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第2课时　直线方程的两点式
[教材要点]
要点一　直线方程的两点式
如图，已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)，则方程____________称为直线方程的两点式．
状元随笔　直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线．
要点二　直线方程的截距式
如图，直线l经过点A(a，0)，B(0，b)(其中a≠0，b≠0)，则方程________称为直线方程的截距式．
状元随笔　①由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距．
②由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线．
③过原点的直线可以表示为y＝kx；与x轴垂直的直线可以表示为x＝x0；与y轴垂直的直线可以表示为y＝y0.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)给定两点A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两点式写出直线方程．(　　)
(2)方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同．(　　)
(3)截距相等的直线都可以用方程＝1表示．(　　)
(4)不经过原点的直线都可以用＝1表示．(　　)
2．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
3．如图，直线l的截距式方程是＝1，则(　　)
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．
题型一　直线方程的两点式及其应用
例1　已知△ABC三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程．
方法归纳
求直线的两点式方程的策略以及注意点
当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
跟踪训练1　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
题型二　直线方程的截距式及其应用
例2　求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
方法归纳
截距式方程应用的注意事项
1．如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
2．选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
3．要注意截距式直线方程的逆向应用．
跟踪训练2　求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
易错辨析　忽视截距为零引发的错误
例3　求过点M(3，2)，且在x、y轴上的截距相等的直线方程．
解析：当在x、y轴上的截距均为零时，
所求直线的方程为：y＝x.
当在x、y轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为＝1，
把点M(3，2)代入得：a＝5，故所求的直线方程为x＋y－5＝0.
综上知所求直线的方程为y＝x或x＋y－5＝0.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忽视了截距为零的情况，直接由＝1得直线方程产生了漏解． “截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论．
[课堂十分钟]
1．已知三角形三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在直线方程是(　　)
A．x－13y＋5＝0 B．x－13y－5＝0
C．x＋13y＋5＝0 D．x＋13y＝0
2．过两点(－1，1)和(1，5)的直线在y轴上的截距为(　　)
A．－ B．3
C． D．－3
3．经过点P(－1，2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　　)
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
4．[多选题]下列命题中错误的是(　　)
A．经过定点P0(x0，y0)直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)
B．不经过原点的直线都可以用方程＝1表示
C．过任意不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)
D．经过A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
5．已知直线l过点(2，3)，且在x轴上的截距是y轴上截距的两倍，则直线l的方程为________．
第2课时　直线方程的两点式
新知初探·课前预习
要点一
＝(x1≠x2，y1≠y2)
要点二
＝1
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由直线的两点式方程，得＝，化简：得x－y－1＝0.故选D.
答案：D
3．解析：M(a，0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a＞0，b＜0.故选B.
答案：B
4．解析：直线方程为＝，化为截距式为＝1，则在x轴上的截距为－.
答案：－
题型探究·课堂解透
例1　解析：∵A(2，－1)，B(2，2)，A，B两点横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，其方程为x＝2，
∵A(2，－1)，C(4，1)，
由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0
故三边AB、AC、BC所在的直线方程分别为：x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0.
跟踪训练1　解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.
(2)由直线方程的两点式得
＝，即＝.
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，
则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
答案：(1)x＝2　(2)－2
例2　解析：方法一　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＝1.
∵点(4，－3)在直线上，
∴＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
方法二　设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝||，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
跟踪训练2　解析：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y＝x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，
设l的方程为＝1，
将点(5，2)代入方程得＝1，
解得a＝，
所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝x，或x＋2y－9＝0.
[课堂十分钟]
1．解析：∵B(3，－3)，C(0，2)，∴BC中点的坐标为，即.
则BC边上的中线应过A(－5，0)，两点，
由两点式得：＝，整理，得x＋13y＋5＝0.
故选C.
答案：C
2．解析：∵直线过点(－1，1)和(1，5)，
∴该直线的斜率为＝2，
∴该直线的方程为y－5＝2(x－1)，即y＝2x＋3，
∴该直线在y轴上的截距为3.
