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【高中】数学精品笔记
常用公式及常用结论整理
1. 元素与集合的关系
x A x CU A , x CU A x A .
2.德摩根公式
CU (AI B) CU AUCU B;CU (AUB) CU AI C B . U
3.包含关系
AI B A AUB B A B CU B C A A I CU U B
CU AUB R 6
4.容斥原理
card(AUB) cardA cardB card(AI B)
card(AUBUC) cardA cardB cardC card(AI B)
card(AI B) card(B I C) card(C I A) card(AI B I C) .
5．集合{a1, a2 ,L , an}的子集个数共有 2
n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1
个；非空的真子集有2n –2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式 f (x) ax2 bx c(a 0);
(2)顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0);
(3)零点式 f (x) a(x x1)(x x2)(a 0) .
7.解连不等式 N f (x) M 常有以下转化形式
N f (x) M [ f (x) M ][ f (x) N] 0
M N M N f (x) N
| f (x) | 0
2 2 M f (x)
1 1
.
f (x) N M N
8.方程 f (x) 0在 (k ,k ) 上有且只有一个实根,与1 2 f (k1) f (k2 ) 0不等价,前者是后
者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax2 bx c 0(a 0)有且只有一个实根在
b k k
(k1,k2 )内,等价于 f (k1) f (k2 ) 0,或 f (k1) 0且 k1
1 2 ,或 f (k2 ) 0 且
2a 2
k1 k2 b k2 .
2 2a
9.闭区间上的二次函数的最值
b
二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0)在闭区间 p,q 上的最值只能在 x 处及区
2a
间的两端点处取得，具体如下：
b b
(1)当 a>0时，若 x p,q ，则 f (x)min f ( ), f (x)max max f ( p), f (q) ；
2a 2a
b
x p,q ， f (x)max max f ( p), f (q) ， f (x)min min f ( p), f (q) .
2a
b
(2) 当 a<0 时，若 x p,q ，则 f (x)min min f ( p), f (q) ，若
2a
1
b
x p,q ，则 f (x)max max f ( p), f (q) ， f (x)min min f ( p), f (q) .
2a
10.一元二次方程的实根分布
依据：若 f (m) f (n) 0，则方程 f (x) 0在区间 (m,n)内至少有一个实根 .
设 f (x) x ，则 2 px q
p2 4q 0

（1）方程 f (x) 0在区间 (m, ) 内有根的充要条件为 f (m) 0或 p ；
m
2
f (m) 0

f (n) 0

（2）方程 f (x) 0在区间 (m,n)内有根的充要条件为 f (m) f (n) 0或 p2 4q 0 或

pm n
2
f (m) 0 f (n) 0
或；
af (n) 0 af (m) 0
p2 4q 0

（3）方程 f (x) 0在区间 ( ,n)内有根的充要条件为 f (m) 0或 p .
m
2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间 ( , ) 的子区间 L （形如 , ， , ， , 不同）上含参
数的二次不等式 f (x,t) 0( t 为参数)恒成立的充要条件是 f (x,t) 0(x L) . min
(2)在给定区间 ( , ) 的子区间上含参数的二次不等式 f (x,t) 0 ( t 为参数)恒成
立的充要条件是 f (x,t) 0(x L) . man
a 0
a 0
(3) f (x) ax4 bx2 c 0恒成立的充要条件是 b 0 或 .
b2 4ac 0
c 0

12.真值表
ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ
真真假真真
真假假真假
假真真真假
假假真假假
13.常见结论的否定形式
原结论反设词原结论反设词
是不是至少有一个一个也没有
都是不都是至多有一个至少有两个
大于不大于至少有 n个至多有（n 1）个
小于不小于至多有 n个至少有（n 1）个
对所有 x ，存在某 x ，
成立不成立
2
p 或 q p 且 q
对任何 x ，存在某 x ，
不成立成立 p 且 q p 或 q
14.四种命题的相互关系
原命题互逆逆命题
若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ
互互
互为为互
否否
逆逆
否否
否命题逆否命题
若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ
15.充要条件
（1）充分条件：若 p q，则 p 是 q 充分条件.
（2）必要条件：若q p，则 p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若 p q，且q p，则 p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
16.函数的单调性
(1)设 x1 x2 a,b , x1 x2 那么
f (x1) f (x )(x1 x2 ) f ( x1 ) f ( 2x ) 0 2 0 f (x)在 a,b 上是增函数；
x1 x2
f (x ) f (x )
(x1 x2 ) f ( x1 ) f ( 2x ) 0 1 2 0 f (x)在 a,b 上是减函数.
x1 x2
(2)设函数 y f (x) 在某个区间内可导，如果 f (x) 0，则 f (x) 为增函数；如果
f (x) 0，则 f (x)为减函数.
17.如果函数 f (x) 和 g(x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f (x) g(x)也是减
函数; 如果函数 y f (u) 和 u g(x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y f [g(x)]是增函数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称;反过来，如果一个函数的图
象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个
函数是偶函数．
19.若函数 y f (x)是偶函数，则 f (x a) f ( x a)；若函数 y f (x a)是偶
函数，则 f (x a) f ( x a) .
20.对于函数 y f (x)( x R ), f (x a) f (b x)恒成立,则函数 f (x) 的对称轴
3
a b a b
是函数 x ;两个函数 y f (x a)与 y f (b x) 的图象关于直线 x 对
2 2
称.
a
21. 若 f (x) f ( x a) , 则函数 y f (x) 的图象关于点 ( ,0) 对称 ; 若
2
f (x) f (x a) ,则函数 y f (x)为周期为2a的周期函数.
n n 1
22．多项式函数 P(x) an x an 1x L a0 的奇偶性
多项式函数 P(x)是奇函数 P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数 P(x)是偶函数 P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数 y f (x)的图象的对称性
(1)函数 y f (x)的图象关于直线 x a对称 f (a x) f (a x)
f (2a x) f (x).
a b
(2)函数 y f (x)的图象关于直线 x 对称 f (a mx) f (b mx)
2
f (a b mx) f (mx) .
24.两个函数图象的对称性
(1)函数 y f (x)与函数 y f ( x) 的图象关于直线 x 0 (即 y 轴)对称.
a b
(2)函数 y f (mx a)与函数 y f (b mx)的图象关于直线 x 对称.
2m
(3)函数 y f (x)和 y f 1(x)的图象关于直线 y=x对称.
25.若将函数 y f (x)的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数 y f (x a) b的图
象；若将曲线 f (x, y) 0 的图象右移 a 、上移b 个单位，得到曲线 f (x a, y b) 0的
图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f (a) b f 1(b) a .
1 1
27.若函数 y f (kx b) 存在反函数 ,则其反函数为 y [ f (x) b] ,并不是
k
y [ f 1
1
(kx b) ,而函数 y [ f 1(kx b)是 y [ f (x) b]的反函数.
k
28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数 f (x) cx , f (x y) f (x) f (y), f (1) c .
x
(2)指数函数 f (x) a , f (x y) f (x) f (y), f (1) a 0 .
(3)对数函数 f (x) loga x , f (xy) f (x) f (y), f (a) 1(a 0,a 1).
(4)幂函数 f (x) x

, f (xy) f (x) f (y), f '(1) .
(5)余弦函数 f (x) cos x,正弦函数 g(x) sin x ， f (x y) f (x) f (y) g(x)g(y)，
g(x)
f (0) 1, lim 1.
x 0 x
29.几个函数方程的周期(约定 a>0)
（1） f (x) f (x a)，则 f (x) 的周期 T=a；
（2） f (x) f (x a) 0，
1
或 f (x a) ( f (x) 0)，
f (x)
1
或 f (x a) ( f (x) 0) ,
f (x)
4
1
f (x) f 2或 (x) f (x a), ( f (x) 0,1 ) ,则 f (x) 的周期 T=2a；
2
1
(3) f (x) 1 ( f (x) 0) ，则 f (x) 的周期 T=3a；
f (x a)
f (x ) f (x )
(4) f (x 1 21 x2) 且 f (a) 1( f (x1) f (x2) 1,0 | x ，则1 x2 | 2a)
1 f (x1) f (x2)
f (x) 的周期 T=4a；
(5) f (x) f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a)
f (x) f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a),则 f (x) 的周期 T=5a；
(6) f (x a) f (x) f (x a)，则 f (x) 的周期 T=6a.
30.分数指数幂
m
1
(1) a n （a 0,m,n N ，且n 1）.
n am
m
1
(2) a n （a 0,m,n N ，且n 1）.
m
a n
31．根式的性质
n
（1） ( n a ) a .
n n
（2）当 n为奇数时， a a ；
n a,a 0
当 n为偶数时， an | a | .
a,a 0
32．有理指数幂的运算性质
(1) ar as ar s (a 0,r, s Q) .
(2) (ar )s ars (a 0,r, s Q).
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0,r Q) .
p
注：若 a＞0，p是一个无理数，则 a 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
loga N b a
b N (a 0,a 1, N 0) .
34.对数的换底公式
log N
loga N
m (a 0 ,且a 1,m 0,且m 1, N 0).
logm a
n n
推论 log m b loga b (a 0 ,且a 1,m,n 0 ,且m 1,n 1, N 0). a m
35．对数的四则运算法则
若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1) loga (MN) log M log N ; a a
M
(2) loga loga M loga N ;
N
(3) log
n
a M n loga M (n R) .
2
36.设函数 f (x) log m (ax bx c)(a 0) ,记 b
2 4ac .若 f (x) 的定义域为
R ,则 a 0，且 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则a 0，且 0 .对于a 0的情形,需要
单独检验.
5
37. 对数换底不等式及其推广
1
若a 0 ,b 0, x 0 , x ,则函数 y logax (bx)
a
1 1
(1)当a b时,在 (0, )和 ( , )上 y logax (bx)为增函数.
a a
1 1
， (2)当a b时,在 ( 0 , 和) ( , )上 y l o gax b(x 为)减函数.
a a
推论:设n m 1， p 0，a 0，且a 1，则
（1） logm p (n p) logm n .
m n
（2） loga m loga n log
2
a .
2
38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有
y N(1 p)x .
39.数列的同项公式与前 n项的和的关系
s1, n 1
an ( 数列{an}的前 n项的和为 s ). n a1 a2 L an
sn sn 1,n 2
40.等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d dn a1 d (n N
*) ；
其前 n 项和公式为
n(a a ) n(n 1)
sn
1 n na1 d
2 2
d 2 1 n (a1 d )n .
2 2
41.等比数列的通项公式
a a qn 1
a
n 1
1 qn (n N *)；
q
其前 n 项的和公式为
a1(1 q
n )
,q 1
sn 1 q

na1,q 1
a1 anq
,q 1
或 s 1 q . n

na1,q 1
42.等比差数列 an :an 1 qa d,a b(q 0)的通项公式为 n 1
b (n 1)d ,q 1

a bqnn (d b)q
n 1 d ；
,q 1
q 1
其前 n 项和公式为
6
nb n(n 1)d , (q 1)

sn d 1 q
n d .
(b ) n, (q 1)
1 q q 1 1 q
43.分期付款(按揭贷款)
ab(1 b)n
每次还款 x 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为b ).
(1 b)n 1
44．常见三角不等式

（1）若 x (0, )，则sin x x tan x .
2

(2) 若 x (0, )，则1 sin x cos x 2 .
2
(3) | sin x | | cos x | 1.
45.同角三角函数的基本关系式
sin
sin2 cos2 1， tan = ， tan cot 1.
cos
46.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
n
n ( 1)2 sin , (n为偶数)
sin( )
2 n 1
( 1)
2 cos , (n为奇数)
(n为偶数)
n
n ( 1 2)co s ,
cos ( )
2 n 1 (n为奇数) ( 1 )2 s i n ,
47.和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin ;
cos( ) cos cos msin sin ;
tan tan
tan( ) .
1mtan tan
sin( )sin( ) sin2 sin2 (平方正弦公式);
cos( )cos( ) cos2 sin2 .
2
asin bcos = a b2 sin( ) (辅助角所在象限由点 (a,b) 的象限决
b
定, tan ).
a
48.二倍角公式
sin 2 sin cos .
cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 .
2 tan
tan 2 .
1 tan2
49. 三倍角公式

sin 3 3sin 4sin3 4sin sin( )sin( ) .
3 3
7
3 cos3 4cos 3cos 4cos cos( )cos( ) .
3 3
3tan tan3
tan 3 tan tan( ) tan( ) .
1 3tan2 3 3
50.三角函数的周期公式
函数 y sin( x )，x∈R及函数 y cos( x )，x∈R(A,ω, 为常数，且 A≠0，
2
ω＞0)的周期T ；函数 y tan( x ) ， x k ,k Z (A,ω, 为常数，且 A
2

≠0，ω＞0)的周期T .

51.正弦定理
a b c
2R .
sin A sin B sin C
52.余弦定理
a2 b2 c2 2bccos A;
b2 c2 a2 2cacos B ;
c2 a2 b2 2abcosC .
53.面积定理
1 1 1
（1） S aha bhb ch h 、h 、hc （ a b c 分别表示 a、b、c边上的高）.
2 2 2
1 1 1
（2） S absin C bcsin A ca sin B .
2 2 2
1 uuur uuur uuur uuur
(3) S OAB (| OA | | OB |)
2 (OA OB)2 .
2
54.三角形内角和定理
在△ABC 中，有 A B C C (A B)
C A B
2C 2 2(A B) .
2 2 2
55. 简单的三角方程的通解
sin x a x k ( 1)k arcsin a(k Z,| a | 1).
cos x a x 2k arccosa(k Z,| a | 1) .
tan x a x k arctan a(k Z,a R) .
特别地,有
sin sin k ( 1)k (k Z).
cos cos 2k (k Z) .
tan tan k (k Z) .
56.最简单的三角不等式及其解集
sin x a(| a | 1) x (2k arcsin a,2k arcsin a),k Z .
sin x a(| a | 1) x (2k arcsin a,2k arcsin a),k Z .
cos x a(| a | 1) x (2k arccosa,2k arccosa),k Z .
cos x a(| a | 1) x (2k arccosa,2k 2 arccosa),k Z .

tan x a(a R) x (k arctan a,k ),k Z .
2
8

tan x a(a R) x (k ,k arctan a),k Z .
2
57.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
58.向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;
(2)（ a）·b= （a·b）= a·b= a·（ b）;
(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.
59.平面向量基本定理
如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且
只有一对实数λ1、λ2，使得 a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
60．向量平行的坐标表示
设 a= (x , y ) ,b= (x2 , y2 )，且 b 0，则 aPb(b 0)1 1 x1 y2 x2 y1 0 .
53. a与 b的数量积(或内积)
a·b=|a||b|cosθ．
61. a·b 的几何意义
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
62.平面向量的坐标运算
(1)设 a= (x ,b= (x , y )，则 a+b= (x x , y y ) . 1, y1) 2 2 1 2 1 2
(2)设 a= (x , y ) ,b= (x2 , y2 )，则 a-b= (x1 x2 , y1 y2 ) . 1 1
uuur uuur uuur
(3)设 A (x , y ) ，B (x1 1 2 , y2 ) ,则 AB OB OA (x2 x1, y2 y1) .
(4)设 a= (x, y), R ，则 a= ( x, y) .
(5)设 a= (x , y ) ,b= (x2 , y2 )，则 a·b=1 1 (x . 1x2 y1y2)
63.两向量的夹角公式
x x y y
cos 1 2 1 2 (a= (x , y ) ,b= (x1 1 2 , y2 ) ).
x2 21 y1 x
2 2
2 y2
64.平面两点间的距离公式
uuur uuur uuur
dA,B = | AB | AB AB
(x2 x
2
1) (y2 y )
2
1 (A (x ，B (x , y ) ). 1, y1) 2 2
65.向量的平行与垂直
设 a= (x , y ) ,b= (x2 , y1 1 2 )，且 b 0，则
A||b b=λa x y x y 0 . 1 2 2 1
a b(a 0) a·b=0 x . 1x2 y1y2 0
66.线段的定比分公式
uuur uuur
设 P1(x1, y1)，P2 (x2 , y2 ) ，P(x, y) 是线段 PP 的分点, 是实数，且 P1P PP2 ，则 1 2
x
x 1
x2 uuur uuur
1 uuur OP1 OP2
OP
y1 y2 1 y
1
9
uuur uuur uuur 1
OP tOP1 (1 t)OP2 （ t ）.
1
67.三角形的重心坐标公式
△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC 的重心的坐
x
标是G( 1
x2 x3 y, 1
y2 y3 ).
3 3
68.点的平移公式
x ' x h x x ' h uuur uuur uuur' '
OP OP PP .
y ' y k y y
' k
uuur
注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 F ' P
' (x ' , y '上的对应点为 ) ，且 PP' 的
坐标为 (h,k) .
69.“按向量平移”的几个结论
（1）点 P(x, y)按向量 a= (h,k)平移后得到点 P'(x h, y k).
(2) 函数 y f (x)的图象C 按向量 a= (h,k) 平移后得到图象C ' ,则C ' 的函数解析式
为 y f (x h) k .
(3) 图象C ' 按向量 a= (h,k)平移后得到图象C ,若C 的解析式 y f (x) ,则C ' 的函数
解析式为 y f (x h) k .
(4)曲线 C : f (x, y) 0 按向量 a= (h,k) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的方程为
f (x h, y k) 0.
(5) 向量 m= (x, y)按向量 a= (h,k)平移后得到的向量仍然为 m= (x, y).
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为 ABC所在平面上一点，角 A, B,C 所对边长分别为a,b,c，则
uuur 2 uuur 2 uuur 2
（1）O为 ABC的外心 OA OB OC .
uuur uuur uuur r
（2）O为 ABC的重心 OA OB OC 0.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
（3）O为 ABC的垂心 OA OB OB OC OC OA.
uuur uuur uuur r
（4）O为 ABC的内心 aOA bOB cOC 0.
uuur uuur uuur
（5）O为 ABC的 A的旁心 aOA bOB cOC .
71.常用不等式：
（1）a,b R a2 b2 2ab (当且仅当 a＝b时取“=”号)．
a b
（2）a,b R ab (当且仅当 a＝b时取“=”号)．
2
（3）a3 b3 c3 3abc(a 0,b 0,c 0).
（4）柯西不等式
(a2 b2)(c2 d 2) (ac bd)2,a,b,c,d R.
（5） a b a b a b .
72.极值定理
已知 x, y都是正数，则有
（1）若积 xy是定值 p ，则当 x y 时和 x y有最小值2 p ；
1
（2）若和 x y是定值 s ，则当 x y 时积 xy 2有最大值 s .
4
x, y R (x y)2 (x y)2推广已知，则有 2xy
（1）若积 xy是定值,则当 | x y |最大时, | x y |最大；
10
当 | x y |最小时, | x y |最小.
（2）若和 | x y |是定值,则当 | x y |最大时, | xy |最小；
当 | x y |最小时, | xy |最大.
73.一元二次不等式 ax2 bx c 0(或 0) (a 0, b2 4ac 0) ，如果 a 与
ax2 bx c 同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 ax2 bx c 异号，则其解集在两
根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1 x x2 (x x1)(x x2) 0(x1 x2)；
x x1,或x x2 (x x1)(x x2) 0(x . 1 x2)
74.含有绝对值的不等式
当 a> 0 时，有
x a x2
2
a a x a .
x a x2 a2 x a 或 x a .
75.无理不等式
f (x) 0

（1） f (x) g(x) g(x) 0 .

f (x) g(x)
f (x) 0
f (x) 0
（2） f (x) g(x) g(x) 0 或 .
2 g(x) 0
f (x) [g(x)]
f (x) 0

（3） f (x) g(x) g(x) 0 .

