资源简介

1．4　两条直线的平行与垂直
最新课标 能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
[教材要点]
要点一　两条直线平行
1．对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有________ l1∥l2.
2．若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1＝k2 ________或l1与l2重合．
3．若直线l1和l2的斜率都不存在，且不重合时，得到________．
状元随笔　l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；l1与l2不重合．
要点二　两条直线垂直
1．对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，有l1⊥l2 ________．
2．若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为________时，它们互相垂直．
状元随笔　l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件是：两条直线的斜率都存在；k1≠0且k2≠0.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2.(　　)
(2)若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1.(　　)
(3)若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴．(　　)
(4)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．(　　)
2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(　　)
A．－3 B．3
C．－ D．
3．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　)
A．平行 B．垂直
C．重合 D．非以上情况
4．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且，则m＝________．
题型一　两条直线平行的判定及应用
例1　(1)[多选题]下列直线l1与直线l2平行的有(　　)
A．l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)
B.l1的斜率为2，l2经过点A(1，1)，B(2，2)
C．l1的倾斜角为30°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)
D．l1经过点E(－3，2)，F(－3，10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5，5)
(2)使过点A(m＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4，3)，D(0，5)的直线平行，则m＝________．
(3)过点(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________．
方法归纳
(1)判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等．课本中的结论只有在斜率都存在的情况下方可使用，两点的横坐标相等是特殊情况，应特殊判断．(2)判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件：若同位角相等，则两直线平行．
(3)在两直线斜率都存在且相等的情况下，应注意两直线是否重合．
跟踪训练1　(1)[多选题]下列各组直线平行的有(　　)
A．y＝－3x＋2与x＋3y－1＝0
B．y＝x＋2与x－y－2＝0
C．4x－2y＋3＝0与x＋2y－1＝0
D．＝1与3x＋2y－2＝0
(2)已知两条不重合的直线l1：ax＋2y－1＝0和l2：x＋(a＋1)y＋＝0，a∈R，若l1∥l2，则a＝________．
(3)与直线3x－2y＝0平行，且过点(4，－3)的直线方程为________．
题型二　两条直线垂直的判定及应用
例2　(1)判断下列各题中l1与l2是否垂直．
①l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；
②l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
③l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40)．
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a的值为________．
(3)过点(1，2)且与直线x＋2y＋2＝0垂直的直线方程为________．
方法归纳
利用斜率公式来判定两直线垂直的方法
1．一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．
2．二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
3．三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．
跟踪训练2　(1)直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝，若l1与l2互相垂直，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．1或－
C．±1 D．－
(2)过点A(－3，2)且与直线3x－5y＋1＝0垂直的直线方程为________________．
题型三　两条直线平行与垂直的综合应用
例3　已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状．
方法归纳
利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
跟踪训练3　已知A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
易错辨析　忽视直线斜率不存在的情况致错
例4　已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，3)，直线l2经过点C(2，3)，P(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________．
解析：当直线l1的斜率存在时，
则由l1⊥l2知k1·k2＝－1
即·＝－1，解得a＝0
当直线l1的斜率不存在时，
则a－2＝3，得a＝5，
此时k2＝0，故l1⊥l2.
综上a的值为0或5.
答案：0或5
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题容易由k1·k2＝－1得a＝0而出错，误认为直线l1的斜率存在． 已知点的坐标中有参数的，首先判断直线的斜率是否存在，本题中直线l1的斜率就要分存在与不存在两种情况解答．
[课堂十分钟]
1．[多选题]直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
2．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)，则直线l1，l2的位置关系是(　　)
A．平行或重合 B．平行
C．垂直 D．重合
3．已知直线l过点(2，0)，且与直线y＝－2x＋1平行，则直线l的方程为(　　)
A．y＝2x－4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－2x－4
4．已知A(5，2)，B(－1，4)，则AB的垂直平分线方程为________．
5．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为________．
1．4　两条直线的平行与垂直
新知初探·课前预习
要点一
1．k1＝k2
2．l1∥l2
3．l1∥l2
要点二
1．k1k2＝－1
2．0
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.故选B.
答案：B
3．解析：∵k1·k2＝2×(－)＝－1，∴l1⊥l2.故选B.
答案：B
4．解析：＝＝－1，l1∥l2，
＝＝－1，∴m＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)A中，kAB＝＝－，kCD＝＝－
∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.