答案：B
3．解析：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线方程是y＝－2x.当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，设方程为＝1.因为直线经过点P(－1，2)，所以＝1，解得a＝1，故方程是x＋y－1＝0.当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且都不为0时，设方程为＝1.因为直线经过点P(－1，2)，所以＝1，解得m＝－3，故方程是x－y＋3＝0.综上，经过点P(－1，2)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条．
答案：D
4．解析：对A，当经过定点P0(x0，y0)直线垂直于x轴时不成立，故A错误．对B，直线垂直于x轴时不可以用方程＝1表示，故B错误．对C，当直线P1P2斜率存在时，方程为y－y1＝(x－x1)成立．当直线P1P2斜率不存在时x1＝x2，方程为x＝x2成立，故C正确．对D，直线垂直于x轴时不可以用方程y＝kx＋b表示，D错误．故选ABD.
答案：ABD
5．解析：若l在坐标轴上的截距均为0，即l过原点，满足题意，此时l方程为y＝x，即3x－2y＝0.当l在坐标轴上的截距不为0时，设其在y轴截距为b，则方程为＝1，把(2，3)代入，解得b＝4，∴l方程为x＋2y－8＝0.综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋2y－8＝0第3课时　直线方程的一般式
[教材要点]
要点　直线方程的一般式
1．定义：关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式．
2．适用范围：
平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
3．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
状元随笔　解读直线方程的一般式：
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．(　　)
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．(　　)
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.(　　)
(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示过原点的直线．(　　)
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A．30° B．60°
C．150° D．120°
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　)
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
4．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
题型一　直线方程的一般式及其应用
例1　利用直线方程的一般式，求过点(0，3)，并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．
方法归纳
求直线一般式方程的策略
1．当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
跟踪训练1　(1)[多选题]下列直线中，经过第一象限的是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x－3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)
A． B．－
C． D．－3
题型二　直线方程的一般式与其它形式的转化
例2　(1)求斜率是－，经过点A(8，－2)的直线方程；
(2)求在x轴和y轴上的截距分别是，－3的直线方程；
(3)若方程Ax＋By＋C＝0表示与两坐标轴都相交的直线，求A，B应满足的条件．
方法归纳
(1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
(2)将直线方程化为斜截式，由斜率可求出A，B之间的关系，将此关系式代入A，B，C三者的关系式，即可得出B，C之间的关系式，将直线一般方程中的系数全部化为用B表示的式子，消去B，即可得到直线方程．
跟踪训练2　(1)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)的直线方程为________________________；
(2)已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________________________．
题型三　由含参一般式求参数的值或取值范围
例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；
(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.
变式探究1　本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？
变式探究2　本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
方法归纳
求直线过定点的策略
1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标；
2．将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．跟踪训练3　已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
易错辨析　忽视斜率不存在的情况引发错误
例4　已知直线l1：mx＋8y＋m－10＝0和直线l2：x＋2my－4＝0垂直，则m＝________．
解析：若m≠0时＝＝－
＝(－)×(－)＝≠－1，显然不成立，因此两条直线不能垂直；
若m＝0时，直线l1的方程为y＝和x＝4，这两条直线垂直．
综上m＝0.
答案：0
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忽视斜率不存在，把直线的一般式化为斜截式得＝＝－导致出错． 含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解．
[课堂十分钟]
1．过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为(　　)
A．4x＋3y＋12＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y＋12＝0 D．4x－3y－12＝0
2．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　　)
3．直线方程kx－y＋2－3k＝0恒过定点(　　)
A．(3，2) B．(2，3)
C．(－3，2) D．(－2，3)
4．经过点A(4，2)且在y轴上的截距为－2的直线方程的一般式为________．
5．直线2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)在x轴、y轴上的截距之和等于0时，则k＝________．
第3课时　直线方程的一般式
新知初探·课前预习
要点
Ax＋By＋C＝0
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
答案：C
3．解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.