f (x) [g(x)]
2
76.指数不等式与对数不等式
(1)当a 1时,
a f (x) ag (x) f (x) g(x);
f (x) 0

loga f (x) loga g(x) g(x) 0 .

f (x) g(x)
(2)当0 a 1时,
a f (x) ag (x) f (x) g(x);
f (x) 0

loga f (x) loga g(x) g(x) 0

f (x) g(x)
77.斜率公式
y2 yk 1 （ P1(x1, y1)、 P2 (x2 , y2 ) ）.
x2 x1
78.直线的五种方程
（1）点斜式 y y k(x x ) (直线 l 过点 P1(x1, y1)，且斜率为 k )． 1 1
（2）斜截式 y kx b (b为直线 l 在 y轴上的截距).
y y x x
（3）两点式 1 1 ( y y )( P1 2 1(x1, y1)、P2 (x2 , y2 ) ( x1 x2 )).
y2 y1 x2 x1
11
x y
(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b 0)
a b
（5）一般式 Ax By C 0 (其中 A、B 不同时为 0).
79.两条直线的平行和垂直
(1)若 l1 : y k1x b ，1 l2 : y k2x b 2
① l1 || l ; 2 k1 k2 ,b1 b2
② l1 l . 2 k1k2 1
(2)若 l : A x B y C 0 , l : A x B y C 0 ,且 A1、A2、B 、B1 1 1 1 2 2 2 2 1 2都不为零,
A
① l || l 1
B
1
C
1 ； 1 2
A2 B2 C2
② l l ； 1 2 A1A2 B1B2 0
80.夹角公式
k k
(1) tan | 2 1 | .
1 k2k1
( l : y k x b ，1 1 1 l2 : y k2x b ,2 k1k2 1)
A B A
(2) tan | 1 2 2
B1 | .
A1A2 B1B2
( l1 : A1x B1y C 0 ,1 l2 : A2x B y C 0 , ). 2 2 A1A2 B1B2 0

直线 l1 l 时，直线 l 与 l2 1 2的夹角是 .
2
81. l1到 l2 的角公式
k k
(1) tan 2 1 .
1 k2k1
( l : y k x b ， l : y k x b , k k 1) 1 1 1 2 2 2 1 2
A B A B
(2) tan 1 2 2 1 .
A1A2 B1B2
( l , , ). 1 : A1x B1y C1 0 l2 : A2x B 2 y C2 0 A1A2 B1B2 0

直线 l 时，直线 l 到 l 的角是 . 1 l2 1 2
2
82．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点 P0 (x0 , y0 ) 的直线系方程为 y y0 k(x x0 ) (除直线
x x0 ), 其中 k 是待定的系数 ; 经过定点 P0 (x0 , y0 ) 的直线系方程为
A(x x0) B(y y ) 0 ,其中 A, B是待定的系数． 0
(2)共点直线系方程：经过两直线 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C 0的交2
点的直线系方程为 (A1x B1y C1) (A2x B2 y C2) 0 (除 l2 )，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线 y kx b中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线
系方程．与直线 Ax By C 0平行的直线系方程是 Ax By 0 ( 0 )，λ是
参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 Ax By C 0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx Ay 0,λ是参变量．
83.点到直线的距离
12
| Ax0 By0 C |d (点 P(x0 , y0 ) ,直线 l ： Ax By C 0 ).
A2 B2
84. Ax By C 0或 0所表示的平面区域
设直线 l : Ax By C 0，则 Ax By C 0或 0所表示的平面区域是：
若 B 0，当 B 与 Ax By C 同号时，表示直线 l 的上方的区域；当 B 与 Ax By C
异号时，表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若 B 0，当 A与 Ax By C 同号时，表示直线 l 的右方的区域；当 A与 Ax By C
异号时，表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. (A1x B1y C )(A x B y C ) 0或 0所表示的平面区域 1 2 2 2
设曲线C : (A （），则 1x B1y C1)(A2x B2 y C2) 0 A1A2B1B2 0
(A1x B1y C1)(A2x B2 y C ) 0或 0所表示的平面区域是： 2
(A x B 所表示的平面区域上下两部分； 1 1y C1)(A2x B2 y C2) 0
(A x B y C )(A x B y C ) 0所表示的平面区域上下两部分. 1 1 1 2 2 2
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2 .
（2）圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 ( D2 E2 4F ＞0).
x a r cos
（3）圆的参数方程 .
y b r sin
（4）圆的直径式方程 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0 (圆的直径的端点是
A(x1, y )、 B(x2 , y1 2 )).
87. 圆系方程
(1)过点 A(x , y ) , B(x , y )的圆系方程是 1 1 2 2
(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) [(x x1)(y1 y2) (y y )(x x )] 0 1 1 2
(x x1)(x x2) (y y1)(y y2) (ax by c) 0 , 其中 ax by c 0 是直线
AB 的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线 l : Ax By C 0 与圆C : x2 y2 Dx Ey F 0 的交点的圆系方程
是 x2 y2 Dx Ey F (Ax By C) 0,λ是待定的系数．
2
(3) 过圆C1 : x y
2 D1x E1y F1 0
2 2
与圆C : x y D2x E2 y F2 0 的交2
x2 y2 D x E y F (x2 2点的圆系方程是 1 1 1 y D2x E2 y F2 ) 0 ,λ是待定的
系数．
88.点与圆的位置关系
点 P(x0 , y0 )与圆 (x a)
2 (y b)2 r 2 的位置关系有三种
若 d (a x0 )
2 (b y )20 ，则
d r 点 P 在圆外;d r 点 P 在圆上;d r 点 P 在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线 Ax By C 0 2与圆 (x a) (y b)2 r 2 的位置关系有三种:
d r 相离 0;
d r 相切 0;
d r 相交 0.
Aa Bb C
其中d .
A2 B 2
13
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， O1O2 d
d r1 r 外离 4条公切线; 2
d r1 r2 外切 3条公切线;
r1 r2 d r1 r2 相交 2条公切线 ;
d r1 r2 内切 1条公切线 ;
0 d r1 r2 内含无公切线 .
91.圆的切线方程
(1)已知圆 x2 y2 Dx Ey F 0．
①若已知切点 (x0 , y0 )在圆上，则切线只有一条，其方程是
D(x x) E(y y)
x0x y0 y
0 0 F 0.
2 2
D(x0 x) E(y0 y)当 (x0 , y0 ) 圆外时, x0x y0 y F 0表示过两个切点
2 2
的切点弦方程．
②过圆外一点的切线方程可设为 y y0 k(x x0 )，再利用相切条件求 k，这时必
有两条切线，注意不要漏掉平行于 y轴的切线．
③斜率为 k的切线方程可设为 y kx b，再利用相切条件求 b，必有两条切线．
(2)已知圆 x2 y2 r2 ．
2
①过圆上的 P0 (x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0x y0 y r ;
②斜率为 k 的圆的切线方程为 y kx r 1 k
2
.
x2 y2 x a cos
92.椭圆 1(a b 0)的参数方程是 .
a2 b2

y bsin
x2 y2
93.椭圆 1(a b 0)焦半径公式
a2 b2
a 2 a 2
PF1 e(x )， PF2 e( x) .
c c
94．椭圆的的内外部
2 2
x2 y2 x y
（1）点 P(x0 , y0 )在椭圆 1(a b 0)的内部
0 0 1.
a2 b2 a2 b2
x2 y2 x
2 y2
（2）点 P(x0 , y )在椭圆 1(a b 0)的外部
0 00 1.
a2 b2 a2 b2
95. 椭圆的切线方程
x2 y2 x x y y
(1)椭圆 1(a b 0)上一点 P(x , y )处的切线方程是 0 00 0 1.
a2 b2 a2 b2
x2 y2
（2）过椭圆 1(a b 0)外一点 P(x0 , y0 )所引两条切线的切点弦方程是
a2 b2
x0x y y 0 1.
a2 b2
x2 y2
（ 3 ）椭圆 1(a b 0) 与直线 Ax By C 0 相切的条件是
a2 b2
14
A2a2 B2b2 c2 .
x2 y2
96.双曲线 1(a 0,b 0) 的焦半径公式
a2 b2
a2 a2
PF1 | e(x ) | ， PF2 | e( x) | .
c c
97.双曲线的内外部
2 2 x2 y2x y
(1)点 P(x0 , y0 )在双曲线 1(a 0,b 0) 的内部
0 0 1.
a2 b2 a2 b2
x2 y2 x
2 y2
(2)点 P(x0 , y0 )在双曲线 1(a 0,b 0) 的外部
0 0 1.
a2 b2 a2 b2
98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x 2 y 2 x2 y2 b
(1）若双曲线方程为 1 渐近线方程： 0 y x .
a 2 b2 a
2 b2 a
x y x 2b y
2
(2)若渐近线方程为 y x 0 双曲线可设为 .
a a b a 2 b2
x 2 y 2 x 2 y 2
(3)若双曲线与 1有公共渐近线，可设为（ 0，焦点在 x
a 2 b2 a 2 b2
轴上， 0，焦点在 y 轴上）.
99. 双曲线的切线方程
x2 y2 x x y y
(1)双曲线 1(a 0,b 0) 上一点 P(x0 , y0 )处的切线方程是
0 0 1.
a2 b2 a2 b2
x2 y2
（2）过双曲线 1(a 0,b 0) 外一点 P(x0 , y0 )所引两条切线的切点弦方程是
a2 b2
x0x y y 0 1.
a2 b2
x2 y2
（ 3 ）双曲线 1(a 0,b 0) 与直线 Ax By C 0 相切的条件是
a2 b2
A2a2 B2b2 c2 .
2
100. 抛物线 y 2 px 的焦半径公式
p
抛物线 y2 2px(p 0)焦半径 CF x0 .
2
p p
过焦点弦长 CD x1 x2 x1 x2 p .
2 2
2
2 y
101.抛物线 y 2 px 上的动点可设为 P ( , y )或 P(2pt
2 ,2pt)或 P (xo, y )，其中 o
2 p
y2o 2 pxo.
2 b 4ac b
2
102.二次函数 y ax bx c a(x )
2 (a 0)的图象是抛物线：（1）顶
2a 4a
b 4ac b2 b 4ac b2 1
点坐标为 ( , ) ；（2）焦点的坐标为 ( , ) ；（3）准线方程是
2a 4a 2a 4a
4ac b2 1
y .
4a
103.抛物线的内外部
15
2
(1)点 P(x0 , y0 )在抛物线 y
2 2px(p 0)的内部 y 2 px( p 0) .
2
点 P(x0 , y0 )在抛物线 y
2 2px(p 0)的外部 y 2 px( p 0) .
(2)点 P(x0 , y0 )在抛物线 y
2 2px(p 0) 的内部 y2 2px( p 0) .
点 P(x0 , y0 )在抛物线 y
2 2px(p 0) 的外部 y2 2px( p 0).
(3)点 P(x0 , y0 )在抛物线 x
2 2py(p 0) 的内部 x2 2py(p 0) .
点 P(x0 , y0 )在抛物线 x
2 2py(p 0) 的外部 x2 2py(p 0) .
(4) 点 P(x0 , y0 )在抛物线 x
2 2py(p 0) 的内部 x2 2py(p 0) .
点 P(x0 , y0 )在抛物线 x
2 2py(p 0)的外部 x2 2py( p 0) .
104. 抛物线的切线方程
2
(1)抛物线 y 2 px 上一点 P(x0 , y0 )处的切线方程是 y0 y p(x x0) .
（ 2 ）过抛物线 y
2 2 px 外一点 P(x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是
y . 0 y p(x x0)
（3）抛物线 y2 2px(p 0)与直线 Ax By C 0相切的条件是 pB2 2AC .
105.两个常见的曲线系方程
(1)过曲线 f1(x, y) 0 , f (x, y) 0的交点的曲线系方程是 2
f1(x, y) f2(x, y) 0( 为参数).
x2 y2 2 2
(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 1 ,其中 k max{a ,b } .当
a2 k b2 k
k min{a2 ,b2}时,表示椭圆; 当min{a2 ,b2} k max{a2,b2}时,表示双曲线.
2 2
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB (x1 x2 ) (y1 y2 ) 或
AB (1 k 2 )(x 2 2 22 x1) | x1 x2 | 1 tan | y1 y2 | 1 co t （弦端点
y kx b
A (x1, y1),B(x2 , y2 ) ，由方程
2
消去 y 得到ax bx c 0， 0, 为直
F(x, y) 0
线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率）.
107.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线F(x, y) 0关于点 P(x0 , y0 )成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0 y) 0.
（2）曲线F(x, y) 0关于直线 Ax By C 0成轴对称的曲线是
2A(Ax By C) 2B(Ax By C)
F(x , y ) 0 .
A2 B2 A2 B2
108.“四线”一方程
对于一般的二次曲线 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0，用 x0 x 代 x
2 ，用 y0 y 代 y
2 ，
x0 y xy x x y y用 0 代 xy，用 0 代 x ，用 0 代 y 即得方程
2 2 2
x y xy x x y y
Ax0x B
0 0 Cy0 y D
0 E 0 F 0，曲线的切线，切点弦，中点
2 2 2
弦，弦中点方程均是此方程得到.
109．证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）转化为线面垂直；
16
（5）转化为面面平行.
110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直.
112．证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114．证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律：a＋b=b＋a．
(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．
(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体
的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量 a、b(b≠0 )，a∥b 存在实数λ使 a=λb．
uuur uuur uuur uuur uuur
P、A、B三点共线 AP || AB AP t AB OP (1 t)OA tOB .
uuur uuur uuur uuur
AB || CD AB 、CD共线且 AB、CD不共线 AB tCD且 AB、CD不共线.
118.共面向量定理
向量 p 与两个不共线的向量 a、b共面的存在实数对 x, y ,使 p ax by．
uuur uuur uuur
推论空间一点 P位于平面 MAB内的存在有序实数对 x, y ,使MP xMA yMB ，
uuur uuuur uuur uuur
或对空间任一定点 O，有序实数对 x, y，使OP OM xMA yMB .
uuur uuur uuur uuur
119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足 OP xOA yOB zOC
（ x y z k ），则当 k 1时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C四点共面；当k 1
时，若O 平面 ABC，则 P、A、B、C四点共面；若O 平面 ABC，则 P、A、B、C四点不共
面．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A、B、 C、D 四点共面 AD与 AB 、 AC 共面 AD xAB y AC
uuur uuur uuur uuur
OD (1 x y)OA xOB yOC （O 平面 ABC）.
120.空间向量基本定理
如果三个向量 a、b、c不共面，那么对空间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组 x，
y，z，使 p＝xa＋yb＋zc．
推论设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实
17
uuur uuur uuur uuur
数 x，y，z，使OP xOA yOB zOC .
121.射影公式
uuur
已知向量 AB =a 和轴 l ，e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A'，作 B
点在 l 上的射影 B '，则
uuur
A'B ' | AB | cos〈a，e〉=a·e
122.向量的直角坐标运算
设 a＝ (a1,a2,a3)，b＝ (b 则 1,b2,b3)
(1)a＋b＝ (a b ,a b ,a b )； 1 1 2 2 3 3
(2)a－b＝ (a ； 1 b1,a2 b2 ,a3 b3)
(3)λa＝ ( a1, a2 , a3) (λ∈R)；
(4)a·b＝a ； 1b1 a2b2 a3b3
123.设 A (x1, y1, z1) ，B (x2 , y2 , z2 ) ，则
uuur uuur uuur
AB OB OA= (x x , y y , z z ) . 2 1 2 1 2 1
124．空间的线线平行或垂直
r r
设 a (x1, y1, z1)，b (x2 , y2 , z2 ) ，则
x x
r r r r r r 1 2
a Pb a b(b 0) y y ； 1 2

