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考点三十九 直线的交点与距离公式
知识梳理
1．两直线相交
交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交 方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行 方程组无解；
重合 方程组有无数个解．
2．三种距离公式
(1)两点间距离公式
点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离：|AB|＝ .
(2)点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝ .
说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．
(3)两平行线间距离公式
两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝.
说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x，y前系数要化为相同．
3．过两直线交点的直线系方程
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，其中λ是待定系数，在这个方程中，无论但λ取何值，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
4．对称问题
(1)中心对称
①若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，即对称点N坐标为(2a－x1，2b－y1).
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程．
(2)轴对称
①点关于直线的对称
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在l上，而且连接P1P2的直线垂直于l，由方程组
可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．
5．关于对称的几个结论
(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)；
(2)点(x，y)关于y轴的对称点为(－x， y)；
(3)点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)；
(4)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)；
(5)点(x，y)关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)；
典例剖析
题型一 求两直线的交点
例1　直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是________．
答案　(－1，－2)
解析 解方程组得即交点坐标是(－1，－2)．
变式训练 两条直线x＋my＋12＝0，2x＋3y＋m＝0的交点在y轴上，则m的值是________．
答案 ±6
解析 设交点坐标为(0，b)，则有解得m＝±6．
解题要点 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的交点可由求解．
题型二 过两直线交点的直线方程求法
例2　求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解析　法一：由方程组，得，即P(0，2)．
∵l⊥l3，∴kl＝－，
∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
∵l与l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，
∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
变式训练 过两直线2x－y－5＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为________________．
答案 3x＋y＝0
解析 联立得交点P(1，－3)．
设过点P且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程为3x＋y＋m＝0，则3×1－3＋m＝0，解得m＝0.
解题要点 求过两直线交点的直线方程，既可先联立方程组求出交点坐标然后再求方程，也可以利用过两直线交点的直线系求解，需注意，利用直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)求解时，要注意检验直线A2x＋B2y＋C2＝0是否符合题意，以免漏求直线．
题型三 距离公式的应用
例3　正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解析　点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝.
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝＝，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝＝，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
变式训练 已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．
答案
解析 直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，即3x＋4y＋＝0，∴直线l1与l2的距离为＝.
解题要点 正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍．这个解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程．
运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式．
题型四 简单的对称问题
例4　已知光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，
设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.
变式训练 如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．
答案　2
解析　由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|＝2.
解题要点 对称问题的核心是“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
当堂练习
1．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于________．
答案 －
解析 由得交点(－1，－2)，代入x＋ky＝0得k＝－．
2．两条直线l1：2x＋y－m＝0与l2：x－my＋3＝0的交点在y轴上，那么m的值为________．
答案 ±3
解析 2x＋y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋3＝0在y轴上的截距为，
由＝得m＝±3．
3. P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为________．
答案 (1,2)或(2，－1)
解析 设P(x,5－3x)，则d＝＝，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，∴x＝1或x＝2，
∴P(1,2)或(2，－1)．
4．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为________．
答案
解析 因为l1，l2关于直线y＝－x对称，所以l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝x＋，即直线l2的斜率k为．
5．与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程为________．
答案　5x－12y＋32＝0和5x－12y－20＝0
解析　设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0.
在直线l：5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，则点P0到直线l：5x－12y＋c＝0的距离为
d＝＝，
由题意，得＝2，解得c＝32或c＝－20.
所以，所求直线的方程为5x－12y＋32＝0和5x－12y－20＝0.
课后作业
填空题
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是________．
答案
解析 d＝＝.
2．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则两平行线间的距离是________．
答案
解析 依题意得
∴m＝－8，∴直线AB方程为：2x＋y＋12＝0．
∴d＝＝．
3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
答案　2
解析　∵＝≠－，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0.
可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2.
4．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．
答案　3x＋4y＋5＝0
解析 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，
即3x＋4y＋5＝0.
5．若A(－3，－4)，B(6,3)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则a等于________．
答案　－或－
解析　依题意，＝，
解得a＝－或a＝－.
6．对任意实数a，直线y＝ax－3a＋2所经过的定点是________．
答案　(3,2)
解析　直线y＝ax－3a＋2变为a(x－3)＋(2－y)＝0.又a∈R，
∴解得得定点为(3,2)．
7．直线x－2y＋1＝0关于直线y－x＝1对称的直线方程是_______________．
答案 2x－y＋2＝0
解析 设所求直线上任一点的坐标为(x1，y1)，它关于y－x＝1对称点的坐标为(x0，y0)，则，得对称点的坐标为(y1－1，x1＋1)，且点(y1－1，x1＋1)在直线x－2y＋1＝0上，所以y1－1－2(x1＋1)＋1＝0，化简得2x1－y1＋2＝0.
8．曲线－＝1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是______________．
答案 m>4或m<－4
解析 曲线－＝1的草图如图所示．与直线y＝2x＋m有两个交点，令y＝0，则x＝－，所以－<－2或－>2，所以m>4或m<－4．
9．直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为________．
答案 (1，)
解析 直线l1的方程为y＝(x＋2)，由l2⊥l1得直线l2的斜率为－，直线l2的方程是y＝－(x－2)．由得因此直线l1与l2的交点坐标是(1，)．
10．过两直线7x＋5y－24＝0与x－y＝0的交点，且与点P(5,1)的距离为的直线的方程为________．
答案　3x－y－4＝0
解析 设所求的直线方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0.
∴＝，解得λ＝11.
故所求直线方程为3x－y－4＝0.
11．点P(－1,3)到直线l：y＝k(x－2)的距离的最大值等于________．
答案　3
解析　P(－1,3)到直线l：y＝k(x－2)的距离为d＝＝3，由于≤1，所以d≤3，即距离的最大值等于3.
二、解答题
12．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.
13．已知点P(2，－1)．
(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程．
(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解析 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，
过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.

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