答案：D
4．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
题型探究·课堂解透
例1　解析：设直线方程为Ax＋By＋C＝0，
∵直线过点(0，3)，代入直线方程，得3B＝－C，B＝－
与坐标轴交点分别为，
由三角形面积为6，得＝12，∴A＝±
∴方程为±x－y＋C＝0
故所求直线方程为3x－4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0.
跟踪训练1　解析：(1)A中，令x＝0，y＝－；令y＝0，x＝－，如图，，A不正确．B中，令x＝0，y＝；令y＝0，x＝－，如图，，B正确；C中，令x＝0，y＝14；令y＝0，x＝，如图，，C正确；D中，令x＝0，y＝；令y＝0，x＝14，如图，，D正确．故选BCD.
(2)令y＝0，x＝－3.故选D.
答案：(1)BCD　(2)D
例2　解析：(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0.
(3)当A＝0，B≠0时，直线化为y＝－，
只与y轴相交，不符合题意；
当B＝0，A≠0时，直线化为x＝－，
只与x轴相交，不符合题意．
当A≠0，B≠0时，直线化为y＝－x－，
斜率为k＝－，截距为b＝－
只要斜率存在且不为0，直线与两坐标轴均有交点，所以A≠0，B≠0.
跟踪训练2　解析：(1)由直线方程的两点式得：＝，整理得x＋y－1＝0.
(2)直线Ax＋By＋C＝0的斜截式为y＝－x－，所以－＝5，即A＝－5B，代入A－2B＋3C＝0得C＝B.
将直线方程中参数全部化为关于B的式子为－5Bx＋By＋B＝0，消掉B，得15x－3y－7＝0.
答案：(1)x＋y－1＝0　(2)15x－3y－7＝0
例3　解析：(1)方法一　将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，
∴直线l的斜率为a，且过定点A()，
而点A()在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
方法二　直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A()．以下同方法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，
∴a的取值范围为[3，＋∞)．
变式探究1　解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.
变式探究2　解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a＞1.
综上可知a≥1.
跟踪训练3　证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以解得
所以直线l经过定点M(1，－1)．
[课堂十分钟]
1．解析：由截距式得直线方程为＝1，整理得4x－3y＋12＝0.
答案：C
2．解析：将l1与l2的方程化为斜截式得y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得选C.
答案：C
3．解析：因为直线方程kx－y＋2－3k＝0，
即为k(x－3)－y＋2＝0
所以，解得，
所以直线恒过定点(3，2)．故选A.
答案：A
4．解析：设直线方程为y＝kx－2.
点A(4，2)代入y＝kx－2得k＝1.
故直线方程的一般式为：x－y－2＝0.