z1 z2
r r r r
a b a b 0 x1x . 2 y1y2 z1z2 0
125.夹角公式
设 a＝ (a1,a2,a3)，b＝ (b1,b ,b )，则 2 3
a
cos〈a，b〉= 1
b1 a2b2 a3b3 .
a2 a2 a21 2 3 b
2 2 2
1 b2 b3
推论 (a1b1 a2b2 a3b
2
3) (a
2
1 a
2
2 a
2
3 )(b
2 2
1 b2 b
2
3 ) ，此即三维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体 ABCD中, AC 与 BD所成的角为 ,则
| (AB2 CD2 ) (BC2 DA2 ) |
cos .
2AC BD
127．异面直线所成角
r r
cos | cos a,b |
r r
| a b | | x x y y z z |
= r r 1 2 1 2 1 2
| a | | b | x 21 y
2
1 z
2
1 x
2 2
2 y2 z
2
2
r r
（其中（0o 90o）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）
128.直线 AB 与平面所成角
uuur ur
AB m ur
arcsin uuur ur ( m 为平面的法向量).
| AB || m |
129.若 ABC所在平面若与过若 AB 的平面成的角 ,另两边 AC , BC 与平面
成的角分别是 1 、 2 , A、B为 ABC的两个内角，则
18
sin2 1 sin
2 2 (sin
2 A sin2 B)sin2 .
特别地,当 ACB 90o时,有
sin2 21 sin 2 sin
2 .
130.若 ABC所在平面若与过若 AB 的平面成的角 ,另两边 AC , BC 与平面
成的角分别是 ' '1 、 2 , A、B 为 ABO的两个内角，则
tan2 tan21 2 (sin
2 A' sin2 B ') tan2 .
特别地,当 AOB 90o时,有
sin2 1 sin
2 2 sin
2 .
131.二面角 l 的平面角
ur r ur r
m n m n ur r
arc cos ur r 或 arc cos ur r （m ， n 为平面，的法向量）.
| m || n | | m || n |
132.三余弦定理
设 AC 是α内的任一条直线，且 BC⊥AC，垂足为 C，又设 AO 与 AB 所成的角为 1 ，AB
与 AC所成的角为 2 ，AO 与 AC所成的角为．则cos cos 1 cos . 2
133. 三射线定理
若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 1 , 2 ,与二
2
面角的棱所成的角是θ，则有 sin sin2 sin2 1 sin
2 2 2sin 1 sin 2 cos ;
| | 180o1 2 ( 1 2 ) (当且仅当 90
o时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若 A (x1, y1, z1) ，B (x2 , y2 , z2 ) ，则
uuur uuur uuur
d | AB | AB AB (x x )2 (y y )2 A,B = 2 1 2 1 (z2 z1)
2
.
135.点Q到直线 l 距离
1 uuur
h (| a || b |)2 (a b)2 (点 P 在直线 l 上，直线 l 的方向向量 a= PA ，向量
| a |
uuur
b= PQ ).
136.异面直线间的距离
uuur uur
| CD n | r
d r ( l1, l2 是两异面直线，其公垂向量为 n ，C、D分别是 l1, l2 上任一点，d 为
| n |
l1, l2 间的距离).
137.点 B 到平面的距离
uuur uur
| AB n | r
d r （ n 为平面的法向量， AB 是经过面的一条斜线， A ）.
| n |
138.异面直线上两点距离公式
d h2 m2 n2 m2mncos .
uuur uuur
d h2 m2 n2 2mncos EA' , AF .
d h2 m2 n2 2mncos （ E AA' F ）.
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ，其公垂线段 AA' 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两
'
点 E、F， A E m, AF n , EF d ).
139.三个向量和的平方公式
19
r r r r 2 r 2 r 2 r r r r r r
(a b c)2 a b c 2a b 2b c 2c a
r 2 r 2 r 2 r r r r r r r r r r r r
a b c 2 | a | | b | cos a,b 2 | b | | c | cos b,c 2 | c | | a | cos c,a
140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3，夹角分
别为 1、 2、 ,则有 3
l 2 l 2 l 2 l 2 cos2 cos2 2 sin2 sin2 sin21 2 3 1 2 cos 1 1 2 3 23 .
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
141. 面积射影定理
S '
S .
cos
(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ，它们所在平面所成锐二面角的为 ).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S V斜棱柱侧和斜棱柱 ,它的直截面的周长和
面积分别是 c 和 S1 ,则 1
① S c斜棱柱侧 1l .
②V S l斜棱柱 1 .
143．作截面的依据
三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.
144．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面
积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形
是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面
积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
145.欧拉定理(欧拉公式)
V F E 2(简单多面体的顶点数 V、棱数 E和面数 F).
（1） E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形，则面数 F
1
与棱数 E的关系： E nF ；
2
1
（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数 V与棱数 E的关系： E mV .
2
146.球的半径是 R，则
4 3
其体积V R ,
3
其表面积 S 4 R2 ．
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
6 6
棱长为 a的正四面体的内切球的半径为 a ,外接球的半径为 a .
12 4
148．柱体、锥体的体积
20
1
V柱体 Sh （ S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
3
1
V锥体 Sh （ S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3
149.分类计数原理（加法原理）
N m m L m . 1 2 n
150.分步计数原理（乘法原理）
N m1 m2 L m . n
151.排列数公式
m n！ *An =n(n 1) (n m 1)= .( n ，m ∈N ，且m n )．
(n m)！
注:规定0! 1.
152.排列恒等式
m m 1
(1） An (n m 1)An ;
m n m
（2） An An 1;
n m
m m 1
（3） An nAn 1 ;
nAn An 1 n（4） n n 1 An ;
m m m 1
（5） An 1 An mAn .
(6) 1! 2 2! 3 3! L n n! (n 1)! 1.
153.组合数公式
m
C m
An n(n 1) (n m 1) n！ *
n = = = ( n ∈N ，m N ，且m n ).
Amm 1 2 m m！ (n m)！
154.组合数的两个性质
(1)C
m C n mn = n ;
m m 1 m
(2) Cn +Cn =Cn 1 .
注:规定C
0
n 1.
155.组合恒等式
n m 1
Cm Cm 1（1） n n ;
m
Cm
n
Cm（2） n n 1 ;
n m
m n
（3）Cn C
m 1
n 1 ;
m
n
r
（4） C = 2nn ;
r 0
C r r r（5） r Cr 1 Cr 2 C
r C r 1n n 1 .
(6)C
0 1 2 r
n Cn Cn Cn C
n
n 2
n
.
(7)C
1
n C
3
n C
5 C 0 C 2 C 4 2n 1n n n n .
1 2 3
(8)Cn 2Cn 3Cn nC
n
n n2
n 1
.
21
C r(9) mC
0 r 1 1 0r r
n Cm Cn Cm Cn C
r
m n .
0 2 1
(10) (Cn ) (Cn )
2 (C 2 )2 (C n 2n n ) C
n
2n .
156.排列数与组合数的关系
Amn m！ C
m
n .
157．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m 个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
m 1 m m 1
①某（特）元必在某位有 An 1 种；②某（特）元不在某位有 An An 1 （补集思想）
A1 m 1 m 1 m 1n 1An 1 （着眼位置） An 1 Am 1An 1 （着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
k m k
①定位紧贴： k(k m n)个元在固定位的排列有 Ak An k 种.
n n k 1 k②浮动紧贴：个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An k 1 Ak 种.注：此类问题
常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有 k、h 个（ k h 1），把它们合在一起来作全排列，k 个的
h k
一组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah 1 种.
（3）两组元素各相同的插空
m 个大球 n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
An
当n m 1时，无解；当n m 1时，有 m 1 C
n
n m 1
种排法.
An
（4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为
C nm n .
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配
N C n C n C n C n C n
(mn)!
方法数共有 mn mn n mn 2n 2n n .
(n!)m
（2）(平均分组无归属问题)将相异的m · n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其
分配方法数共有
Cn n n n nmn Cmn n Cmn 2n... C2n Cn (mn)!N .
m! m!(n!)m
（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+L +nm )个物体分给m 个人，物件
必须被分完，分别得到 n1 ，n2 ，…，n 件，且 n1 ，n2 ，…，n 这m 个数彼此不相等，则m m
p!m!
其分配方法数共有 n nN C 1 C 2 nm . p p n ...C1 n m! m n1!n2!...nm!
（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+L +nm )个物体分给m 个人，
物件必须被分完，分别得到 n1 ，n2 ，…，n 件，且 n1 ，n2 ，…，n 这m m m 个数中分别有 a、
n1 nC C 2
n
...C mp p n n m! p!m!
b、c、…个相等，则其分配方法数有 N 1 m .
a!b!c!... n1!n2 !...nm !(a!b!c!...)
（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+L +nm )个物体分为任意的 n1 ，
n2 ，…， n 件无记号的m 堆，且 n1 ， n2 ，…， n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法m m
22
p!
数有 N .
n1!n2!...nm!
（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1+n2+L +nm )个物体分为任意的
n1 ，n2 ，…，n 件无记号的m 堆，且 n1 ，n2 ，…，n 这m 个数中分别有 a、b、c、…个m m
p!
相等，则其分配方法数有 N .
n1!n2!...nm!(a!b!c!...)
（7）(限定分组有归属问题)将相异的 p （ p n1+n2+L +nm ）个物体分给甲、乙、
丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得 n1 件，乙得n2 件，丙得 n3 件，…时，
则无论 n1， n2 ，…， n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 m
n1 n2 n
p!
N C mp Cp n ...C . 1 nm n1!n2!...nm!
159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信 n封信与 n 个信封全部错位的组合数为
1 1 1 1
f (n) n![ L ( 1)n ] .
2! 3! 4! n!
推广: n个元素与n个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为
f (n,m) n! C1m (n 1)! C
2
m (n 2)! C
3
m (n 3)! C
4
m(n 4)!
L ( 1) p C pm (n p)! L ( 1)
mCmm (n m)!
C1 C2 C3 C4 C p Cm
n![1 m m m m L ( 1) p m L ( 1)m m ] .
A1n A
2
n A
2
n A
4 Ap Amn n n
160．不定方程 x1+x2+L +xn m的解的个数
(1)方程 x1+x2+ +
n 1
L x （n m n,m N
）的正整数解有C 个.
m 1
n 1
(2) 方程 x1+x （
）的非负整数解有 C 个.
2+L +xn m n,m N n m 1

(3) 方程 x1+x2+L +xn m（ n,m N ）满足条件 xi k ( k N , 2 i n 1)
n 1
的非负整数解有C 个.
m 1 (n 2)(k 1)

(4) 方程 x1+x2+L +x （n m n,m N ）满足条件 xi k ( k N , 2 i n 1)
n 1
的正整数解有C C
1 C n 1 C 2 C n 1 L ( 1)n 2C n 2C n 1 个.
n m 1 n 2 m n k 2 n 2 m n 2k 3 n 2 m 1 (n 2)k
161.二项式定理
(a b)n C 0a n C1a n 1b C 2a n 2b2 C r a n r rn n n n b C
nbnn ;
二项展开式的通项公式
T C r a n rb rr 1 n (r 0，1，2 ，n) .
162.等可能性事件的概率
m
P(A) .
n
163.互斥事件 A，B分别发生的概率的和
P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164. n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
165.独立事件 A，B同时发生的概率
23
P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．
167.n次独立重复试验中某事件恰好发生 k次的概率
P (k) C k Pk (1 P)n kn n .
168.离散型随机变量的分布列的两个性质
（1） Pi 0(i 1,2,L ) ;
（2） P1 P2 L 1.
169.数学期望
E x1P1 x2P2 L x nPn L
170.数学期望的性质
（1） E(a b) aE( ) b.
（2）若～ B(n, p) ,则 E np .
1
(3) 若服从几何分布,且P( k) g(k, p) qk 1 p，则 E .
p
171.方差
2 2 2
D x1 E p1 x2 E p2 L xn E pn L
172.标准差
= D .
173.方差的性质
D a b a2(1) D ；
(2）若～ B(n, p) ，则D np(1 p) .
q
(3) 若服从几何分布,且P( k) g(k, p) qk 1 p，则 D .
p2
174.方差与期望的关系
2
D E 2 E .
175.正态分布密度函数
2
x
1
f x e 26
2
, x , ，式中的实数μ，（ >0）是参数，分别表
2 6
示个体的平均数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
x2
1
f x e 2 , x , .
2 6
177.对于 N( , 2) ，取值小于 x的概率
x
F x .

P x1 x0 x2 P x x2 P x x1
F x2 F x1
x2 x1 .

178.回归直线方程
24
n n
xi x yi y xi yi nx y
$ b
i 1 i 1
y a bx ，其中 n n 2 . xi x x
2
i nx
2

i 1 i 1

a y bx
179.相关系数
n n
xi x yi y xi x yi y
r i 1 i 1 .
n n n n
(x x )2i (yi y)
2 ( x 2 nx 2 )( y 2 2i i ny )
i 1 i 1 i 1 i 1
|r|≤1，且|r|越接近于 1，相关程度越大；|r|越接近于 0，相关程度越小.
180.特殊数列的极限
0 | q | 1

（1） lim qn 1 q 1 .
n

不存在 | q | 1或q 1
0 (k t)

akn
k a k 1
（2） lim k 1
n L a0 a t (k t) .
n b nt b nt 1

t t 1 L b0 bk

不存在 (k t)
a 1 q n1 a n 1
（3） S lim 1 （ S 无穷等比数列 a1q ( | q | 1)的和）.
n 1 q 1 q
181. 函数的极限定理
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a .
x x 0 x x0 x x0
182.函数的夹逼性定理
如果函数 f(x)，g(x)，h(x)在点 x0的附近满足：
（1） g(x) f (x) h(x) ;
（2） lim g(x) a, lim h(x) a （常数）,
x x0 x x0
则 lim f (x) a .
x x0
本定理对于单侧极限和 x 的情况仍然成立.
183.几个常用极限
1 n
（1） lim 0， lim a 0 （ | a | 1）；
n n n
1 1
（2） lim x x0 ， lim .
x x0 x x0 x x0
184.两个重要的极限
sin x
（1） lim 1；
x 0 x
x
1
（2） lim 1 e (e=2.718281845…).
x x
185.函数极限的四则运算法则
25
若 lim f (x) a， lim g(x) b ，则
x x0 x x0
(1) lim f x g x a b； x x0
(2) lim f x g x x x a b ; 0
f x a
(3) lim b 0 .
x x0 g x b
186.数列极限的四则运算法则
若 lim an a, lim bn b ，则
n n
(1) lim an bn a b；
n
(2) lim an bn a b；
n
a a
(3) lim n b 0
n bn b
(4) lim c an lim c lim an c a ( c 是常数).
n n n
187. f (x) 在 x0 处的导数（或变化率或微商）
y f (x x) f (x )
f (x 0 ) y x x lim lim
0 0 .
0 x 0 x x 0 x
188.瞬时速度
s s(t t) s(t)
s (t) lim lim .
t 0 t t 0 t
189.瞬时加速度
v v(t t) v(t)
a v (t) lim lim .
t 0 t t 0 t
190. f (x) 在 (a,b)的导数
dy df y f (x x) f (x)
f (x) y lim lim .
dx dx x 0 x x 0 x
191. 函数 y f (x)在点 x0 处的导数的几何意义
函数 y f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y f (x) 在 P(x0, f (x0)) 处的切线的斜率
f (x0 ) ，相应的切线方程是 y y0 f (x0)(x x0).
192.几种常见函数的导数
(1) C 0（C为常数）.
(x )' nxn 1(2) n (n Q) .
(3) (sin x) cosx .
(4) (cosx) sin x .
1 x 1 e
(5) (ln x) ； (loga ) loga .
x x
x x x x
(6) (e ) e ; (a ) a ln a .
193.导数的运算法则
（1） (u v)
' u ' v '.
' ' '
（2） (uv) u v uv .
26
u ' '' u v uv
（3） ( ) (v 0) .
v v2
194.复合函数的求导法则
设函数u (x)在点 x 处有导数u 'x
'(x) ，函数 y f (u)在点 x 处的对应点 U处有
导数 y
' f 'u (u) ，则复合函数 y f ( (x)) 在点 x y
' y ' u '处有导数，且 x u x ，或写作
f 'x ( (x)) f
'(u) '(x) .
195.常用的近似计算公式（当 x 充小时）
1 1
(1) 1 x 1 x ; n 1 x 1 x；
2 n
1
(2) (1 x) 1 x( R)； 1 x；
1 x
(3)ex 1 x ；
(4) ln (1 x) x ；
(5) sin x x（ x 为弧度）；
(6) tan x x（ x 为弧度）；
(7)arctanx x（ x 为弧度）
196.判别 f (x0 )是极大（小）值的方法
当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，
（1）如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，则 f (x0 )是极大值；
（2）如果在 x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，则 f (x0 ) 是极小值.
197.复数的相等
a bi c di a c,b d .（a,b,c,d R）
198.复数 z a bi 的模（或绝对值）
a2 2| z |= | a bi |= b .
199.复数的四则运算法则
(1) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;
(2) (a bi) (c di) (a c) (b d)i ;
(3) (a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i ;
ac bd bc ad
(4) (a bi) (c di) i(c di 0) .
c2 d 2 c2 d 2
200.复数的乘法的运算律
对于任何 z1, z2 , z3 C ，有
交换律: z1 z . 2 z2 z1
结合律: (z1 z2) z z (z z ) . 3 1 2 3
分配律: z1 (z2 z3) z1 z2 z1 z . 3
201.复平面上的两点间的距离公式
d | z1 z2 | (x2 x1)
2 (y2 y1)
2
（ z1 x1 y1i， z2 x2 y2i ）.
202.向量的垂直
uuuur uuuur
非零复数 z a bi ， z c di 对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，则 1 2
uuuur uuuur z
OZ OZ z z 2 2 2 1 2 1 2 的实部为零
2 为纯虚数 | z1 z2 | | z1 | | z2 |
z1
27
| z1 z2 |
2 | z1 |
2 | z2 |
2
| z1 z2 | | z1 z2 | ac bd 0 z1 iz2 (λ为非
零实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程ax2 bx c 0，
2 b b
2 4ac
①若 b 4ac 0,则 x1,2 ;
2a
2 b②若 b 4ac 0,则 x1 x2 ;
2a
③若 b2 4ac 0，它在实数集 R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭
b (b2 4ac)i 2
复数根 x (b 4ac 0) .
2a
高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如：集合A x|y lg x ，B y|y lg x ，C (x,y)|y lg x ，A、B、C
中元素各表示什么？
2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
2
如：集合A x|x 2x 3 0 ，B x|ax 1
28
若B A，则实数a的值构成的集合为
1
（答： 1，0，）
3
3. 注意下列性质：
（1）集合 a1，a2，……，an 的所有子集的个数是2n；
（2）若A B A B A，A B B；
（3）德摩根定律：
CU A B CUA CUB ，CU A B CUA CUB
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
ax 5
如：已知关于x的不等式 0的解集为M，若3 M且5 M，求实数a
x2 a
的取值范围。
a·3 5
（∵3 M，∴ 0
32 a
5
a 1， 9，25 ） 3
a·5 5
∵5 M，∴ 0
52 a
5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或” ( )，“且” ( ) 和
“非”( ).
若p q为真，当且仅当p、q均为真
若p q为真，当且仅p当、q至少有一个为真
若 p为真，当且仅当p为假
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A→B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应
元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许 B 中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？
29
x 4 x
例：函数 y 的定义域是
2
lg x 3
（答： 0，2 2，3 3，4 ）
10. 如何求复合函数的定义域？
如：函数f (x)的定义域是 a，b ，b a 0，则函数F(x) f (x) f ( x)的定
义域是_____________。
（答： a， a ）
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
如：f x 1 ex x，求f (x).
令t x 1，则t 0
2
∴x t 1
t2 1 2
∴f (t) e t 1
x2 1 2
∴f (x) e x 1 x 0
12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解 x；②互换 x、y；③注明定义域）
1 x x 0
如：求函数 f (x) 的反函数 2
x x 0
x 1 x 1 1
（答：f (x) ）
x x 0
13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线 y＝x 对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
③设y f(x)的定义域为A，值域为C，a A，b C，则f(a) = b f 1(b) a
1 1 1
f f (a) f (b) a，f f (b) f (a) b
14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
（y f (u)，u (x)，则y f (x)
（外层）（内层）
30
当内、外层函数单调相性同时f (x) 为增函数，否f则 (x) 为减函数。）
如：求y log 1 x2 2x 的单调区间
2
（设u x2 2x，由u 0则0 x 2
2
且 log 1 u ，u x 1 1，如图：
2
u
O 1 2 x
当x (0，1]时，u ，又 log 1 u ，∴y
2
当x [1，2)时，u ，又 log 1 u ，∴y
2
∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？
在区间 a，b 内，若总有f ' (x) 0则f (x)为增函数。（在个别点上导数等于
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f '(x) 0呢？
如：已知a 0，函数f (x) x3 ax在 1，上是单调增函数，则a的最大
值是（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
a a 2
（令f ' (x) 3x a 3 x x 0
3 3
a a
则x 或x
3 3
a
由已知f (x)在[1， )上为增函数，则 1，即a 3
3
∴a 的最大值为 3）
16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
若f( x) f(x)总成立 f(x)为奇函数函数图象关于原点对称
31
若f( x) f(x)总成立 f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0) 0。
a·2 x a 2
如：若f (x) 为奇函数，则实数a
2x 1
（∵f(x)为奇函数，x R，又0 R，∴f(0) 0
a·20 a 2
即 0，∴a 1）
20 1
2x
又如：f (x)为定义在( 1，1)上的奇函数，当x (0，1)时，f (x) ，
4x 1
求f (x)在 1，1 上的解析式。
2 x
（令x 1，0 ，则 x 0，1 ，f ( x)
4 x 1
2 x 2x
又f (x)为奇函数，∴f (x)
4 x 1 1 4 x
2 x x ( 1，0)

4 x 1 x 0
又f (0) 0，∴f (x) ）
x
2
x 0，1
x 4 1
17. 你熟悉周期函数的定义吗？
（若存在实数T（T 0），在定义域内总有f x T f(x)，则f(x)为周期
函数，T 是一个周期。）
如：若f x a f (x)，则
（答：f(x)是周期函数，T 2a为f(x)的一个周期）
又如：若f(x)图象有两条对称轴x a，x b
即f(a x) f(a x)，f(b x) f(b x)
则f(x)是周期函数，2a b为一个周期
32
如：
18. 你掌握常用的图象变换了吗？
f (x)与f ( x)的图象关于 y轴对称
f (x)与 f (x)的图象关于 x轴对称
f (x)与 f ( x)的图象关于原点对称
1
f (x)与f (x)的图象关于直线y x 对称
f (x)与f (2a x)的图象关于直线x a 对称
f (x)与 f (2a x)的图象关于点(a，0) 对称
左移a(a 0)个单位 y f (x a)
将y f (x)图象
右移a(a 0)个单位 y f (x a)
上移b(b 0)个单位 y f (x a) b