B中，k2＝＝1≠k1＝2
∴l1不平行l2.
C中，k1＝tan 30°＝，k2＝＝.
∴k1≠k2，∴l1不平行l2.
D中，l1的斜率不存在，
l2的斜率也不存在，∴l1∥l2.
故选AD.
(2)由题意直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2.
(3)设直线方程是x－2y＋C＝0，因为直线过点(－1，3)，所以－1－6＋C＝0，解得C＝7，故所求直线方程是x－2y＋7＝0.
答案：(1)AD　(2)－2　(3)x－2y＋7＝0
跟踪训练1　解析：(1)分别求出各组直线的斜率可得BD正确．故选BD.
(2)由题意：a·(a＋1)－2×1＝0，∴a＝1或a＝－2，
当a＝1时，则l1：x＋2y－1＝0，
l2：x＋2y＋＝0，∴l1∥l2
当a＝－2时，则l1：－2x＋2y－1＝0，
l2：x－y＋＝0，
∴两直线重合(舍去)．
故a＝1.
(3)设直线方程是3x－2y＋t＝0，
则3×4－2×(－3)＋t＝0
∴t＝－18.
故所求直线方程是3x－2y－18＝0.
答案：(1)BD　(2)1　(3)3x－2y－18＝0
例2　解析：(1)①k1＝＝2，k2＝＝，
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．
②k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，
∴l1⊥l2.
③由A，B的横坐标相等得
l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．
k2＝＝0，则l2∥x轴，
∴l1⊥l2.
(2)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，
∵直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，
∴l2的斜率存在．
当k2＝0时，a－2＝3，则a＝5，此时k1不存在，符合题意．
当k2≠0时，即a≠5，此时k1≠0，
由k1·k2＝－1，得·＝－1，解得a＝－6.
综上可知，a的值为5或－6.
(3)所求的直线方程为2x－y＋t＝0.
则2×1－2＋t＝0
∴t＝0.
故所求直线方程为：2x－y＝0.
答案：(1)见解析　(2)5或－6　(3)2x－y＝0
跟踪训练2　解析：(1)由题意，得k1k2＝＝－1，解得a＝－或a＝1(舍去)．
(2)设所求直线方程为：5x＋3y＋t＝0，
则5×(－3)＋3×2＋t＝0，
∴t＝9，
故所求的直线方程为：5x＋3y＋9＝0.
答案：(1)D　(2)5x＋3y＋9＝0
例3　解析：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，
由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD.由kAD≠kBC，
所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，
故四边形ABCD为直角梯形．
跟踪训练3　解析：
设所求点D的坐标为(x，y)，如图，由于kAB＝3，kBC＝0，
∴kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰．
若AD是直角梯形的直角腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝，kCD＝，
由于AD⊥AB，∴·3＝－1.①
又AB∥CD，∴＝3.②
解①②两式可得此时AD与BC不平行．
若DC为直角梯形的直角腰，
则DC⊥BC，且AD∥BC.
∵kBC＝0，
∴DC的斜率不存在．
故x＝3，又AD∥BC，则y＝3.
故D点坐标为(3，3)．
综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3，3)或()．
[课堂十分钟]
1．解析：直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有斜率，所以A不正确；因为两直线的斜率相等，即斜率k1＝k2，得到倾斜角的正切值相等，即tan α1＝tan α2，即可得到α1＝α2，所以l1∥l2，所以B正确；若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2，C正确；若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2，D正确．故选BCD.
答案：BCD
2．解析：由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，
直线l2的斜率k2＝＝.
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
答案：A
3．解析：设直线l的方程为y＝－2x＋t，
则0＝(－2)×2＋t，∴t＝4.
∴直线l的方程为y＝－2x＋4.故选C.
答案：C
4．解析：由中点坐标公式得AB的中点为(2，3)，
又kAB＝＝＝－
∴AB的垂直平分线的斜率为3.
∴AB的垂直平分线方程为y－3＝3(x－2)，即3x－y－3＝0.
答案：3x－y－3＝0
5．解析：设D(x，y)，由题意得AB∥DC，AD∥BC
则有kAB＝kDC，kAD＝kBC
∴，解得
∴顶点D的坐标为(3，4)．
答案：(3，4)

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