答案：x－y－2＝0
5．解析：直线方程可化为：＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
答案：1第1课时　直线方程的点斜式
[教材要点]
要点一　直线的方程
一般地，如果一条直线上的每一点的坐标都是____________，并且以这个方程的解为坐标的点都________，那么这个方程称为直线l的方程．
要点二　直线方程的点斜式
1．定义：已知直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则把方程________________称为直线方程的点斜式．
2．说明：①当直线l的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)，直线方程为y＝y0，如图(1)
②当直线l与x轴垂直时，直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝x0，如图(2)．
状元随笔　关于点斜式的几点说明
①直线的点斜式方程的前提条件是：
已知一点P(x0，y0)和斜率k；斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
②方程y －y0＝k(x －x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P(x0，y0)的一条直线．
③当k取任意实数时，方程y －y0＝k(x －x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．
要点三　直线方程的斜截式
1．定义：直线l经过点(0，b)且斜率为k，则方程________称为直线方程的斜截式．
2．说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的________．倾斜角是________的直线没有斜截式方程．
状元随笔　斜截式方程和截距的几点说明：
①方程y＝kx ＋b的特点——左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距．
②直线方程的斜截式是由点斜式推导而来的．直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为此直线的纵截距，值得强调的是，截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能为0，不能将其理解为“距离”就恒为正．同理，直线与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为此直线的横截距．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．
③直线方程的斜截式y＝kx ＋b，当k≠0时就是一次函数的标准形式．
④由直线方程的斜截式反过来可得到直线的斜率和纵截距，如直线y＝2x －1的斜率为k＝2，纵截距为－1.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式．(　　)
(2)当直线l的倾斜角为0°时，过点P0(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.(　　)
(3)直线在y轴上的截距就是直线与y轴交点到原点的距离．(　　)
(4)直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2则k1·k2＝－1.(　　)
2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线的方程是(　　)
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝x－1
C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1
4．已知直线l的一个方向向量为v＝(2，1)且过点P(2，－3)的直线l的方程为________．
题型一　直线方程的点斜式及其应用
例1　求满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点；
(4)已知A(8，－6)，B(2，2)，以向量为方向向量且过点P(2，－3)．
方法归纳
求直线的点斜式方程的方法步骤
1．求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．
2．点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．
跟踪训练1　(1)过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．
(2)已知△ABC的三个顶点A(2，3)，B(4，－1)，C(－2，－9)，若点D，E分别是边AB，AC的中点，则线段DE所在直线的点斜式方程是__________________________________．
题型二　直线方程的斜截式及其应用
例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
方法归纳
直线的斜截式方程的求解策略
1．用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
2．直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
跟踪训练2　(1)直线l过点M(1，－2)，倾斜角为60°.则直线l的斜截式方程为_____________________________________．
(2)斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m＝________时，直线过点(1，1)．
题型三　点斜式、斜截式的应用
例3　已知直线l经过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
变式探究1　若将本例中“直线l经过点P(－2，3)”改为“直线l的斜率为－2”，其它条件不变，求直线l的方程．
变式探究2　若将本例中“且与两坐标轴围成的三角形的面积为4”改为“且在两坐标轴上的截距相等”，求直线l的方程．
方法归纳
(1)直线方程的斜截式y＝kx＋b清晰地指出了该直线的两个几何要素：斜率k和截距b.
(2)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距，无论采用哪种方式，在求解过程中待定系数法是求解该类问题的常用方法．
易错辨析　忽视倾斜角的范围出错
例4　一条直线l过点(2，1)且与x轴的夹角为45°，则这条直线方程为____________________．
解析：∵直线l与x轴的夹角为45°，
∴直线l的倾斜角α＝45°或135°.
∴直线l的斜率k＝1或－1.
∴直线l的方程为：y－1＝x－2或y－1＝－(x－2)
即y＝x－1或y＝－x＋3.
答案：y＝x－1或y＝－x＋3
【易错警示】
易错原因 纠错心得
误认为夹角就是直线l的倾斜角，导致漏掉了倾斜角为135°的情形． 在处理直线问题时，一定要注意倾斜角的取值范围，否则很容易会出现只考虑锐角而丢掉钝角的情况，而漏解．
[课堂十分钟]
1．过点(3，2)，斜率是的直线方程是(　　)
A．y＝x＋4 B．y＝x＋2
C．2x－3y＝0 D．3x－2y＝0
2．方程y－y0＝k(x－x0)(　　)
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
C．不能表示与y轴垂直的直线
D．不能表示与x轴垂直的直线
3．过点(1，1)，且在y轴上的截距为3的直线方程是(　　)
A．x＋2y－3＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－y＋3＝0 D．2x＋y－3＝0
4．方程y＝k(x－2)表示(　　)
A．通过点(－2，0)的所有直线
B．通过点(2，0)的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
5．已知直线l的倾斜角为30°.