下移b(b 0)个单位 y f (x a) b
注意如下“翻折”变换：
f (x) f (x)
f (x) f (|x|)
如：f(x) log2 x 1
作出y log2 x 1 及y log2 x 1的图象
33
y
y=log2x
O 1 x
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
(k<0) y (k>0)
y=b
O’(a,b)
O x
x=a
（1）一次函数：y kx b k 0
k k
（2）反比例函数：y k 0 推广为y b k 0 是中心O'(a，b)
x x a
的双曲线。
2
b 4ac b2
（3）二次函数y ax2 bx c a 0 a x 图象为抛物线
2a 4a
b 4ac b2 b
顶点坐标为，，对称轴x
2a 4a 2a
4ac b2
开口方向：a 0，向上，函数ymin
4a
4ac b2
a 0，向下，ymax
4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax2 bx c 0， 0时，两根x1、x2为二次函数y ax
2 bx c的图象与x轴
的两个交点，也是二次不等式ax2 bx c 0 ( 0)解集的端点值。
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
34
④一元二次方程根的分布问题。
0

b
如：二次方程ax2 bx c 0的两根都大于k k
2a
f (k) 0
y
(a>0)
O k x1 x2 x
一根大于k，一根小于k f(k) 0
x
（4）指数函数y： a a 0，a 1
（5）对数函数y l o ga x a 0，a 1
由图象记性质！（注意底数的限定！）
y
x
y=a (a>1)
(01)
1
O 1 x
(0k
（6）“对勾函数” y x k 0
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y
k
O k x
35
20. 你在基本运算上常出现错误吗？
0 p 1
指数运算：a 1 (a 0)，a (a 0)
a p
m m
1
a n n a m (a 0)，a n (a 0)
n a m
对数运算： loga M·N loga M loga N M 0，N 0
M 1
l o ga l o ga M l o ga N， l o g
n
a M l o ga M
N n
log x
对数恒等式：a a x
logc b n n
对数换底公式： loga b logam b loga b logc a m
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
如：（1）x R，f(x)满足f(x y) f(x) f(y)，证明f(x)为奇函数。
（先令x y 0 f(0) 0再令y x，……）
（2）x R，f(x)满足f(xy) f(x) f(y)，证明f(x)是偶函数。
（先令x y t f ( t)( t) f(t·t)
∴f( t) f( t) f(t) f(t)
∴f( t) f(t)……）
（3）证明单调性：f (x2 ) f x2 x1 x2 ……
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调
性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：
（1）y 2x 3 13 4x
2 x 4
（2）y
x 3
2x2
（3）x 3，y
x 3
36
（4）y x 4 9 x2 设x 3c o s ， 0，
9
（5）y 4x ，x (0，1]
x
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？
1 1
（l ·R，S扇 l·R ·R
2）
2 2
R
1 弧度
O R
24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
s i n MP，c o s OM， t a n AT
y
T
B S
P
α
O M A x

如：若 0，则 sin ， cos ， tan 的大小顺序是
8

又如：求函数y 1 2 cos x 的定义域和值域。
2

（∵1 2 cos x ） 1 2 sin x 0
2
2
∴ sin x ，如图：
2
37
5
∴2k x 2k k Z ，0 y 1 2
4 4
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对
称轴吗？
s i nx 1，cosx 1
y
y tgx
x

O

2 2

对称点为 k ，0 ，k Z
2

y s i nx的增区间为 2k ，2k k Z
2 2

3
减区间为 2k ，2k k Z
2 2
38

图象的对称点为 k ，0 ，对称轴为x k k Z
2
y c o sx的增区间为 2k ，2k k Z
减区间为 2k ，2k 2 k Z

图象的对称点为 k ，0 ，对称轴为x k k Z
2

y t a nx的增区间为 k ，k k Z
2 2
2 6 .正弦型函数y = A s i n x + 的图象和性质要熟记。或y A cos x
2
（1）振幅|A|，周期T
| |
若f x0 A，则x x0为对称轴。
若f x0 0，则 x0，0 为对称点，反之也对。
3
（2）五点作图：令 x 依次为 0，，，，2 ，求出x与y，依点
2 2
（x，y）作图象。
（3）根据图象求解析式。（求A、、值）
(x1) 0

如图列出
(x2 ) 2
解条件组求、值

正切型函数 y A tan x ，T
| |
39
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的
范围。
2 3
如： cos x ，x
6 2
，，求x值。
2

3 7 5 5 13
（∵ x ，∴ x ，∴x ，∴x ）
2 6 6 3 6 4 12
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
如：函数y sin x sin|x|的值域是
（x 0时，y 2sin x 2，2 ，x 0时，y 0，∴y 2，2 ）
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：

a (h，k) x' x h
（1）点P（x，y） P'（x'，y'），则
平移至 y' y k

（2）曲线f (x，y) 0沿向量 a (h，k)平移后的方程为f (x h，y k) 0

如：函数 y 2sin 2x 1的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的
4
图象？
横坐标伸长到原来的2倍 1
（y 2sin 2x 1 y 2sin 2 x 4 2 4
1

左平移个单位 4 上平移1个单位 2sin x 1 y 2sin x 1 y 2sin x
4
1
纵坐标缩短到原来的倍
2 y sin x）
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1 sin2 cos2 sec2 tan2 tan · cot cos · sec tan
4

sin cos0 ……称为1的代换。
2

“ k· ”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，
2
“奇”、“偶”指 k 取奇、偶数。
9 7
如： cos tan sin 21
4 6
40
sin tan
又如：函数y ，则y的值为
cos cot
A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值
sin
sin
sin2cos cos 1
（y 0，∵ 0）
cos cos2 sin 1
cos
sin
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
令
s i n s i n c o s c o s s i n s i n2 2s i n c o s
令 cos cos cos sin sin cos2 cos2 sin2
t a n t a n 2 2
t a n 2 cos 1 1 2 sin
1 t a n · t a n
2 1 cos2 cos
2 tan 2
tan2
1 tan2 2 1 cos2 sin
2
2 2 b
a s i n bcos a b sin ， tan
a

s i n cos 2 sin
4

s i n 3 c o s 2s i n
3
应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含
三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：

（1）角的变换：如， ……
2 2 2
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。
sin cos 2
如：已知 1， tan ，求 tan 2 的值。
1 cos2 3
sin cos cos 1
（由已知得： 1，∴ tan
2sin2 2sin 2
2
又 t a n
3
41
2 1

t a n t a n
∴ t a n 2 t a n 3 2
1
）
1 t a n · t a n 2 1 81 ·
3 2
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b2 c22 a
2
余弦定理：a b2 c2 2bccosA cosA
2bc
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）
a 2R sinA
a b c
正弦定理： 2R b 2R sin B
sinA sin B sinC
c 2R sinC
1
S a·bs i nC
2
∵A B C ，∴A B C
A B C
∴ s i n A B s i nC， s i n cos
2 2
2 A B
如 ABC中，2sin cos2C 1
2
（1）求角C；
c2
（2）若a 2 b2 ，求 cos2A cos2B的值。
2
（（1）由已知式得：1 cos A B 2 cos2 C 1 1
又A B C，∴2cos2 C cosC 1 0
1
∴ cosC 或 cosC 1（舍）
2

又0 C ，∴C
3
2 2 1 2
（2）由正弦定理及a b c 得：
2
3
2s i n2 A 2s i n2 B s i n2 C s i n2
3 4
3
1 cos2A 1 cos2B
4
3
∴ c o s2A c o s2B ）
4
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
42

反正弦： arcsin x ，，x 1，1
2 2
反余弦：arccosx 0，，x 1，1

反正切： arctan x ，， x R
2 2
34. 不等式的性质有哪些？
c 0 ac bc
（1）a b，
c 0 ac bc
（2）a b，c d a c b d
（3）a b 0，c d 0 ac bd
1 1 1 1
（4）a b 0 ，a b 0
a b a b
（5）a b 0 a n b n，n a n b
（6）|x| a a 0 a x a，|x| a x a或x a
1 1
如：若 0，则下列结论不正确的是（）
a b
A. a2 b2 B. ab b2
a b
C. |a| |b| |a b| D. 2
b a
答案：C
35. 利用均值不等式：
2
2 2 a b
a b 2ab a，b R ；a b 2 ab；ab 求最值时，你是否注
2
意到“a，b R ”且“等号成立”时的条件，积(ab)或和(a b)其中之一为定
值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：
a 2 b2 a b 2ab
ab a，b R
2 2 a b
当且仅当a b时等号成立。
2 2 2
a b c ab bc ca a，b R
43
当且仅当a b c时取等号。
a b 0，m 0，n 0，则
b b m a n a
1
a a m b n b
4
如：若x 0，2 3x 的最大值为
x
4
（设y 2 3x 2 2 12 2 4 3
x
4 2 3
当且仅当3x ，又x 0，∴x 时，ymax 2 4 3）
x 3
又如：x 2y 1，则2 x 4 y 的最小值为
x 2y x 2y 1
（∵2 2 2 2 2 2 ，∴最小值为2 2）
36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
1 1 1
如：证明1 … 2
22 32 n2
1 1 1 1 1 1
（1 …… 1 ……
22 32 n2 1 2 2 3 n 1 n
1 1 1 1 1
1 1 ……
2 2 3 n 1 n
1
2 2）
n
f (x)
37. 解分式不等式 a a 0 的一般步骤是什么？
g(x)
（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为 1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
2 3
如： x 1 x 1 x 2 0
39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
44
如：对数或指数的底分a 1或0 a 1讨论
40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）
例如：解不等式|x 3| x 1 1
1
（解集为 x|x ）
2
41. 会用不等式|a| |b| |a b| |a| |b|证明较简单的不等问题
2
如：设f(x) x x 13，实数a满足|x a| 1
求证： f(x) f(a) 2(|a| 1)
证明： |f (x) f(a)| |(x2 x 13) (a2 a 13)|
|(x a)(x a 1)| ( |x a| 1)
|x a||x a 1| |x a 1|
|x| |a| 1
又|x| |a| |x a| 1，∴|x| |a| 1
∴ f(x) f(a) 2|a| 2 2 |a| 1
（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）
如：a f(x)恒成立 a f(x)的最小值
a f(x)恒成立 a f(x)的最大值
a f(x)能成立 a f(x)的最小值
例如：对于一切实数x，若 x 3 x 2 a恒成立，则a的取值范围是
（设u x 3 x 2，它表示数轴上到两定点 2和3距离之和
um i n 3 2 5，∴5 a，即a 5
或者： x 3 x 2 x 3 x 2 5，∴a 5）
43. 等差数列的定义与性质
定义：a n 1 a n d (d为常数)，a n a1 n 1 d
45
等差中项：x，A，y成等差数列 2A x y
a1 a n n n n 1
前n项和Sn na1 d
2 2
性质： a n 是等差数列
（1）若m n p q，则a m a n a p a q；
（2）数列 a 2n 1 ， a 2n ， ka n b 仍为等差数列；
Sn，S2n Sn，S 3n S2n……仍为等差数列；
（3）若三个数成等差数列，可设为a d，a，a d；
a S
（4）若a n，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则
m 2m 1 ；
bm T2m 1
（5） a 为等差数列 S an2 n n bn（a，b为常数，是关n于的常数项为
0 的二次函数）
Sn的最值可求二次函数Sn an
2 bn的最值；或者求出 a n 中的正、负分界
项，即：
a n 0
当a1 0，d 0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值。
a n 1 0
a n 0
当a1 0，d 0，由可得Sn达到最小值时的n值。
a n 1 0
如：等差数列 a n ，Sn 18，a n a n 1 a n 2 3，S3 1，则n
（由a n an 1 a n 2 3 3a n 1 3，∴a n 1 1
a1 a3 1
又S3 ·3 3a2 1，∴a2
2 3
1
1 n
a1 a n n

a 2 a n 1 ·n 3
∴Sn 18
2 2 2
n 27）
44. 等比数列的定义与性质
46
a n 1
定义： q（q为常数，q 0），a a q n 1n 1
a n
2
等比中项：x、G、y成等比数列 G x y，或G x y
na1 (q 1)

前n项和：Sn a
n （要注意!）
1 1 q
(q 1)
1 q
性质： a n 是等比数列
（1）若m n p q，则a m·a n a p·a q
（2）Sn，S2n Sn，S3n S2n……仍为等比数列
45. 由Sn求a n时应注意什么？
（n 1时，a1 S1，n 2时，a n Sn Sn 1）
46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法
1 1 1
如： a n 满足 a1 a 2 …… a n 2n 5 1
2 22 2n
1
解： n 1时， a1 2 1 5，∴a1 14
2
1 1 1
n 2时， a1 a 2 …… a 2n 1 5 2
2 22 2n 1
n 1
1
1 2 得： a n 2
2 n
∴a 2n 1 n
14 (n 1)
∴a n
2
n 1 (n 2)
［练习］
5
数列 a n 满足Sn Sn 1 a n 1，a1 4，求a n
3
S
（注意到a n 1 Sn 1 Sn代入得：
n 1 4
Sn
又S1 4，∴ S
n
n 是等比数列，Sn 4
n 2时，a n Sn Sn 1 …… 3·4
n 1
47
（2）叠乘法
a n
例如：数列 an 中，a1 3，
n 1 ，求an
an n 1
a 2 a 3 a n 1 2 n 1 a 1
解： · …… · …… ，∴ n
a1 a 2 a n 1 2 3 n a1 n
3
又a1 3，∴a n
n
（3）等差型递推公式
由a n a n 1 f(n)，a1 a0，求a n，用迭加法
n 2时，a 2 a1 f (2)

a 3 a 2 f (3)
两边相加，得：
…… ……
a a n n 1 f (n)
a n a1 f(2) f(3) …… f(n)
∴an a0 f(2) f(3) …… f(n)
［练习］
数列 a n ，a1 1，a n 3
n 1 a n 1 n 2 ，求a n
1
（a n 3n 1 ）
2
（4）等比型递推公式
a n ca n 1 d c、d为常数，c 0，c 1，d 0
可转化为等比数列，a n设 x c a n 1 x
a n can 1 c 1 x
d
令(c 1)x d，∴x
c 1
d d
∴ a n 是首项为a1 ，c为公比的等比数列
c 1 c 1
d d
∴a a ·cn 1 n 1
c 1 c 1
d d
∴a n 1n a c 1 c 1 c 1
48
［练习］
数列 a n 满足a1 9，3a n 1 a n 4，求a n
n 1
4
（a n 8 1） 3
（5）倒数法
2a
例如：a1 1，a n 1
n ，求a n
a n 2
1 a n 2 1 1
由已知得：
a n 1 2a n 2 a n
1 1 1
∴
a n 1 a n 2
1 1 1
为等差数列， 1，公差为
a n a1 2
1 1 1
1 n 1 · n 1
a n 2 2
2
∴a n
n 1
47. 你熟悉求数列前 n 项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
n 1
如： a n 是公差为d的等差数列，求
k 1 a ka k 1
1 1 1 1 1
解：由 d 0
a k·a ak 1 k a k d d a k a k 1
n 1 n 1 1 1
∴
k 1 a ka k 1 k 1 d a k a k 1
1 1 1 1 1 1 1
……
d a1 a 2 a 2 a 3 a n a n 1
1 1 1

d a1 a n 1
［练习］
1 1 1
求和：1 ……
1 2 1 2 3 1 2 3 …… n
49
1
（a n …… ……，Sn 2 ）
n 1
（2）错位相减法：
若 a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数 a列n b n （差比数列）n前项
和，可由Sn qSn求Sn，其中q为 b n 的公比。
如：Sn 1 2x 3x
2 4x3 …… nxn 1 1
2 3 4 n 1 n
x·Sn x 2x 3x 4x …… n 1 x nx 2
2 n 1 n
1 2 ： 1 x Sn 1 x x …… x nx
1 xn nxn
x 1时，Sn 2
1 x 1 x
n n 1
x 1时，Sn 1 2 3 …… n
2
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
Sn a1 a 2 …… a n 1 a n
相加
Sn a n a n 1 …… a 2 a 1
2Sn a1 a n a 2 a n 1 …… a1 a n ……
［练习］
x2 1 1 1
已知f (x) ，则f (1) f (2) f f (3) f f (4) f
1 x2 2 3 4
2
1

