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考点三十四 空间直线、平面平行的判定及其性质
知识梳理
1．直线与平面平行的定义
直线与平面没有公共点，叫做直线与平面平行．
2．平面与平面平行的定义
如果两个平面没有公共点，叫做两个平面平行．
3．直线与平面平行
判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简称：线线平行，则线面平行．
符号语言： a∥α.
性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简称：线面平行，则线线平行．
符号语言： a∥b.
4．平面与平面平行
判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．简称：线面平行，则面面平行．
符号语言： α∥β.
性质定理：自然语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．简称：面面平行，则线线平行．
符号语言： a∥b.
5．平行问题的转化关系
典例剖析
题型一 平行关系命题判定问题
例1　空间中，下列命题正确的是________(填序号)
若a∥α，b∥a，则b∥α
若a∥α，b∥α，a β，b β，则β∥α
若α∥β，b∥α，则b∥β
若α∥β，a α，则a∥β
答案　④
解析　对于①，b可以在α内，①错；对于②，当a，b相交时才能有β∥α，②错；对于③，b可能在β内，③错；由面面平行的性质知，④正确．
变式训练 对于平面α和共面的直线m，n，下列命题是真命题的是________(填序号)
若m，n与α所成的角相等，则m∥n
若m∥α，n∥α，则m∥n
若m⊥α，m⊥n，则n∥α
若m α，n∥α，则m∥n
答案 ④
解析 由m α，n∥α可知m与n不相交，又m与n共面，故m∥n.
解题要点 解决这类命题判定问题，一是对平行的判定定理、性质定理准确记忆并理解，二是可以借助图形分析．在作图时，一般是先作出平面，然后借助平面来考察其他的位置关系．
题型二 线面平行的判定和性质
例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点．
求证：EF∥平面PAD.
解析　证明：连接AC，AC∩BD＝F.
∵ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点，
∴在△CPA中，EF∥PA.
而PA 平面PAD，EF 平面PAD.
∴EF∥平面PAD.
变式训练 在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则________(填序号)
BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形
EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形
EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形
答案　②
解析　如图，由题意，EF∥BD，且EF＝BD.HG∥BD，且HG＝BD.
∴EF∥HG，且EF≠HG.∴四边形EFGH是梯形．
又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行．故选②.
解题要点 对平行问题，应善于根据题意进行转化，要证线面平行，则一般需寻找线线平行。判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a α a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
题型三 面面平行的判定和性质
例3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明　(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知，
EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，
FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
变式训练 如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF.
解析　∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE，
∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF.
又∵D1E 平面BGF，BF 平面BGF，∴D1E∥平面BGF.
∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1.
又AD1 平面BGF，FG 平面BGF，∴AD1∥平面BGF.
又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.
解题要点 证明面面平行同样需要在“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”间相互转化．一般来说，证明面面平行的常见方法是：①面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②利用垂直于同一条直线的两个平面平行；③两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
当堂练习
1．能够判断两个平面α，β平行的条件是________．(填序号)
①平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行
②夹在两个平面间的线段相等
③平面α内的无数条直线与平面β无公共点
④平面α内的所有的点到平面β的距离都相等
答案 ④
解析 平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α、β无公共点．
2．下列说法中正确的个数是________．
①若直线a∥b，b 平面α，则有a∥α； ②若直线a∥α，bα，则有a∥b；
③若直线a∥b，直线a∥α，则b∥α； ④若直线a∥α，b∥α，则a∥b．
答案 0
解析 ①中可能aα或a∥α，②a与b可能异面，③中b可能在平面α内，④a与b可能相交、平行或异面．
3. 给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l α，m β，则α∥β；
②若α∥β，l α，m β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为________．
答案 1
解析 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m.②中l与m也可能异面．
③中 l∥m，
同理l∥n，则m∥n，正确．
4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是________．
答案 0
解析 对于命题①，若a∥b，b α，则应有a∥α或a α，所以①不正确；对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b α，因此②也不正确；对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.
答案 ①②④
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵AB綊D1C1，
∴ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，故①正确；同理可证BD∥B1D1，∴面AB1D1∥面BDC1，故②正确；对于③，AD1与DC1显然为异面直线，故③不正确；又AD1∥BC1，
AD1 面BDC1，BC1 面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，故④正确．
课后作业
填空题
1．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________．
① a∥b; ② a∥b；
③ α∥β； ④ α∥β；
⑤ α∥a; ⑥ a∥α．
答案 ②③⑤⑥
解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．
2．直线a∥平面α，则a平行于平面α内的________．
①一条确定的直线　　 ②所有的直线 ③无穷多条平行的直线 ④任意一条直线
答案 ③
解析 显然若直线a∥平面α，则a一定平行于经过a的平面与α相交的某条直线l，同时，平面α内与l平行的直线也都与直线a平行，故选③.
3．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________．
答案 12条
解析 如图所示，以E为例，易证EI，EQ∥平面DBB1D1，与E处于同等地位的点还有F，G，H，M，N，P，Q，故有符合题意的直线条．以I为例，易证IE∥平面DBB1D1，与I处于同等地位的点还有J，K，L，故有符合题意的直线4条，则共有8＋4＝12条．
4．(2015北京理)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α.“m∥β”是“α∥β”的________条件
答案　必要而不充分
解析　m α，m∥βα∥β，但m α，α∥β m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分条件．
5．如图，在三棱锥S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是________．
答案 平行
解析 ∵＝＝　∴G1G2∥MN，又∵M，N为AB，AC的中点，
∴MN∥BC，∴G1G2∥BC.
6．若平面α∥平面β，直线a∥α，且aβ，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中________．(填序号)
①不一定存在与a平行的直线 ②只有两条与a平行的直线
③存在无数条与a平行的直线 ④存在惟一一条与a平行的直线
答案 ④
解析 ∵Ba，∴a与B确定平面γ．
设γ∩α＝m，γ∩β＝n，
∵α∥β，∴m∥n．又∵a∥α，∴a∥m，∴n∥a，
∴直线n即为β内过B与a平行的直线，它是惟一的．
7．下列命题：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．
其中正确命题的个数为________．
答案 1个
解析 只有②正确．
8．已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：
① α∩β＝a，b α a∥b或a，b相交；
② α∥β，m α，n β m∥n；
③ m∥n，m∥α n∥α；
④ α∩β＝a，a∥b b∥β或b∥α．
其中正确命题的序号是________．
答案 ①④
解析 对于②，α∥β，m α，n β可能得到m∥n，还有可能是直线m，n异面；对于③，m∥n，m∥α，当直线n不在平面α内时，可以得到n∥α，但是当直线n在平面α内时，n不平行于平面α．
9．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．
答案 平行
解析 ∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB．
又AB 平面EFGH，EF 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH．
又AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH．
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于　　　　．
答案
解析 因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC．又因为E是AD的中点，所以F是CD的中点，由中位线定理可得EF＝AC．又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝．
11．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
答案 平行
解析 如图所示，连接BD与AC交于O点，连接OE，则OE∥BD1，
而OE 平面ACE，BD1 平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
二、解答题
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PA∥GH.
证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点 .
又M是PC的中点，∴AP∥OM.
又AP 平面BDM，∴AP∥平面BDM.
∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，∴PA∥GH.
13．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
解析　(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC 平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.
同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，
所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO 平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，
所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD.
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4.
从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．
再由PO∥GK，得GK＝PO.
即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
由已知可得OB＝4，
PO＝＝＝6，
所以GK＝3.
故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.

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