(1)若直线l过点P(3，－4)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距为3，求直线l的方程．
第1课时　直线方程的点斜式
新知初探·课前预习
要点一
一个方程的解　在直线l上
要点二
1．y－y0＝k(x－x0)
要点三
1．y＝kx＋b
2．截距　直角
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，故选D.
答案：D
3．解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，故选D.
答案：D
4．解析：由直线的方向向量与直线的斜率的关系可知直线l的斜率k＝，
由直线方程的点斜式得直线l的方程为y－(－3)＝(x－2)
即x－2y－8＝0.
答案：x－2y－8＝0
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，
∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．
(4)由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线l的斜率为k＝＝－，
由直线方程的点斜式得直线的点斜式方程为：y＋3＝－(x－2)．
跟踪训练1　解析：(1)k＝tan 135°＝－1，
由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0.
(2)因为A(2，3)，B(4，－1)，C(－2，－9)，点D，E分别是边AB，AC的中点，所以D(3，1)，E(0，－3)，
直线DE的斜率为＝.
所以线段DE所在直线的点斜式方程是y＋3＝(x－0)或者y－1＝(x－3)．
答案：(1)x＋y－1＝0　(2)y＋3＝(x－0)或y－1＝(x－3)
例2　解析：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan 150°＝－，
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
跟踪训练2　解析：(1)∵直线l的倾斜角为60°，∴直线l的斜率k＝tan 60°＝，
又因为直线l过点M(1，－2)，所以直线l的方程为y＋2＝(x－1)，即y＝x－－2，
所以直线l的斜截式方程为y＝x－－2.
(2)由直线方程的斜截式，得直线方程为y＝2x＋m.
∵直线过点(1，1)，将x＝1，y＝1代入方程y＝2x＋m，1＝2×1＋m，∴m＝－1即为所求．
答案：(1)y＝x－－2　(2)－1
例3　解析：显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，令x＝0，得y＝2k＋3，
令y＝0，得x＝－－2，
于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
＝4，
即(2k＋3)＝±8.
若(2k＋3)＝8，
则整理得4k2＋4k＋9＝0，无解．
若(2k＋3)＝－8，
则整理得4k2＋20k＋9＝0，
解之，得k＝－或k＝－.
所以直线l的方程为y－3＝－(x＋2)或y－3＝－(x＋2)，
即y＝－x＋2或y＝－x－6.
变式探究1　解析：设直线方程为y＝－2x＋b，则
令x＝0得y＝b；
令y＝0得x＝；
由题意得，|b|·＝4，即|b|2＝16.
所以b＝±4.
所以直线l的方程为y＝－2x＋4或y＝－2x－4.
变式探究2　解析：依题意直线的斜率存在，设为k，
直线方程为y－3＝k(x＋2)，
令x＝0得纵截距为y＝2k＋3.
令y＝0得横截距为x＝－－2，
依题意得，2k＋3＝－－2，
解得k＝－或k＝－1，
所以直线方程为y＝－x或y＝－x＋1.
[课堂十分钟]
1．解析：∵直线过点(3，2)且斜率为，由直线方程的点斜式得：y－2＝(x－3)．整理得：2x－3y＝0.故选C.
答案：C
2．解析：因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直线，所以y－y0＝k(x－x0)不能表示与x轴垂直的直线，故选D.
答案：D
3．解析：设斜率为k，由点斜式可得y－1＝k(x－1)，令x＝0，可得y＝1－k＝3，解得k＝－2.∴y－1＝－2(x－1)，化为2x＋y－3＝0.故选D.
答案：D
4．解析：由方程y＝k(x－2)知直线过点(2，0)且直线的斜率存在，故选C.
答案：C
5．解析：∵直线l的倾斜角为30°，∴直线l的斜率为tan 30°＝.
(1)∵直线l过点P(3，－4)，∴由点斜式方程，得直线l的方程为y＋4＝(x－3)，即y＝x－－4.
(2)∵直线l在y轴上的截距为3，∴由斜截式方程，得直线l的方程为y＝x＋3.

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