1 x
2 x x
2 1
（由f (x) f 1
x 1 x2 2 1 x2 1 x2 1
1
x
1 1 1
∴原式 f (1) f (2) f f (3) f 2 3
f (4) f
4
1 1
1 1 1 3 ）
2 2
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金 p 元，每期利率为 r，n 期后，本利和为：
n n 1
Sn p 1 r p 1 2r …… p 1 nr p n r ……等差问题
2
50
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额
归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）
后为第一次还款日，如此下去，第 n 次还清。如果每期利率为 r（按复利），那么每期应还
x 元，满足
n n 1 n 2
p(1 r) x 1 r x 1 r …… x 1 r x
n1 1 r
n
1 r 1
x x
1 1 r r
n
pr 1 r
∴x
n
1 r 1
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（1）分类计数原理：N m m …… m 1 2 n
（mi为各类办法中的方法数）
分步计数原理：N m 1·m2……mn
（mi为各步骤中的方法数）
（2）排列：从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Am . n
m n!
A n n n 1 n 2 …… n m 1 m n n m !
规定：0! 1
（3）组合：从 n 个不同元素中任取 m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从 n 个不
同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cmn .
A m n n 1 …… n m 1
Cm n
n!
n
A mm m! m! n m !
规定：C0n 1
（4）组合数性质：
Cm Cn m，Cm Cm 1 m 0 1 n n n n n Cn 1，Cn Cn …… Cn 2
n
50. 解排列与组合问题的规律是：
51
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少
问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为 1，2，3，4 的四名学生的考试成绩
x i 89，90，91，92，93 ，(i 1，2，3，4)且满足x1 x2 x3 x4，
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可分成两类：
（1）中间两个分数不相等，
4
有C 5（种） 5
（2）中间两个分数相等
x1 x2 x3 x 4
相同两数分别取 90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有 3，4，3 种，∴有 10 种。
∴共有 5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理
n 0
(a b) Cna
n C1 a n 1b C2a n 2b2 … Cr an r b r … Cnbn n n n n
r n r r
二项展开式的通项公式：T r 1 Cna b (r 0，1……n)
r
Cn为二项式系数（区别于该项的系数）
性质：
（1）对称性：C r Cn r n n r 0，1，2，……，n
（2）系数和：C0 C1 … Cn 2n n n n
1 3 5 0 2 4 n 1
Cn Cn Cn … C n Cn Cn … 2
（3）最值：n 为偶数时，n＋1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
n
n
1 项，二项式系数为C 2n ；n为奇数时，(n 1)为偶数，中间两项的二项式 2
n 1 n 1
n 1 n 1
系数最大即第项及第 1项，其二项式系数为C 2n C
2
n
2 2
11
如：在二项式 x 1 的展开式中，系数最小的项系数为（用数字
表示）
52
（∵n＝11
12
∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第 6或第7项
2
r 11 r r
由C11x ( 1) ，∴取r 5即第6项系数为负值为最小：
6
C11 C
5
11 426
2004
又如： 1 2x a a x a x2 …… a x2004 0 1 2 2004 x R ，则
a 0 a1 a 0 a 2 a 0 a 3 …… a 0 a 2004 （用数字作答）
（令x 0，得：a0 1
令x 1，得：a0 a2 …… a 2004 1
∴原式 2003a 0 a 0 a1 …… a 2004 2003 1 1 2004）
52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？
（1）必然事件，P ) 1，不可能事件，P( ) 0
（2）包含关系：A B，“A发生必导致B发生”称B包含A。
A B
（3）事件的和（并）：A B或A B“A与B至少有一个发生”叫做A与B
的和（并）。
（4）事件的积（交）：A·B或A B“A与B同时发生”叫做A与B的积。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A 与 B 不能同时发生”叫做 A、B 互斥。
A·B
53
（6）对立事件（互逆事件）：
“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A
A A ，A A
（7）独立事件：A 发生与否对 B 发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立
事件。
A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。
53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
A包含的等可能结果 m
P(A)
一次试验的等可能结果的总数 n
（2）若A、B互斥，则P A B P(A) P(B)
（3）若A、B相互独立，则P A·B P A ·P B
（4）P(A) 1 P(A)
（5）如果在一次试验中 A 发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生
k k n kk次的概率：Pn (k) Cn p 1 p
如：设 10 件产品中有 4 件次品，6 件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取 2 件都是次品；
C2 2 4
P1
C
2
10 15
（2）从中任取 5 件恰有 2 件次品；
C2 3 4C6 10
P2 5
C10 21
（3）从中有放回地任取 3 件至少有 2 件次品；
54
解析：有放回地抽取 3 次（每次抽 1 件），∴n＝103
而至少有 2 件次品为“恰有 2 次品”和“三件都是次品”
∴m C2 2 1 3 3·4 6 4
C23·4
2 ·6 43 44
∴P3
103 125
（4）从中依次取 5 件恰有 2 件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）
5 2 2 3
∴n A 10，m C4A5A6
C2A 2 34 5A 6 10
∴P4
A510 21
分清（1）、（2020 高三一模二模
《三角》《向量》《复数》小册子
文博数学思辨数学
博哥学员专属
写在前面的话
“把应该弄懂的内容记在笔记本而不是记在脑子里；一时弄清楚就以为以后也都会了；把
别人的思路、方法直接拿来就以为是自己的了；学会了一点点散乱的知识点就以为可以打遍天
下无敌手了……”
根本不是，真正的学习应该是把所学知识的概括化、结构化、程序化规律化，是从散乱到
有序从具象到抽象从低效到高效的过程，学到的方法应该用到具体的情境里，通过运用体现出
来，才算是掌握了。学习应该是有意识的去尝试去修正，而不是“顺其自然”。
思考力：看到什么，想到什么，做了什么。
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原来那些年，我一直都在“假学习”
记得老师们常说，高考，就是一场耐力跑，谁能坚持到最后，谁就是赢家！当时的我，受
到了这句话的感染，一直都努力着，不敢有所懈怠。然而，自以为很努力的我，在高考失利后，
才清楚地反省到自己——原来，那个一直很认真在学习的我，是在“假学习”。
我是一名刚高考完的广东毕业生。在老师们，同学们的眼里，我是一名学习非常认真，勤
奋好学的学生，当时的我，成绩也算过得去，由于我被大家贴上了全班最勤奋学习的标签，大
家对我的高考成绩都寄予了很高的期望，可到最后，我连本科线都没上。最终的我，被一所普
通的大专录取了。我记得高考成绩放榜那天，老师微信私聊我，问我的高考成绩，我惭愧地告
诉了她，我考了 375分，没上本科线。当时，老师就立马发了一个摸摸头的表情包安慰我，还
补上了一句话，至今让我难忘。她说:“我觉得全班同学之中，最可惜的人就是你了，付出了
那么多努力却没有得到相应回报。”顿时，我的泪水猛的涌上眼眶，流经我的脸，并从我的下
巴滴落到手机屏幕上。我不知道此时此刻，我该说些什么，我只回复了她一个委屈的表情。接
着，她对我说了很多安慰我的话。至于其他同学，家人问我成绩的时候，我都不敢直面的告诉
他们，因为我让他们所有人都失望了。当我的爸妈知道我的高考成绩之后，我观察到他们心里
很不是滋味，甚至比我还要难过，因为看到我在家都很努力学习，所以他们也就一直都认为我
是一个能考上好本科的人。我之所以不选择复读，是因为我懦弱，害怕自己会再一次让所有看
好我的人失望。害怕自己会考得更差，我便屈服于读大专的现实。
尽管我内心有些不甘，但是经过一段时间的反省，我发现了很多问题，也总结了不少。于
是，我写这篇文章的目的，就是想告诉师弟师妹们，在你们认为自己很努力学习的时候，千万
不要忘了看看自己是否在“假学习”，我想通过分享我个人的经历给大家，让大家多留意自己
的学习情况，不要将来像我一样后悔。
首先，何为“假学习”？在我的观念里，“假学习”就是你表面很认真学习，可实际什么
也学不进去，或者说你确实很认真努力的在学习可方法不对，导致收获的并不多，效率非常低。
这些“假学习”，会给别人带来一种错觉，在其他同学眼里，你今天又勤奋学习了很久，肯定
又比我们厉害了，但是由于你在“假学习”，考试出来的成绩，却往往低于那些偶尔出去玩，
打游戏的同学。相信很多学弟学妹们肯定有过这样的疑惑，就是，“为什么我明明比他还要努
力学习，却考不赢他？为什么他整天都在和同学玩，有时候还会进步？”这或许会让你觉得，
那是因为别人智商比自己高，又或者别人在偷偷努力不让你知道。在此，我只想认真的告诉你，
不排除别人这些可能，但最重要的是——你一直都在“假！学！习！”
下面就拿我的例子来说吧。
1、假认真地问问题。平时，我在学校真的非常努力，勤奋学习的。怎么说呢，我平时下课，
都是在自己的座位写作业的，有时，我还会缠着某科老师或者同学问问题，一直到下一节上课
铃响，而其他同学，可能会出去玩呀，聊天呀，吃东西呀等等。这貌似一点毛病都没有，没错，
我很勤奋好学，按道理，我这样坚持下去，肯定能比一般的同学收获很多，然而并不是！为啥？
因为我并没有真正学到东西。我想告诉学弟学妹们，与老师，同学们讨论问题时，千万不能有
种应付式的心理。要不你就不要浪费时间问，拿去做别的事情，要不你就好好问，问到自己真
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的完全懂了为止，不能装懂，不要害羞，学习是自己的事，再蠢，不放弃问老师，学到知识了，
你就是聪明人！我当时就没有意识到这个问题，有很多时候，我遇到自己不懂的问题，看到老
师非常认真地教完我一遍又一遍，自己觉得不好意思，总以为先听听老师的思路，然后自己找
时间弄懂它就好。还有时候，我和几个同学一起去问老师同样的问题，可别的同学听老师简单
讲几句就说：“哦，这样啊，好，我懂了。嗯。对！没错！是的！”可我根本就不懂老师到底
讲了什么，脑子一片空白。我不知道他们是真的那么厉害听懂了，还是假装听懂了，他们悄悄
离开了，就剩下了，我和老师两个人，我开始方了，有点尴尬，于是就假装自己也懂了，拼命
点头，但实际，我还是没有学会，当我课后抽时间去搞懂那些题的时候，怎么也没能搞懂，就
算能搞懂，也是花了很多时间才弄懂的，这就让我的效率低了很多。
有时候，又因为各种各样繁琐的作业没写完，我就落下了没弄懂的问题，越积越多，也没
多在意。在高三的一年里，我最差的就是化学，问问题最多的也就是化学，可永远最低分的，
也还是化学！在化学老师眼里，她觉得我就是很努力学化学的人。她曾经和我聊天的时候对我
说：“我觉得你好认真学化学耶，为什么总是成绩没有提高的呢？不过你不要放弃，你那么勤
奋问问题，把不会的问题都慢慢一点一点搞懂，高考肯定不会让你失望的，高考加油哟！”那
时，老师和我，根本就没发觉我考不好真正存在的问题。我还一直认为自己在努力着学习，并
安慰自己，学习是个漫长的过程，坚持不放弃就能成功。因此，不管什么学科，我这样的问问
题方式一直持续到高考前一天。然而我最后，还是没考好，其中的原因是我根本没真的弄懂自
己不会的问题，所以遇到类似的问题，我还是不会做，所以啊，我劝学弟学妹们千万不要走我
的歪路，勤问问题，是件好事，但是一定要厚着脸皮，让自己有所收获，一定要确保自己真的
弄懂了，这才是“真”学习啊！
2、假认真地写作业。我是一个很认真尽量把老师布置的作业完成的人，大家都知道，高三肯
定有很多写不完的作业，然而，有很多同学都是抱着能做多少就做多少的态度，有一些厉害的
学生还比较佛系，每科作业都有选择地做一些。而我，是要完成一样再做一样的，写不完的，
我会用下课的时间，放学的时间，早点来上学的时间等等，反正我一有时间，就是在写作业。
我还写得特别认真，做练习册的时候，我做完了还会用红笔改正答案，甚至还会用不同颜色的
笔，通过看答案解释把每个错的地方都做好笔记。所以每到老师偶尔检查我们的作业的时候，
我都会被受到老师的表扬，她还会把我的练习册在讲台开投影仪给同学们看，我有多认真地写
作业。那时，各个同学都会赞叹说：“哇！真的好勤奋耶，厉害厉害，怎么做到的呀！佩服！
看看别人家的孩子！”我想，如果你们看到一个同学的所有练习册都写着满满的笔记，你也会
想，这位同学好勤奋啊，学习成绩应该会不错的吧。我当时一直排名在班前 5，所以大家也就
认为，我的成绩是靠这样维持的。然而，我现在发现，我错了。这也是在“假学习”，我并没
有多大的收获。为什么？因为我当时是很认真的写作业，但是遇到很难的题，我都是直接看答
案的，看完答案觉得自己好像会做了，懂了，就直接用红笔抄上去了。可你要我不看答案重做
一遍，我是无从下手的。还有，那些选择题，我把每个错误的选项都用蓝笔改正过来，没错，
当时我确实把题搞懂了，你让我再一次做，我会，也能说出其他选项错误的原因，因此，我按
着这个方法做物化生的选择题，越刷越多，总以为做的越多，见识越广。然而，我错了，因为
当我越做越多的时候，我忽略了一个问题，就是没有回温自己做过的题，遇到类似的选项，改
了一点就是错的，我却也以为是自己做过类似的，就当成对了。然而，我应该收集好，拿出来
对比一下，哪里不同了，哪里设了坑自己踩进去了，以后遇到类似的，还要注意哪些等等，我
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都没有关注过，只是一面的盲目刷题，所以导致我做了很多题，却提分不了多少。这也就是为
什么老师们常说，刷题，是为了多见识，多对比，重点不在于数量的多少，而是质量的如何。
所以，我希望学弟学妹们，在你们刷题的时候，一定要全面，同时要善于挖掘类似题目的不同
点，题刷完了以后，要记得把重点记一下，遇到不会的题，思考过了，才允许自己看答案，看
完答案了，一定要自己认真再做一遍！这样才算真正会了。我知道这样很浪费时间，但是，你
要知道，你认真花很多时间学会做一道题，总比你随意做十道你还是不会做的题要好得多。切
记让自己成为一个死刷题的工具。
3、假认真地写了好多笔记本。作为学生的你们，又或者作为学霸的某些学生，学习必不可少
的，就是做笔记。我是一名理科生，无论是语数英，还是物化生，我都会对应有一本厚厚的笔
记本。里面写的内容可有用了，很多同学都会借我的笔记本来看的。比如语文笔记本，我会把
一些阅读的答题模板写下去，一些作文素材归纳好。英语笔记本就是前面用来写英语语法，后
面就写在阅读中遇到不知道中文意思的单词和一些搭配短语，中间就写作文好句。数学笔记本
呢，就是用来专门记难题错题的，我还把一些从网课学来的秒杀技巧写下来。至于物理和化学
笔记本，我就用来写考点，知识点，易错点，还有老师的课堂笔记等等。
试问，如此一个勤奋，那么会写笔记的学生，成绩能差到哪里去吗？然而，我又大错特错
了！为什么？因为我知道写笔记很有用，然而，我天天都在做题，写笔记。那些笔记越写越多，
本子越来越厚，每当我把一些难题搞懂了，并能通过自己的理解写成笔记提醒时，我感觉无比
的快乐，觉得自己今天又收获了很多知识。可时间长了，我一直沉浸在写笔记的快感，却忘了
要抽时间来回看，巩固那些知识。我后来才发现，写再多有用的笔记，你不去反复看，啥用都
没有！真的，人的记忆力有限，或许你写的时候确实是理解了的，但是当你做各种各样的题做
多了，时间久了，你就会忘了，不是说你当时没有真的理解，而是你的大脑被新的知识缓冲了。
只有当你多抽时间不断回顾自己写过的笔记，重读看几遍，多理解一下。你才会记得更牢固。
同时，我也发现，笔记本是不需要写太详细的，只要求精，把精华留下，其他无用的都去掉，
这样复习起来又快又准又狠。不然准备高考的时候，就那些时间给你复习 6大科的知识，你要
还要覆盖所有学过的东西，怎么复习得完啊。而且我是过来人，有时候，笔记本写的过于详细，
复习起来，会感觉繁琐疲惫，同时花费的时间真的很多。
4、假认真地挤时间学习。我呢，平时除了体育课，还有跑操的时间是在运动的，其余大多时
间都是在学习。我给别人的印象就是，无时无刻都在勤奋地学习。我每次上学，都是最早的那
个，课室里，经常出现只有我一个人的身影。我嘛，也比较有趣，有时候放假回来上学那天，
也是我最早到课室，我会掏出手机，自拍一张，安慰一下努力的自己。不要问我那么早回来干
嘛，我就是在这些时间里写笔记本啊，做作业什么的。然而，我仿佛比别的同学多挤了很多时
间，按道理来说，我这种勤奋程度，就应该会考上本科的。可我早去的时间，就是上面所说的，
在“假学习”，是没有多大用处的，所以我还是考得不好。还有啊，最重要的一点，我要提醒
学弟学妹们，不管学习多累，真的要注意给自己补充营养，适当做运动，喝点牛奶，吃点苹果
什么的。特别是将近高考的那几个月，一定要保重身体，爱惜自己。不然过度劳累会导致抵抗
力下降容易感冒发烧的。我当时就没注意好，为了学习，天天熬夜到晚上十二点半左右，然后
最后身体终于垮了，高考前两天，我又咳嗽又流鼻涕，最后干脆还发烧了，那是弄到我爸妈非
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常紧张的，还带我去了好几次医院看病，因为快高考了，还不能乱吃药打针，所以我好久都没
好。你们想想啊，在拼命的那一刻，你感冒不舒服了，多亏啊，别人还在努力的学习，你却不
能拼尽全力，或多或少，会受到一些影响的。
最后呢，我想跟师弟师妹们说，努力真的很难，很辛苦，但是千万不要放弃，坚持到最后，
那个成功的人，一定是你。有些时候努力了，没有收获，并不是你笨，并不是你不如别人，而
是你学习的方法错了，就像我一样！趁着时间还早，多尝试不同的方法，找到最适合自己的，
并坚持下去，一切会好起来的。希望你们能够通过看我的文章，收获些东西，也希望你们，不
要给自己的高考留下什么遗憾。
好了，其他话不多说，愿你们能拼命到无能为力，努力到感动自己！学弟学妹们，高考加油！
——来自一名高考失利后的师姐
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三角函数

1.【2020 杨浦一模】要得到函数 = 2sin (2 + )的图像，只要将 = 2sin 2 的图像（）．
3

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
6 6

C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
3 3

【解析】因为 = 2sin (2 + ) = 2sin [2 ( + )]，
3 6

所以要得到函数 = 2sin (2 + )的图像，只需将函数 = 2sin 2 的图像向左平移个单位．
3 6
故选A．
2.【2020 浦东新区高三一模】动点 ( , )在圆 2 + 2 = 1上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，
√3 1
旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间 = 0时，点的坐标是( , )，则动点的纵坐标关于
2 2
（单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（）．
A. [0,3] B. [3,6] C. [6,9] D. [9,12]
3 1
【解析】根据题意可知 = 0时，点的坐标为 √( , )，所以点的初始角为30 ．
2 2
当点转过的角度在[0 , 60 ]或[240 , 360 ]时，动点的纵坐标关于的函数是单调递增的．
因为12秒旋转一周，所以每秒转过的角度是360 ÷ 12 = 30 ，240 ÷ 30 = 8．
则当0 12 时，动点的纵坐标关于的函数的单调递增区间为[0,2]，[8,12]．
故选D．
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1 1
3.【2020 杨浦高三一模】已知六个函数：① = 2；② = cos ；③ = 2；④ = arcsinx；
1+
⑤ = lg ( )；⑥ = + 1．从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有种．
1
1 1 1 1
【解析】 ① = 2，定义域为( ∞, 0) ∪ (0,+∞)，∵ = ，∴ = 为偶函数； ( )2 2 2
② = cos ，定义域为，∵cos ( ) = cos ，∴ = cos 为偶函数；
1 1
③ = 2 = √ ，定义域为[0, +∞)，由定义域不关于原点对称，则 = 2为非奇非偶函数；
④ = arcsinx，定义域[ 1,1]，∵arcsin( x) = arcsin x，∴ = arcsinx为奇函数；
1+ 1+ 1+
⑤ = lg ( )，∵ > 0， 1 < < 1，∴函数 = lg ( )定义域为( 1,1)，
1 1 1
由 1 1+
1 1+ (1+ )
lg ( ) = lg ( ) = lg ( )，则函数 = lg 为奇函数；
1+ 1 1 (1 )
⑥ = + 1，定义域为，∵ + 1 ≠ + 1， + 1 ≠ ( + 1)，
∴函数 = + 1为非奇非偶函数，所以①②为偶函数，④⑤为奇函数，③⑥为非奇非偶函数，
则从中任选三个函数，则其中即有奇函数又有偶函数的选法有①②④、①②⑤、①④⑤、②④⑤．
故答案为：4．
4.【2020 静安高三一模】三倍角的正切公式为tan 3 = （用tan 表示）．
tan +tan 2tan
【解析】 ∵tan 2 = 2 = ， 1 tan 1 tan2
2tan
2 +tan 3tan tan3 1 tan2 3tan tan3
∴tan 3 = tan( 2 + ) = 1 tan 2 2tan = 2 = ． 1 1 tan 1 3tan2 1 3tan2
1 tan2
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5.【2020 静安高三一模】某人驾驶一艘小游艇位于湖面处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东
21°方向，且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达处，此时测得塔底
位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为（）．
A. 265米 B. 279米 C. 292米 D. 306米
【解析】如图所示，
在△ 中， = 1000，∠ = 21° + 39° = 60°，∠ = 90° 39° = 51°，
1000 1000 sin 51°
由正弦定理得， = ，所以 = ， Rt △ ACD中，∠ = 18°，
sin 51° sin 60° sin 60°
1000 sin 51° 1000×0.7771
所以 = tan 18° = × tan 18° = × 0.3249 ≈ 292（米）,
sin 60° 0.8660
所以该塔的高度约为292米．
故选C．
3
6.【2020 松江高三一模】若角的终边过点 (4, 3)，则sin ( + ) = ．
2
【解析】 ∵角的终边过点 (4, 3)，
3 3 4 4
∴sin = = ， cos = =
3 4
√42+( 3)2 5 √42+( 3)2
5， sin ( + ) = cos = ， 2 5
3 4
故sin ( + ) = ．
2 5
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7.【2020 虹口高三一模】已知函数 ( ) = √3sin (2 + ) + cos( 2 + )为偶函数，且在[0, ]上
2
为增函数，则的值可以是（）．
2 2
A. B. C. D.
6 3 3 3

【解析】 ( ) = √3sin (2 + ) + cos (2 + ) = 2sin (2 + + )，∵函数 ( )为偶函数，
6

∴ + = + ， ∈ ，即 = + ， ∈ ．
6 2 3

结合选项，当 = 时， ( ) = 2sin (2 + ) = 2cos 2 ，
3 2

此时函数 ( )在[0, ]上为减函数，不符合题意；
2
2
当 = 时， ( ) = 2sin (2 ) = 2cos 2 ，
3 2

此时函数 ( )在[0, ]上为增函数，符合题意，
2
故选D．

8.【2020 闵行高三一模】设函数 ( ) = sin ( ) ( > 0, > 0)， ∈ [0,2 ]，若 ( )恰有
6
4个零点，则下述结论中：
①若 ( 0) ( )恒成立，则 0的值有且仅有2个；
8
② ( )在[0, ]上单调递增；
19

