．28 D．30
(2)在正项等比数列{an}中，a2＝1，a3·a5＝16，则的值是(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
跟踪训练2　(1)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a7＋a8＝2 018，则a5＋a6＝(　　)
A．504 B．1 009
C．2 018 D．4 036
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于(　　)
A．11 B．5
C．－8 D．－11
考点三　等差、等比数列的证明
1．等差、等比数列的判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数) {an}是等差数列；＝q(q为常数，q≠0) {an}是等比数列．
(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2 {an}是等差数列；＝an·an＋2(an≠0) {an}是等比数列．
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数) {an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数) {an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) {an}是等比数列．
2．通过对等差数列、等比数列的证明的考查，提升学生的逻辑推理素养．
例3　设Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝7，an＝2an－1＋a2－2(n≥2)．
(1)证明：{an＋1}为等比数列．
(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？
跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
考点四　数列通项公式与求和
(1)当已知数列为等差数列或等比数列时，只需利用条件求出基本量(首项a1及公差d或公比q)即可写出通项公式，解题时务必要分清是等差数列还是等比数列，切不可张冠李戴．
(2)对于由Sn与an构成的递推关系式，通常是通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)消去Sn或an(当消去Sn困难时)两种途径解决问题．对于由Sn与Sn＋1构成的递推关系式，通常通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)构建an求解．注意表达式an＝,若n＝1时，an(n≥2)表达式的值不等于a1，则数列的通项公式要分段表示．
(3)求数列的前n项和，根据数列的不同特点，常有方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法．
(4)通过对数列通项公式及数列求和的考查，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．
例4　已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*)且a1＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝().求数列{bn}的前n项和Tn.
跟踪训练4　已知数列{an}，{bn}，{cn}满足a1＝b1＝c1＝1，cn＝an＋1－an，cn＋1＝cn，n∈N*.
(1)若{bn}为等比数列，公比q>0，且b1＋b2＝6b3，求q的值及数列{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，公差d>0，证明：c1＋c2＋c3＋…＋cn<1＋，n∈N*.
章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)由题意得解得所以6人中爵位为簪裹的人需献出粟的数量是a3＝a1＋2d＝斗．故选A.
解析：(2)记第n天走的路程里数为an，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，所以a5＝192×＝12里．故选B.
答案：(1)A　(2)B
跟踪训练1　解析：由题意可设该女子第n天织布的数量为an，则数列{an}是等差数列，设其公差为d.则解得
所以该女子第一天织布5尺．故选C.
答案：C
例2　解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝7，S3＝S7得解得所以S7－a8＝7a1＋d－(a1＋7d)＝6a1＋14d＝6×9＋14×(－2)＝26.故选B.
(2)∵a2＝1，a3·a5＝＝16，∴a4＝4，∴q2＝＝4，∴q＝2，∴＝＝q＝2.故选A.
答案：(1)B　(2)A
跟踪训练2　解析：(1)因为a3＋a8＝a4＋a7＝a5＋a6，a3＋a4＋a7＋a8＝2 018，所以a5＋a6＝(a3＋a4＋a7＋a8)＝1 009.故选B.
(2)设等比数列的首项为a1，公比为q，则8a1q＋a1q4＝0，解得q＝－2.所以＝＝＝＝＝－11.故选D.
答案：(1)B　(2)D
例3　解析：(1)证明：因为a3＝7，a3＝3a2－2，
所以a2＝3，所以an＝2an－1＋1，所以a1＝1，a1＋1＝2，
又因为＝＝2(n≥2)，
所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知，an＋1＝2n，所以an＝2n－1，
所以Sn＝－n＝2n＋1－n－2，
因为n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，所以n＋Sn＝2an，
即n，an，Sn成等差数列．
跟踪训练3　解析：(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，
所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝.
(2)由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.
解得λ＝－1.
例4　解析：(1)因为2Sn＝(n＋1)an，n∈N*，
所以2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，n∈N*.
两式相减得2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an,
整理得nan＋1＝(n＋1)an，即＝，n∈N*，所以{}为常数列．
所以＝＝2，所以an＝2n.
(2)bn＝＝(2n－1)4n.
所以Tn＝1×41＋3×42＋5×43＋…＋(2n－1)4n
4Tn＝1×42＋3×43＋…＋(2n－3)·4n＋(2n－1)·4n＋1 .
两式相减得：－3Tn＝4＋2×(42＋43＋…＋4n)－(2n－1)·4n＋1，
－3Tn＝4＋2×－(2n－1)·4n＋1，
化简得Tn＝.
跟踪训练4　解析：(1)由b1＋b2＝6b3得1＋q＝6q2，解得q＝.
由cn＋1＝4cn得cn＝4n－1.
由an＋1－an＝4n－1得an＝a1＋1＋4＋…＋4n－2＝.
(2)由cn＋1＝cn得＝，所以＝.得cn＝··…···c1＝···…···c1＝＝)，
所以c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1－)，由b1＝1，d>0得bn＋1>0，因此
c1＋c2＋c3＋…＋cn<1＋，n∈N*.

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