③存在和 1，使得 ( 1) ( ) ( 1 + )对任意 ∈ [0,2 ]恒成立； 2
1
④“ 1”是“方程 ( ) = 在[0,2 ]内恰有五个解”的必要条件；
2
所有正确结论的编号是．
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2
【解析】如下图所示，由题意可知， = ，

可标出函数 ( ) = sin ( )的多个零点，
6
19 25 19 25
若 ( )在 ∈ [0,2 ]恰有4个零点，可知 2 < ，解得 < ；
6 6 12 12
观察图像可知，若 ( 0) ( )恒成立，则 ( 0)是函数 ( )的最大值，
这样的 0的值有且仅有2个，①正确；
8 8 2 19 19 25
若 ( )在[0, ]上单调递增，则必满足恒成立，而 < ，②错误；
19 19 3 12 12 12

若存在和 1，使得 ( 1) ( ) ( 1 + )对任意 ∈ [0,2 ]恒成立，可知 ( 1)是最小值，2
5 8 5
( 1 + )是最大值，∴ 1 = ， 1 + = ，解得 = 2， 2 3 2 3 1
= ，③正确；
6
1
若方程 ( ) = 在[0,2 ]内恰有五个解，
2
如下图所示，
1 1
则必满足 (0) (2 ) sin (2 )
2 2 2 6
1 1
sin (2 ) 1，
2 2 6
1
因此“ 1”是“方程 ( ) = 在[0,2 ]内恰有五个解”的必要条件，④正确．
2
综上所述，所有正确结论的编号是①③④．
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9.【2020 长宁高三一模】某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如

下函数模型： = 0.5sin ( + ) + 3.24( > 0)，若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个
6
时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）．
A. 16 时 B. 17 时 C. 18 时 D. 19 时

【解析】为方便运算，将该函数模型微调为： = 0.5sin ( + ) + 3.25( > 0)．（对于港口
6
水深而言，记录时因为海水涌动，存在1厘米的误差也是正常的，所以调整1厘米，影响微乎其微，
不微调的话，做法也是一样的，只是会有太多小数）
2
设0.5sin ( + ) + 3.25 = 3的解为 1、 2、 3，且0 < 1 < 2 < 3 24， = ， 6
1 7 11 1 5
∴sin ( + ) = ， + = ，，即 1 = 、 6 2 6 6 6 2
= ，
3 3
= 1 + ，
3 11 72 1
∴ 1 + 24 < 2 + ，即 24 < ，∴ < 8．当取最大值时，sin ( + ) = 1， 3 11 6
5 7 168 56 56
+ = ， = ∈ ( , ]，∵19 > ，∴不可能为19时．
6 2 3 11 3 3
故选D．
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10.【2020 奉贤高三一模】在△ 中，若 = 60°， = 2， = 2√3，
则△ 的面积是．
【解析】如图在△ 中，过作 ⊥ ，交于点，∵∠ = 60°， = 2， = 2√3，

sin = sin 60° = 3， √ = sin 60° = 2 = √3， 2
1 1
∴ △ = = × 2√3 × √3 = 3．故△ 的面积为3． 2 2

11.【2020 崇明高三一模】若不等式(| | )sin ( + ) 0对 ∈ [ 1,1]上恒成立，则 +
6
=（）．
2 5
A. B. C. 1 D. 2
3 6

【解析】方法一 : 如图，作出函数 = sin ( + )在 ∈ [ 1,1]上的图像，
6

为使不等式(| | )sin ( + ) 0对 ∈ [ 1,1]上恒成立，当且仅当函数 = | | 的
6
1 5
图像经过函数 = sin ( + )的零点，则由 = sin ( + ) = 0，得 1 = ， 6 6 6 2
= ，
6
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5
= 0 5
所以{6 1 ，所以 + = ．故选B．
= 6
6
5 7
方法二 : 令 = + ∈ [ , ]，
6 6 6
5 7
作出函数 = sin 在[ , ]上的图像，
6 6
1 5
则函数 = | | 的图像必需经过 (0,0)， ( , 0)两点，则 + = ．故选B．
6 6
1 5
方法三 : 当 ∈ [ , ]时， + ∈ [0, ]，sin ( + ) 0，
6 6 6 6
所以，| | 0，即 + ，
5 1 5 5 7
所以 + ，当 ∈ [ 1, ) ∪ ( , 1]时， + ∈ [ , 0) ∪ ( , ]，sin ( + ) 0，
6 6 6 6 6 6 6
5 5
所以| | 0，则 + 或，所以 + ，综上 + = ．
6 6
故选B．
12.【2020 青浦高三一模】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单
3 4
位圆的交点坐标是( , )，则sin 2 = ．
5 5
3 4 2
【解析】设点坐标为( , )，∴ 3 4
5 5 | | = = √( ) + ( ) = 1，
5 5
4 3 24
∴点在单位圆上，∴sin = ，cos = ，∴sin = 2sin cos = ，
5 5 25
24
故答案为．
25
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1
13.【2020 虹口高三二模】已知函数 ( ) = sin ( + ) + ( > 0)在区间(0, )上有且仅有两
6 2 2
个零点，则实数的取值范围为( )
14 14 10 10
A. (2, ] B. [2, ) C. [ , 4) D. ( , 6]
3 3 3 3
1
【解析】 > 0， ∈ (0, ) + ∈ ( , + )， ( ) = 0 sin ( + ) = ，
2 6 6 2 6 6 2
11 19 10
由题意得 < + ， ∴ ∈ ( , 6]．
6 2 6 6 3

14.【2020 宝山高三二模】若函数 ( ) = sin + cos 的图像关于直线 = 对称，则的值为
4
（）．
A. 1 B. 1 C. √3 D. √3
【解析】设tan = ，∴ ( ) = sin + cos = √ 2 + 1sin ( + )，

∵ ( )关于直线 = + 对称( ∈ )，又∴函数 ( )的图像关于直线 = 对称，
2 4

∴ + = ( ∈ )，∴ = + ( ∈ )，∴ = tan + = 1( ∈ )．
2 4 4 4
故选A．
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15.【2020 闵行高三二模】已知函数 ( ) = |sin | + |cos | 4sin cos ，若函数 = ( )在
区间(0, )内恰好有奇数个零点，则实数的所有取值之和为．

【解析】 ①当 ∈ (0, ]， = sin + cos 4sin cos ，
2
2 1
令 = sin + cos = √2sin ( + )， ∈ (1, √2]，则sin cos = ，
4 2
2 1
= 4 = 2 2 + + 2，画出两函数图像：
2

显然， = 1时， = 1， = 是唯一解；时，， = 也是唯一解；
2 = √2 2 = √2 4

∈ (√2 2,1)时， ∈ (1,√2)，有两个解分别在(0, )和( , )；
4 4 2

②当 ∈ ( , )， = sin cos 4sin cos ，令 = sin cos = √2sin ( )， ∈
2 4
1 2 1 2
(1, √2)，则sin cos = ， = 4 = 2 2 + 2，画出两个函数的图像：
2 2
3
同理， = √2 + 2时， = √2， = 是唯一解， 4
3 3
∈ (1, √2 + 2)时， ∈ (1, √2)，有两个解分别在( , )和( , )；
2 4 4
综上，当 = 1，或 = √2 2，或 = √2 + 2时，为奇数个解，三根之和为1 + 2√2．
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16.【2020 青浦高三二模】已知函数 ( ) = sin + 2|sin |，关于的方程
2( ) √ ( ) 1 = 0有以下结论：
①当 0时，方程 2( ) √ ( ) 1 = 0在[0,2 ]内最多有3个不相等的实数根；
64
②当0 < 时，方程 2( ) √ ( ) 1 = 0在[0,2 ]内有两个不相等的实数根； 9
③若方程 2( ) √ ( ) 1 = 0在[0,6 ]内根的个数为偶数，则所有根之和为15 ；
④若方程 2( ) √ ( ) 1 = 0在[0,6 ]内根的个数为偶数，则所有根之和为36 ．
其中所有正确结论的序号是( )
A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ①②③
3sin , ∈ [0, ]
【解析】由已知得 ( ) = sin + 2|sin | = { ，作出图像如下：
sin , ∈ ( , 2 ]
2 +√ +4 由 ( √
+4 +√ +4
) √ ( ) 1 = 0，得
√ √ √
( ) = 或 ( ) = ．令
2 2 1
= ，
2 2
=
√ √ +4．显然 0， ∴ 1 1， 2 < 0(舍去)． 2
原方程的根看成 = 1与 = ( )的交点的横坐标．
对于①，如图所示：因为 1 1，当 = 0时， 1 = 1， = 1与 = ( )恰好有三个交点；当 >
0时，可能有2个、1个、0个交点，故①正确；
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对于②，结合①可知， = 0时，有3个根，故②错误；
对于③，如图所示，由题意，需要满足： = 1与 = ( )在[0, ]，[2 , 3 ]，[4 , 5 ]上的图像
各有两个交点．
5 9
易知这六个零点分别关于 = ， = ， = 对称，
2 2 2
5 9
所以六个根的和为：2 × + 2 × + 2 × = 15 ．
2 2 2
故③正确，④错误．故正确命题的序号是①③．故选：C．
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17.【 2020 浦东新区高三二模】已知函数 ( ) = cos |cos |．给出下列结论：
① ( )是周期函数；

②函数 ( )图像的对称中心为( + , 0) ( ∈ )；
2
③若 ( 1) = ( 2)，则 1 + 2 = ( ∈ )；
1 5
④不等式sin 2 |sin 2 | > cos 2 |cos 2 |的解集为{ | + < < + , ∈ }．
8 8
则正确结论的序号是( )
A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
【解析】 ① (2 + ) = cos (2 + ) |cos(2 + )| = cos |cos | = ( )，
∴ 2 是函数 ( )的一个周期，即①正确；

②∵ ( + ) + ( ) = ( sin ) | sin | + sin |sin | = sin |sin | + sin
2 2
3
|sin | = 0， ∴函数 ( )的图像关于( , 0)对称．又2 是函数 ( )的周期， ∴区间[ , ]恰为函
2 2 2

数的一个周期区间，故函数 ( )图像的对称中心为( + , 0) ( ∈ )，即②正确；
2
③∵ ( ) = cos( ) |cos( )| = cos |cos |，
∴ ( ) = ( )， ∴函数为偶函数，又函数的周期为2 ， ∴函数 ( )关于 = ， ∈ 对称，
若 ( 1) = ( 2)，则 1 + 2 = 2 ( ∈ )，即③错误；
cos 2 +1
④当 ∈ [0, ]时， ( ) = cos2 = ，在[0, ]上单调递减，
2 2 2

由于函数 ( )关于( + , 0) ( ∈ )和 = ( ∈ )对称，
2
所以函数的单调递减区间为[2 , + 2 ]，单调递增区间为[ + 2 , 2 + 2 ]， ∈ ．

不等式sin 2 |sin 2 | > cos 2 |cos 2 |，等价于 (2 ) > (2 )，
2

2 > + 2
2 4 1 5
则{ 5 ，解得 + < < + ， ∈ ，
2 < + 2 8 8
4
1 5
故不等式解集为{ | + < < + , ∈ }，即④正确．
8 8
故选：D．
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18.【 2020 嘉定高三二模】在△ 中，内角、、的对边分别为、、，若 2 + 2 + 2 =
2√3 sin ，则 = ．
【解析】 ∵ 2 + 2 + 2 = ( 2 + 2 2 cos ) + 2 + 2 = 2√3 sin ，

∴ (cos + √3sin ) = 2 sin ( + ) = 2 + 2，
6

又∵ 2 sin ( + ) = 2 + 2 2 ，
6

∴ sin ( + ) 1，可得sin ( + ) = 1，
6 6
7
∵ ∈ (0, )，∴ + ∈ ( , )， ∴ + = ，可得 = ．
6 6 6 6 2 3

故答案为：．
3
19.【 2020 奉贤高三二模】在△ 中，sin2 sin2 + sin2 sin sin ，则的取值范围
是．
【解析】利用正弦定理化简sin2 sin2 + sin2 sin sin 得： 2 2 + 2 ，
2 2 2
2+ 2 2 1
变形得： + ， ∴由余弦定理得cos = = ，
2 2 2

又因为为三角形的内角，则的取值范围是(0, ]．故答案为：(0, ]．
3 3
2√2 3
20.【2020 黄浦高三二模】如果sin = ，为第三象限角，则sin ( + ) = ．
3 2
2 2 1
【解析】 √∵ sin = ，为第三象限角， ∴ cos = √1 sin2 = ，
3 3
3 1 1
则sin ( + ) = cos = ．故答案为：．
2 3 3
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21.【2020 奉贤高三二模】如图，圆的半径为1，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为
射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示成的
函数 ( )，则 = ( )在[0, ]上的图像大致为( )
A. A B. B C. C D. D
1
【解析】根据三角函数的定义，点 (cos , 0)，△ 的面积为 |sin cos |，
2
1
在直角三角形中，根据等积关系得点到直线的距离，即 ( ) = |sin cos | = |sin 2 |，
2

且当 = 时上述关系成立，故函数 ( )的图像为选项中的图像．
2
1
22.【2020 崇明高三二模】若sin ( + ) = ，则cos 2 = ．
2 3
1 1 1 7
【解析】 ∵ sin ( + ) = ， ∴ cos = ∴ cos 2 = 2cos2 1 = 2 × 1 = ，
2 3 3 9 9
7
故答案为：．
9
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23.【2020 崇明高三二模】将函数 ( ) = sin 的图像向右平移 ( > 0)个单位长度后得到函数 =

( )的图像，若对满足| ( 1) ( 2)| = 2的任意 1， 2，| 1 2|的最大值是，则的最小值3
是．
【解析】由已知得 ( 1) = sin 1， ( 2) = sin( 2 )．
因为| ( 1) ( 2)| = 2，所以 ( 1)， ( 2)一个取得最大值，另一个取得最小值．

不妨设 1 = + 2 ， ∈ ， 2 = + 2 ， ∈ ， 2 2

由已知得| 1 2| = | + 2( ) | ，， ∈ ．结合 > 0． 3
2 2
当 = ， = 时成立．故答案为：．
3 3
→ →
24.【2020 崇明高三二模】在△ 中， = (√3cos , cos )， = (cos , sin )，则△
面积的最大值是．
【解析】如图，将点置于直角坐标系中的原点，则 (√3cos , cos )， (cos , sin )，
2
∴ | | = √cos2 + sin2 = 1，| | = √(√3cos ) + cos2 = 2|cos |，∠ = ， 6

故与的夹角为| |，
6
1 1 3
∴△ 的面积 = | || |
√
sin ∠ = × 1 × |2cos | × |sin ( )| = | sin cos
2 2 6 2
1 2 1 √3 1+cos 2 1 1 3 3cos | = | sin 2 | = |sin (2 ) | ，故答案为：．
2 2 2 2 2 6 2 4 4
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25.【2019 徐汇高三二模】函数 ( ) = cos 的最小正周期为．
3
2
【解析】函数 ( ) = cos 的最小正周期为 = 6，故答案为：6．
3 3
2 →
26.【2020 徐汇高三二模】设点 ( + , 1) ( < 0)是角终边上一点，当| |最小时，cos 的值
2
是( )
2 5 2 5 5 5
A. √ B.
√ C. √ D.
√

5 5 5 5
2
【解析】 ∵点 ( + , 1) ( < 0)是角终边上一点，
2
→ 2 2
∴ 2 2| | = √( + ) + 1 = √( + ) + 1 √5，故| |最小时， = 2，
2 2
2
+ 2√5
∴ cos =
2 =
2 5 ，故选：A．
√ 2( + ) +1
2
√6
27.【2020 静安高三二模】若sin = ，则cos ( 2 )的值为．
3
6 2
【解析】 ∵ √sin = ∴ √6 1cos ( 2 ) = cos 2 = (1 2sin2 ) = 2 × ( ) 1 = ．
3 3 3
1
故答案为：．
3
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28.【2020 徐汇高三一模】如图，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、，景区
管委会又开发了风景优美的景点，经测量景点位于景点的北偏东30°方向8km处，位于景点
的正北方向，还位于景点的北偏西75°方向上，已知 = 5km．
(1) 景区管委会准备由景点向公路修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的
长．（结果精确到0.1km）
【解析】如图，过点作 ⊥ 于点，过点作 ⊥ ，交的延长线于点，
在Rt △ DAF中，∠ = 30 ，
1 1
∴ = = × 8 = 4，∴ = √ 2 2 = √82 42 = 4√3， 2 2
在Rt △ ABF中， = √ 2 2 = √52 42 = 3，∴ = = 4√3 3，
4
sin ∠ = = ，
5
4
在Rt △ DBE中，sin ∠ = ，∴∠ = ∠ ，sin ∠ = ，
5
∴ 4 16√3 12 = sin ∠ = × (4√3 3) = ≈ 3.1(km)，
5 5
∴景点向公路修建的这条公路约是3.1km．
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(2) 求景点与景点之间的距离．（结果精确到0.1km）
4
【解析】由题意可知∠ = 75 ，由（1）可知∠ = = 0.8，所以∠ = 53 ，
5
∴∠ = 180 75 53 = 52 ，
3.1
在Rt △ DCE中，sin ∠ = ，∴ = ≈ ≈ 4(km)，
sin52 0.79
∴景点与景点之间的距离约为4km．
29.【2020 浦东新区高三一模】已知函数 ( ) = 2cos2 + √3sin 2
(1) 求函数 ( )的最小正周期及单调递增区间．

【解析】 ( ) = 2cos2 + √3sin 2 ， = cos 2 + 1 + √3sin 2 ， = 2sin (2 + ) + 1，
6
2
∴函数 ( )的最小周期 = = ，
2

由2 2 + 2 + ( ∈ )，得：单调增区间为[ , + ]， ∈ ．
2 6 2 3 6
综上所述：函数的最小正周期为，
→ →
(2) 在△ 中， = 6，若函数 ( )的图像经过点( , 2)，求△ 的面积．

( ) = 2sin (2 + ) + 1 = 2
【解析】 { 6 = ，
3
0 < <
→ → 1
= cos = 6，解得 = 12，∴ △ = sin = 3√3． 2
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30.【2020 松江高三一模】已知函数 ( ) = 2√3sin cos 2sin2 ．
(1) 求 ( )的最大值．
【解析】函数 ( ) = 2√3sin cos 2sin2 = √3sin 2 + cos 2 1
√3 1 = 2( sin 2 + cos 2 ) 1 = 2sin (2 + ) 1，
2 2 6

∵sin (2 + ) ∈ [ 1,1]，∴ ( ) ∈ [ 3,1]，函数 ( )最大值为1．
6
(2) 在△ 中，内角、、所对的边分别为、、，若 ( ) = 0，、、成等差数列，且
→ →
= 2，求边的长．
1
【解析】 ∵ ( ) = 0， ( ) = 2sin (2 + ) 1 = 0， sin (2 + ) = ，
6 6 2

由为△ 内角，则0 < < ，即 = ，
3
→ → → → → →
∵ 2 = | | | | cos = 2，∴| | | | = = 4，即 = 4，
cos
∵ ，，成等差数列，则2 = + ，
由余弦定理，
= 4
2+ 2 2 1
cos = = ，即 2 + 2 2 = 4， { 2 = + ，得 = 2，故 = 2．
2 2
2 + 2 2 = 4
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31.【2020 普陀高三一模】某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进
行改建．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，
点和点分别在道路和道路上，且 = 60米，∠ = 60°，设∠ = ．
(1) 求停车场面积关于的函数关系式，并指出的取值范围．
【解析】由平行四边形得，在△ 中，∠ = 120°，∠ = 60° ，
60
则 = = ，即 = = ，
sin ∠ sin ∠ sin ∠ sin(60° ) sin 120° sin
即 = 40√3sin( 60° )， = 40√3sin ，
则停车场面积 = sin ∠ = 2400√3sin sin (60° )，
即 = 2400√3sin sin (60° )，其中0° < < 60°．
(2) 当为何值时，停车场面积最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）．
3 1
【解析】由(1) 得 √ = 2400√3sin sin( 60° ) = 2400√3sin ( cos sin )，即 =
2 2
3600sin cos 1200√3sin2 = 1800sin 2 + 600√3cos 2 600√3，
则 = 1200√3sin (2 + 30°) 600√3，
因为0° < < 60°，所以30° < 2 + 30° < 150°，
则2 + 30° = 90°时， = 1200√3 × 1 600√3 = 600√3 ≈ 1039.2平方米，
故当 = 30°时，停车场最大面积为1039.2平方米．
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32.【 2020 闵行高三一模】某地实行垃圾分类后，政府决定为、、三个校区建造一座垃圾处理
站，集中处理三个小区的湿垃圾，已知在的正西方向，在的北偏东30°方向，在的北偏
西20°方向，且在的北偏西45°方向，小区与相距2km，与相距3km．
(1) 求垃圾处理站与小区之间的距离．
【解析】在△ 中，∠ = 50°，∠ = 105°， = 3，∠ = 25°，
3 3sin 50°
由正弦定理： = ，∴ = ≈ 5.438 ≈ 5.44．
sin 50° sin 25° sin 25°
故垃圾处理站与小区间的距离为5.44km．
(2) 假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用
为每公里元，一辆小车的行车费用为每公里元（其中为满足100 是1 99内的正整数），现
有两种运输湿垃圾的方案：方案 1：只用一辆大车运输，从出发，依次经、、再由返回到
；方案 2：先用两辆小车分别从、运送到，然后并各自返回到、，一辆大车从直接到
再返回到 ﹔试比较哪种方案更合算请说明理由．（结果精确到小数点后两位）
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3 3sin 105°
【解析】在△ 中，由 = ，得 = = 6.857，
sin 105° sin 25° sin 25°
在△ 中，∠ = 70°， = 2，∴ 2 = 2 + 2 2 cos 70°，
解得 ≈ 6.452．
方案一费用： 1 = (| | + | | + | | + | |)， = (6.452 + 2 + 3 + 5.438)， = 16.89 ．
方案二费用： 2 = 2 | | + 2 (| | + | |) = (13.713 + )，
当 1 > 2时，方案二合算，此时0 < < 0.32．
当 1 < 2时，方案一合算，此时0.32 < 1．
综上，当0 < < 0.32时，方案二合算，当0.32 < 1时，方案一合算．
33.【2020 长宁高三一模】如图，某城市有一矩形街心广场，如图，其中 = 4百米， =
3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，

要求∠ = ．
4
(1) 若 = = 2百米，判断△ 是否符合要求，并说明理由．
【解析】由题意 = √5， = √13， = 2√5 ，
13+20 5 7
所以 √
2
cos ∠ = = ≠ ，所以∠ ≠ ，△ 不符合要求．
2×2√5×√13 √65 2 4
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(2) 设∠ = ，写出△ 面积的关于的表达式，并求的最小值．
3 4
【解析】 ∠ = ， ∠ = ， = ， =
4 cos cos( )
，
4
1 3√2
所以 = sin =2 4 ， cos cos ( )
4

√
2
cos cos ( ) = cos (cos + sin )
4 2
√2 1 √
2 1 √2
= (sin 2 + cos 2 + 1) = sin (2 + ) + + ，
4 2 4 4 2 4
所以 12(√2 1)，的最小值为12(√2 1)．
34.【2020 奉贤高三一模】函数 ( ) = sin (tan )，其中 ≠ 0，
(1) 讨论 ( )的奇偶性．
2 +1
【解析】由 = + ，得 ≠ ， ∈ ，
2 2
2 +1
所以函数 ( ) = sin( tan )的定义域为{ | ≠ , ∈ }，所以定义域关于原点对称，
2
( ) = sin[ tan ( )] = sin( tan ) = sin( tan ) = ( )，
2 +1
所以函数 ( ) = sin( tan )是{ | ≠ , ∈ }上的奇函数．
2
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(2) = 1 时，求证： ( )的最小正周期是．
【解析】 = 1， ( ) = sin (tan )，
函数 ( )是周期函数，且是它的一个周期，
因为 ( + ) = sin [tan( + )] = sin (tan ) = ( )，
所以函数 ( )是周期函数，且是它的一个周期，
假设 0是函数 ( ) = sin( tan )的最小正周期，且0 < 0 < ，
那么对于任意实数，都有 ( + 0) = sin [tan( + 0)] = sin( tan ) = ( )成立，
取 = 0，则sin (tan 0) = 0，所以tan 0 = ， ∈ ( )，
2tan 0
取 = 0，则sin( tan 2 0) = sin (tan 0)，所以sin ( 2 ) = sin( tan 1 tan 0
)，
0
2
把( )式代入上式，得 sin (
1 2 2
) = 0，

2
所以 2 2 = ，， ∈ ， 1
2
得 2 2 = ，， ∈ ， ≠ 0时，上式左边为无理数，右边为有理数， 1
所以只能 = 0但由于0 < 0 < ，tan 0 = ， ∈ 知 ≠ 0，
所以假设错误，故是 ( )的最小正周期．
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1 1
(3) ∈ (1.50,1.57)，当函数 ( )的图像与 ( ) = ( + ) 的图像有交点时，求满足条件的的个
2
数，说明理由．
1 1 1 1
【解析】因为 > 0， ( + ) × 2√ = 1且 ( ) = sin (tan ) 1，
2 2
1 1
由 ( ) = sin (tan ) = ( ) = ( + )成立，当且仅当 = 1成立，
2

sin (tan ) = 1，得tan = 2 + ，所以 = arctan (2 + ) + ，， ∈ ，
2 2

因为 ∈ (1.50,1.57)，所以只能 = 0，得 = arctan (2 + )， ∈ ，
2

得 = arctan (2 + )是的递增函数，
2
3
当 < 0时， = arctan (2 + ) < arctan ( ) < 0，不符合，
2 2

当 = 0时， = arctan ≈ 1.00 (1.50,1.57)，
2
5
当 = 1时， = arctan ≈ 1.44 (1.50,1.57)，
2
9
当 = 2时， = arctan ≈ 1.5001 ∈ (1.50,1.57)，
2
13
当 = 3 时， = arctan ≈ 1.52 ∈ (1.50,1.57)，
2

797
当 = 199时， = arctan ≈ 1.5699 ∈ (1.50,1.57)，
2
801
当 = 200时， = arctan ≈ 1.570001546 (1.50,1.57)，
2
当 > 200时， > 1.570001546 (1.50,1.57)无解，
故满足条件的的个数有198个．
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→ →
35.【2020 青浦高三一模】已知向量 = (√3cos , sin )， = (cos , cos )其中 > 0，
→ →
记 ( ) = ．
(1) 若函数 ( )的最小正周期为，求的值．
→ →
【解析】向量 = (√3cos , sin )， = (cos , cos )，
→ →
( ) = = (√3cos , sin ) (cos , cos ) = √3cos
2 + sin cos
3 1 3 3
√ √ √= cos 2 + sin 2 + = sin (2 + ) + ．
2 2 2 3 2
2
∵ > 0，函数 ( )的最小正周期为，∴ = ， = 1．
2

(2) 在（1）的条件下，已知△ 的内角、、对应的边分别为、、，若 ( ) = √3，且
2
= 4， + = 5，求△ 的面积．
3
【解析】函数 ( )
√
= sin (2 + ) + ．
3 2
∵ √3 √3 ( ) = sin (2 + ) + = √3，∴sin ( + ) = ，
2 2 3 2 3 2

由为△ 内角，0 < < ，则 = ，
3
2+ 2 2 2+ 2 16 1
∵ = 4， + = 5，cos = = = ．
2 2 2
2 25 16则 + 2 = 16 + ( + )2 = 16 + 3 ， = = 3．
3
1 1 √3 3所以 △ = sin = × 3 × = √3． 2 2 2 4
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√3
36.【2020 崇明高三一模】已知函数 ( ) = sin 2 cos2
1
．
2 2
(1) 求函数 ( )的最大值，并写出取得最大值时的自变量的集合．
√3 1 1 【解析】 ( ) = sin 2 (1 + cos 2 ) = sin (2 ) 1．
2 2 2 6
函数 ( ) = 1 1 = 0，

当且仅当2 = + 2 ， ∈ 时取得最大值，即 = + ， ∈ ，
6 2 3

∴ ( )的最大值为1，取得最大值的取值集合为{ | = + , ∈ }．
3
(2) 设△ 的内角、、所对的边分别为、、，且 = √3， ( ) = 0，若sin = 2sin ，
求、的值．

【解析】由 ( ) = 0，得sin (2 ) = 1，又 ∈ (0, )，
6

所以2 = ，得 = ，由sin = 2sin 及正弦定理，得 = 2 ①，
6 2 3
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，得 2 + 2 = 3②，
由①，②解得 = 1， = 2．
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37.【2020 嘉定高三二模】设常数 ∈ ，函数 ( ) = √3sin 2 + cos2 ．
(1) 若 ( )为奇函数，求的值．
【解析】当 ( )为奇函数时，必有 (0) = √3sin 0 + = 0，可得 = 0．
当 = 0时， ( ) = √3sin 2 ，利用正弦函数的性质可知其为奇函数，符合题意，可得的值为0．

(2) 若 ( ) = 3，求方程 ( ) = 2在区间[0, ]上的解．
6
3 3
【解析】因为 ( ) = √3sin + cos2 = + = 3 = 2，
6 3 6 2 4

所以 ( ) = √3sin 2 + 2cos2 = √3sin 2 + cos 2 + 1 = 2sin (2 + ) + 1，
6
1 5
由 ( ) = 2 sin (2 + ) = 2 + = + 2 或2 + = + 2 ( ∈ )，
6 2 6 6 6 6

可得 = 或 = + ( ∈ )，所以方程 ( ) = 2在区间[0, ]上的解为{0, , }．
3 3
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38.【2019 徐汇高三二模】某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为50√3米、圆
心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案．已知红旗图案为矩
形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点，分别在弧、线段上．
(1) 若∠ = 45°，求此红旗图案的面积．
【解析】 = 3750 1250√3（平方米）．
(2) 求组成的红旗图案的最大面积．

【解析】 = 2500√3sin (2 + ) 1250√3， ∈ (0, )，∴ = 1250√3平方米． 6 3
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39.【2020 崇明高三二模】
某开发商欲将一块如图所示的四边形空地沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区
域，经测量，边界与的长都是2千米，∠ = 60°，∠ = 120°．
(1) 如果∠ = 105°，求的长（结果精确到0.001千米）．
【解析】如图，连接，
在△ 中，因为∠ = 60°， = ，
所以△ 为等边三角形，所以 = 2，
因为∠ = 105°，所以∠ = 105° 60° = 45°，

在△ 中，由正弦定理可得 = ，
sin 120° sin 45°
2 √2 2√6
所以 = sin 45° = = ≈ 1.633sin 120° √3 2 3 （千米）．
2
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(2) 围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材？（不计损耗，结果精确到0.001千米）
【解析】如图，连接，因为∠ = 60°， = = 2，所以△ 为等边三角形，所以
= 2，
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos 120° = ( + )2
+ 2 3
( + )2 ( ) = ( + )2，
2 4
4 16
所以( + )2 2 =
4 3
，所以( √ + ) = ，
3 3 3
4 3
所以四边形的周长为：( √ + + + ) = 2 + 2 + ≈ 6.309（千米）． 3
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40.【2020 普陀高三二模】设函数 ( ) = 2sin2 ( + ) + √3sin ( + ) 1．
2 6 3

(1) 当0 < < 1时，若函数 ( )的最大值为 ( )，求函数 ( )的最小正周期．
2

【解析】 ( ) = 2sin2 ( + ) + √3sin ( + ) 1
2 6 3

= 1 cos ( + ) + √3sin ( + ) 1 = 2sin ( + )， 3 3 6

因为函数 ( )的最大值为 ( )，所以sin ( + ) = 1，
2 2 6
2
即 + = 2 + ， ∈ ，即 = 4 + ．
2 6 2 3
2
又0 < < 1，则 = ，
3
2
则函数 ( )的最小正周期为 = 3 ．

(2) 若函数 ( )在区间( , 2 )内不存在零点，求正实数的取值范围．
【解析】因为函数 ( )在区间( , 2 )内不存在零点，

+

所以( + , 2 + ) ( , + )， ∈ ，即{ 6 ，
6 6 2 + +
6
1 5
即 + ， ∈ ，
6 2 12
1 5 7
因为 + ， ∈ ，所以， ∈ ，即 = 0，1，
6 2 12 6
5 5 11
则所求的正实数的取值范围为(0, ] ∪ [ , ]．
12 6 12
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41.【2020 静安高三二模】若函数 ( ) = sin ( + )（ > 0， > 0，0 < ）满足下列
条件：① ( )的图像向左平移个单位时第一次和原图像重合；对任意的 ∈ 都有 ( )

( ) = 2成立．
6
(1) 求 ( )的解析式．
2
【解析】由题意可得： = = ，解得： = 2，

∵对任意的 ∈ 都有 ( ) ( ) = 2成立，∴ = 时， ( )有最大值2，可得： = 2，
6 6

∵2 × = 2 + ， ∈ ，又∵0 < ，∴ = ，∴ ( ) = 2sin (2 + )．
6 2 6 6
(2) 若锐角△ 的内角满足 ( ) = 1，且∠ 的对边 = 1，求△ 的周长的取值范围．
【解析】 ( ) = 1，
2
∴2sin (2 + ) = 1，∴∠ = ，∵△ 是锐角三角形，∴0 < < ，0 < = < ，
6 3 2 3 2

∴ < < ，
6 2
sin 2sin 2 2sin ( )
∴△ 中，由正弦定理可得 = = ， sin
sin √3 = =
3 ，
sin √3
2
∴ 2sin
2sin ( )
= + 3 + 1 = 2sin ( + ) + 1，∴ < < ，∴ ∈ (1 +6 2 √3, 3]． √3 √3 6
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42.【2020 长宁高三二模】已知函数 ( ) = sin √3cos ， ∈ ．
(1) 设△ 的内角、、所对的边长分别为、、，若 ( ) = 0，且 = 2， = 3，求的
值．
【解析】由sin √3cos = 0，得tan = √3，

因为为△ 的内角，所以 = ，
3

由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 22 + 32 2 × 2 × 3 × cos = 7，
3
所以 = √7．
(2) 求函数 = ( )cos 的最大值．
1 1+cos 2
【解析】由题意得 = (sin √3cos )cos = sin cos √3cos2 = sin 2 √3 ×
2 2
√3 3
= sin (2 ) ，因为 ∈ ，所以的最大值为
√
1 ．
3 2 2
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43.【2019 松江高三二模】已知函数 ( ) = 2cos2 + 2√3sin cos ．
(1) 求 ( )的最大值和最小正周期．

【解析】 ( ) = 2cos2 + 2√3sin cos = 1 + cos 2 + √3sin 2 = 1 + 2sin (2 + )，∴
6
2
( ) = 3， = = ． 2

(2) 在△ 中，内角、、所对的边分别为、、．已知 ( ) = 3，且 = 1．求△ 面
2
积的最大值．

【解析】由 ( ) = 3得sin ( + ) = 1，
2 6

因为 ∈ (0, )，所以 + = ，解得 = ．
6 2 3

因为 = 1，由余弦定理，得1 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ．
3
由1 = 2 + 2 2 = 得 1．当且仅当 = 时取得等号．
1 1 √3 √3 √3 ∴△ 面积 △ = sin = ． ∴△ 面积的最大值为． 2 2 2 4 4
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平面向量
→ → → → →
1.【2020 松江高三一模】已知向量 = (1,2)， = ( , 3)，若向量( 2 )// ，
则实数 = ．
→ →
【解析】 ∵ = (1,2)， = ( , 3)，
→ →
2 = (1,2) 2( , 3) = (1,2) (2 , 6) = (1 2 , 8)，
由 →
→ → → → → 1 2 =
( 2 )// ，则 2 = ( ≠ 0)， (1 2 , 8) = ( , 3)，即{ ， 8 = 3
8 3 3
解得 = ， = ，故实数 = ．
3 2 2
→ →
2.【2020 静安高三一模】如图，在平行四边形中， = 2， = 1，则的值
为．
→ → →
→ → →
【解析】 ∵平行四边形中， = 2， = 1， = + = + ， → → ，
=
→ → → → → →
∴ = ( + ) ( )
→ 2 → 2
= ( ) ( )
→ 2 → 2
= | | | |
= 1 4
= 3．
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→ → → →
3.【2020 杨浦高三一模】向量集合 = { | = ( , ), , ∈ }，对于任意， ∈ ，以及任意
→ →
∈ (0,1)，都有 + (1 ) ∈ ，则称为“ 类集”．现有四个命题：
→ →
①若为“ 类集”，则集合 = { | ∈ , ∈ }也是“ 类集”；
→ → → →
②若、都是“ 类集”，则集合 = { + | ∈ , ∈ }也是“ 类集”；
③若 1、 2都是“ 类集”，则 1 ∪ 2也是“ 类集”；
④若 1、 2都是“ 类集”，且交集非空，则 1 ∩ 2也是“ 类集”．
其中正确的命题有．
【解析】理解题意等价转化为点集问题，即“平面中有点集，若对于中的任意两点、，线段
上的点均属于，则称点集为类集”．举两个例子，左图区域内任选两点所连线段依然在区域
内，符合类集定义，而右图并不符合，不妨称符合类集的这种图形为“凸形”．
命题①，相当于将“凸形”放大或缩小，变化后还是“凸形”，故①正确；
命题②，可以进一步将“凸形”简化为圆，即在圆 1内，在圆 2内，的中点轨迹为“凸形”，
结合命题①，乘以2仍为“凸形”，故②正确；
命题③，两个“凸形”的并集不一定为“凸形”，故③错误；
命题④，两个“凸形”的交集还是“凸形”，故④ 正确．
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4.【2020 杨浦高三一模】在直角坐标平面中， ( 2,0)， (0,1)，动点在圆： 2 + 2 = 2
→ →
上，则的取值范围为．
【解析】令 (√2cos , √2sin )( ∈ [0,2 ])，且 ( 2,0)， (0,1)，
→ →
= ( 2 √2cos , √2sin ) ( √2cos , 1 √2sin )，
= 2cos2 + 2√2cos + 2sin2 √2sin = 2 + √2(2cos sin )
= √10sin ( + ) + 2，其中tan = 2，
→ →
∴ 的取值范围为[2 √10, 2 + √10]．
故答案为：[2 √10, 2 + √10]．
→ → → →
5.【2020 徐汇高三一模】设是△ 的垂心，且3 + 4 + 5 = 0，
则cos∠ 的值为（）．
√30 √5 √6 70A. B. C. D.
√

10 5 6 14
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→ → → → → → →
【解析】 ∵
4 5
3 + 4 + 5 = 0，∴ = ， 3 3
所以大致图像，如图所示，
2 5
设 △ = △ = ，则 = ，则 △ = 3 1 △ 1 = ，
3
5 △ 3 3 9 9 5 3
则 △ = △ = ，根据面积比： = × = = × = 3 4 5 20 △ △ 1 1 20 3 4
，
即： △ : △ : △ = 3: 4: 5，又因为是垂心，根据 △ : △ : △ =
tan : tan : tan = 3: 4: 5，又因为tan + tan + tan = tan tan tan ，
3 4
故解得：tan = ，tan = ，
5 tan = √5， √5 √
5 70
则 √ √cos ∠ = cos = = ．故选D．
√14 14
6.【2020 松江高三一模】记边长为1的正六边形的六个顶点分别为 1、 2、 3、 4、 5、 6，集
→ → → → → → →
合 = { | = ( , = 1,2,3,4,5,6, ≠ )}，在中任取两个元素、，则 = 0的概率
为．
→
【解析】如下图所示，集合中的向量包含三类：六条边有6个向量（如），过中心有6个1 2
→ →
向量（如 1 ），剩余6个向量（如），即集合中有18个元素．其中每条边上的向量（如4 1 5
→ → → →
）都和两个向量（如和）垂直，然后每条过中心的向量（如）都和两个向量1 2 1 5 4 2 1 4
→ → 6×2+6×2 8
（如和）垂直，即概率 2 = ． 2 6 5 3 18 51
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→ → → → → →
7.【2020 闵行高三一模】在△ 中，已知 = ， = ，为△ 的重心，用、表示
→
向量 = ．
【解析】延长交于点．
→ → →
∵ 为△ 的重心， ∴ 为的中点， → ∵ = ， = ，
→ 2 → 2 → 1 → 2 → 1 →
∴ = = ( + ) = + ．
3 3 2 3 3
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→ →
8.【2020 闵行高三一模】若是正六边形 1 2 3 4 5 6的中心， = { | = 1,2,3,4,5,6}，，
→ → → → → → → → → → →
， ∈ ，且、、互不相同，要使得( + ) = 0，则有序向量组( , , )的个数为．
→ → → →
【解析】 ①若与是相邻的两个向量，比如 1 + ， 2
→ → → →
此时，有两组向量或满足与之垂直，所以3 5 与的选择共有6 × 2 = 12个，
→
与之对应的有2个，故有12 × 2 = 24个．
→ → → → → →
②若与中间隔了一个向量，比如 + = ，此时没有1 3 2 满足条件，
→ → → → → → → →
③若与是相反向量，如： + = 0，这样的与共有3 × 2 = 6个，对应的显然有4个 1 4
故共有4 × 6 = 24个．综上所述，总数有48个．
→ 1 3 →√ √3 1
9.【2020 长宁高三一模】已知向量 = ( , )， = ( , )，则∠ = ．
2 2 2 2
【解析】
→ → 1 √3 √3 1
× + × √3
cos ∠ = 2 2 2 2→ → = = ，故∠ = ．
| | | | 1×1 2 6
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→ → → → → → → → →
10.【2020 长宁高三一模】已知非零向量、、两两不平行，且 // (b + c)， // (a + c)，设
→ → →
= + ，， ∈ ，则 + 2 = ．
→ → → → → → → → →
【解析】因为非零向量、、两两不平行，且 // (b + c)， // (a + c)，
→ → → → 1 → → → → → → 1 → →∴ = ( + ) = ， = ( + ) = ，

1
= 1
= 1 →∴{ 1 { ；∵
→ → ，， ∈ ，∴ = = 1，∴ + 2 = 3，
1 = = 1
= +

故答案为： 3．
→ 3 → 1 → →
11.【2020 奉贤高三一模】设 = ( , sin )， = (cos , )，且 // ，则cos 2 = ．
2 3
3
→ 3 → 1 → →
= cos
【解析】 = ( , sin )， → → 2 = (cos , )，∵ // ，∴ = ( ≠ 0)， { 1 ， 2 3 sin =
3
3
则 = 3sin ，即 = 3sin cos ， sin 2 = 1，所以cos 2 = 0．故答案为：0．
2
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12.【2020 虹口高三一模】如图所示，两块斜边长均等于√2的直角三角板拼在一起，
→ →
则 = ．
→ → → → → → →
【解析】 = ( + ) = = 1 × √2 × cos 135° = 1．
2 2 → →
13.【2020 青浦高三一模】已知点在双曲线 = 1上，点满足 = ( 1) ( ∈ )，且
9 16
→ → → → →
= 60， = (0,1)，则| |的最大值为．
→ → → → → →
【解析】 = + = ( 1) = ，∴设 ( , )，∴ ( , )，
→ → 60 2 2 960
∴ = ( 2 + 2) = 60，∴ = 2 2，∵ + = 1，∴ = ， 9 16 144+25 2
→ → 960 960
∴| | = | | = 144 = 8
+25| | 2√144×25
．
| |
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→ → →
14.【2020 奉贤高三一模】设平面直角坐标系中，为原点，为动点， | | = 6， = √5 ，
→
过点作 1 ⊥ 轴于 1，过作 1 ⊥ 轴于点 1，与 1不重合，与 1不重合，设 =
→ →
1 + 1 ，则点的轨迹方程是．
【解析】
→ →
设 ( , )，则 ( , )， 1 (0, )， 1( , 0)，∴ 1 = ( , 0)，√5 √5 √5 5 1 = (0, )
，
√

→ → → = →
设 ( , )，则由 = + ，可得{ √5，∴ = √5 ， = ，又| 1 1 | = 6， =
2
∴ 2 + 2 = 36，即(√5 ) + 2 = 36，化简得5
2 + 2 = 36，
故点的轨迹方程是5 2 + 2 = 36( ≠ 0且 ≠ 0)．
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→ → → → → → → →
15.【2020 宝山高三二模】已知平面向量、，e满足|e| = 1， e = 1， e = 1，
→ → → →
| | = 4，则的最小值是．
→ → →
【解析】方法一 : （代数法）设e = (1,0)， = ( 1, 1)， = ( ， 2, 2)
→ → → →
由 →
→
e = 1， e = 1可得 1 = 1， 2 = 1，于是| | = 4，可得( )
2
1 2 = 12，
即 2 + 2 = 12 + 2 ．∵ 2 21 2 1 2 1 + 2 2| 1 2|，
→
∴12 + 2 →1 2 2| 1 2| | 1 2| 6 + 1 2 1 2 3，从而 = 1 + 1 4． 2
→ → → →
方法二 : （几何法）设 →e = (1,0)， = ， = ，
由方法一中分析可知，在 = 1上，在 = 1上，
→ → → →
于是由| | = 4可知| | = 4，记中点为，则| | = 2，
→ → → → → → → → → → → 2 → 2 → 2
从而 = ( + )( + ) = ( + ) ( ) = | | | | = | | 4
4．
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→ →
16.【2020 闵行高三二模】已知，，是边长为1的正方形边上的任意三点，则的取值
范围为．
→ → → →
【解析】确定的最值即可，( ) = √2 √2 cos 0 = 2（下图），

→ → 1
( ) = （下图），
4
→ →
∴ 1 ∈ [ , 2]，
4
→ →
①当为正方形的顶点时，最小仅能取到零，
→ →
②当在正方形的边上时，显然当为所在边顶点时，才有可能取到更小的值，
→ → → →
即右上图中，一定会有 ′ ，
→ → → → → → →
此时 = ′ = | | . （其中有向线段表示在方向上的投影），
→
设| | = (0 < < 1)，则 = (1 )，
→ → 2
∴ 1 1 1 = ( 1) = ( ) ，
2 4 4
1 → → 1
当 = 时，即为所在边中点时，取得最小值． 2 4
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→ → → → → →
17.【2020 杨浦高三二模】设，，是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若( ) : (
→ → → → →
) : ( ) = 1: 1: 2，则的值为．
→ → → → → → →
【解析】因为，，是同一平面上的三个两两不同的单位向量，( ) : ( ) = 1: 1，
→ → → → → →
所以，之间的夹角与，之间的夹角相等，设夹角为，则，之间的夹角为2 或2 2 ，
→ → → → cos 1
又∵ ( ) : ( ) = 1: 2， ∴ cos : cos 2 = 1: 2，即 2 = ， 2cos 1 2
2 1 3 1+ 3 ∴ 2cos 2cos 1 = 0，则 √ √cos = 或cos = (舍去)．
2 2
→ → → → 1 √3 1 3
则 = | | | | cos = ，故答案为： √ ．
2 2
→ → → → → → →
18.【2020 青浦高三二模】已知平面向量，满足 = (1, 1)，| | = 1，| + 2 | = √2，则与
→
的夹角为．
→ → → →
【解析】根据题意，设与的夹角为，由 = (1, 1)，则| | = √2，
→ → → → 2 → → → →
又由| + 2 | = √2，则有( + 2 ) = 2 + 4 + 4 2 = 6 + 4 × 1 × √2 × cos = 2，
√2 3 3 解得cos = ，则 = ．故答案为：．
2 4 4
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19.【2020 金山高三二模】在正方体 1 1 1 1中，下列结论错误的是( )
→ → → 2 → 2
A. ( 1 + 1 1 + 1 1) = 3 1 1
→ → →
B. 1 ( 1 1 1 ) = 0
→ →
C. 向量与的夹角是120° 1 1
→ → →
D. 正方体 1 1 1 1的体积为| 1 |
【解析】正方体 1 1 1 1如图所示，
→ → → 2 → → 2 → 2 → 2
选项 A，( + + ) = 2 = | | = (√3 | |) = 3 ，故 A 正确； 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
→ → → → →
选项 B， 1 ( 1 1 1 ) = 1 1，∵ 1 在平面 1 1内的投影为 1 ，且 1 ⊥ 1，
→ →
∴ 1 ⊥ 1，∴ 1 1 = 0，故 B 正确；
→ →
选项 C，∵△ 1 1为等边三角形，∴ ∠ 1 1 = 60°，∵ 1// 1，∴向量与的夹角是1 1
180° 60° = 120°，故 C 正确；
→ →
选项 D，∵ ⊥ 1，∴ = 0，故 D 显然错误． 1
故选：D．
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20.【2020 浦东新区高三二模】如图，在△ 中，∠ = ，为的中点，为上一点，
3
→ → 1 → 3 3 →√
且满足 = + ，若△ 的面积为，则| |的最小值为．
3 2
→ → → → 1 →
【解析】∵ ，，三点共线，设 = + (1 ) = + (1 ) ，
2
→
→ → = 1 → 1 → → → | |
又∵ = + ， ∴ {1 1
1 2
(1 ) = ，∴ = = ∴ = + ，∴ → = 2， 3 32 3 3 3 | |
3 3 1 → → 3 3
√ √∵ △ = ∴ | || |sin ∠ = ，将∠ =
→ → → →
代入得|
2 2 2 3
|| | = 6．即| || | =
→ 3
3，| | = → ． | |
→
1 → →
2 → →
则| | √ 2 1 1 2 → → 4= ( + ) = √ 2 + 2 × × × | || |cos ∠ + 2 =
3 3 9 3 3 9
2
√1 3 2 4
→ 1 4 → 2 2 2 → √6
( ) + + 2 = √ 2 (→ + + √2 × + = √2 当且仅当| | = 时，等式成→9 | | 3 9 2 9 3 3 3 2
→
立)． ∴ | |的最小值为√2．故答案为：√2．
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→ → → →
21.【2019 徐汇高三二模】在△ 中，若| + | = | |， = 2， = 1，，为
→ →
边的三等分点．则 = ．
→ → → →
【解析】如图，由于在△ 中，| + |=| |，则∠ = 90°，
→ → → → 1 → → 2 →
由于，为的三等分点，则 = ， = ， = ， 3 3
→ → → → → → → 2 → 1 → → 1 → 2 →
又有 = + ， = + ，则 = + ， = + ， 3 3 3 3
→ → 2 → 2 → 10
又由 = 2， = 1，故 = 2 + 2 = ，
9 9 9
10
故答案为：．
9
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22.【2019 松江高三二模】已知等边△ 的边长为2√3，点是其外接圆上的一个动点，
→ →
则的取值范围是．
【解析】坐标运算+参数方程
以所在直线为轴，以垂直平分线所在直线为轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，因为△ 是边长为2√3的等边三角形，
2 3
所以 √ ( √3, 0)， (√3, 0)， (0,3)，则其外接圆的半径 = = 2．
√3
设 (2cos , 2sin + 1)， ∈ [0,2 )，
→ →
∴ = (2cos + √3, 2sin + 1) (2cos √3, 2sin + 1)
= 4cos2 3 + 4sin2 + 1 + 4sin = 2 + 4sin ∈ [ 2,6]．
故答案为：[ 2,6]．
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→ → → → → →
23.【2020 年普陀高三二模】在平面四边形中， = = 0 ， | | = | | =
→ → 1 → →
1 ， = ，若点是边上的任一动点，则的最小值为．
2
【解析】连接，
→ → → →
∵ = = 0，∴∠ = ∠ = 90°，
→ → → →
∵ 1 = | | | | cos ∠ = cos ∠ = ，∴∠ = 120°，
2
∴ = √ 2 + 2 2 cos ∠ = √3,∴∠ = ∠ = 30°，
∴∠ = ∠ = 60°，∴在△ 是等边三角形，
以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，
3 3
则 (0,1)， (√3, 0)，
√
( , )，
2 2
→ → 3 3
设 ( , 0)(0 √3)，则
√
= ( , 1)， = ( , )， 2 2
→ → 2
∴ 2 √3 3 √3 21 √3
→ → 21
= = + = ( ) + ，∴当 = 时，
4
取得最小值．
2 2 4 16 16
21
故答案为：．
16
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0 √2
24.【2020 静安高三二模】在平面直角坐标系上，由不等式组{ 2 所确定的区域为，
√2
→ →
若 ( , )为区域上的动点，点 (√2, 1)，则 = 的最大值为．
0 √2
【解析】由不等式组{ 2 给定的区域如图所示：
√2
→ →
= = √2 + ，即 = √2 + ，
首先做出直线 0: = √2 ，将 0平行移动，当经过点时在轴上的截距最大，从而最大．
因为 (√2, 2)，故的最大值为4．故答案为：4．
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25.【2020 长宁高三二模】已知点、在以为直径的圆上．若 = 5， = 3， = 2，
→ →
则 = ．
【解析】法一：投影处理，
→ → → → → →
= | | | | cos = | | | ′ ′| = 5 × (5 3cos 2cos ) = 12．
法二：平面向量分解，
→ → → → → → → → →
= ( ) = = 21 9 = 12．
→ → → →
26.【2020 长宁高三二模】已知向量 = (1, , 1)， = ( , 1,1)， ∈ ，则“ = 1”是“ // ”
的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
→ → 2【解析】当时，{ = 1
→
// ，解得 = 1，∴“ = 1”是“
→
= 1 //
”的充要条件．
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→ 3 3 →
27.【2020 奉贤高三二模】已知向量 = (cos , sin )， = (sin , cos ) ( ≠ , ∈ )，
2 2 2 2
→ → 2
( + )
令 ( ) = → → ( ∈ )．

→ → 2
( + )
(1) 化简 ( ) = ，并求当 = 1时方程 ( ) = 2的解集． → →

→ 3 3 →
【解析】 ∵ = (cos , sin ) ， = (sin , cos )，
2 2 2 2
→ → 3 3 3
∴ = cos sin sin cos = sin ( ) = sin ，
2 2 2 2 2 2
2 → →
2
→ → 2→2 →
→ →
2 2 ( + ) 2 ( + ) = + 2 + = + 1 2 sin ． +1 2 sin ∴ ( ) = = ． → →
sin
2 2sin 1
当 = 1时，有 ( ) = = 2，化简得sin = ，
sin 2
5
解得 = + 2 或 = + 2 ， ∈ ，
6 6
5
∴当 = 1时，方程 ( ) = 2的解集为{ | = + 2 或 x = + 2k , k ∈ }．
6 6
(2) 已知集合 = { ( )| ( ) + ( ) = 2, 是函数 h(x)与 h( x)定义域的交集且 D 不是空集}，
判断元素 ( )与集合的关系，说明理由．
2
( ) ( ) +1 2 sin
2+1+2 sin 1
【解析】由 + = 2可得， + = 2，化简后得， = ，
sin sin 2
1 1
∴当 = 时， ( ) ∈ ；当 ≠ 时， ( ) ．
2 2
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复数
1.【2020 青浦高三二模】已知i为虚数单位，复数 = 2 + i的共轭复数 = ．
【解析】 i为虚数单位，复数 = 2 + i的共轭复数 = 2 i．故答案为：2 i．
i
2.【2020 金山高三二模】已知i是虚数单位，则| |的值为．
1 i
i i(1+i) i 1 1 1
【解析】 ∵ = = = + i
i 1 1 1 1 2 2
， √ √∴ | | = | + i| = √ + = 。故答案为：．
1 i (1 i)(1+i) 2 2 2 1 i 2 2 4 4 2 2
1 i
3.【2020 松江高三一模】设 = + 2i，则| | = ．
1+i
1 i (1 i)(1 i) 1+i2 2i 2i
【解析】 = + 2i = + 2i = + 2i = + 2i = i + 2i = i，| | = 1．
1+i (1+i)(1 i) 1 i2 2
4.【2020 闵行高三二模】已知复数满足i z = 1 + i（i为虚数单位)，则Imz = ．
1+i
【解析】 = = 1 i Imz = 1．
i
+i
5.【2020 静安高三一模】设、 ∈ ，若复数是纯虚数，则点 ( , )一定满（）．
+i
1 1
A. = B. = C. = D. =

【解析】、 ∈ ，
+i ( +i)( +i) + i+yi+i2 1+( + )i 1+( + )i 1 +
复数 = = = = = + i，
i ( i)( +i) 2 i2 2+1 2+1 2+1 2+1
+i 1 1 1
∵复数为纯虚数，则 2 = 0，即 = 1， = ．∴点 ( , )一定满足 = ．故选B． i +1
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6.【2020 杨浦高三一模】设 ∈ ， 2 + ( + 1)i为纯虚数（i为虚数单位） = ．
【解析】因为 = 2 + ( + 1)i = (a2 2a) + (a + 1)i为纯虚数，
2
所以需满足{ 2 = 0，解得 = 2或0．
+ 1 ≠ 0
7.【2020 浦东高三一模】复数满足 i = 1 + i（i为虚数单位），则| | = ．
1+i (1+i)i i 1
【解析】 ∵复数满足 i = 1 + i，∴ = = 2 = = 1 i | | = √1
2 + ( 1)2 = √2．故
i i 1
| | = √2．
1+i
8.【2020 徐汇高三一模】复数的共轭复数为．
3+4i
1+i (1+i)(3 4i) 3 4i+3i 4i2 7 i 7 1 7 1
【解析】复数 = = = = i，共轭复数为 + i．
3+4i (3+4i)(3 4i) 9 16i2 25 25 25 25 25
9.【2020 杨浦高三一模】设 1、 2为高中数学易错点汇总
文博数学思辨数学
写在前面的话
易错点汇总是博哥教学 8 年多来的一个全面沉淀，涵盖了高
中数学所有章节的所有易错点，为了更好的理解记忆，每道易错
点都有至少一道题目。
易错点特征之一是自己做完一对答案就能立即反应过来，哎
呦喂，自己怎么忽略了空集，忘记了斜率不存在等，如果花时间
你提前把博哥整理的易错点记住了，那做题的时候大概率就能想
到，能有效避免事后诸葛亮，要是关键考试就收益更大了。
对于艺术生或者数学学习吃力的同学，先记忆，很多时候学
起来吃力，跟不上就是脑袋里数学知识储备不够，博哥把自己 8
年多教学经验沉淀下来，你记住了，就有了博哥在易错点方面一
半的功力，非常划算的投入呢，试试哈！
对于擅长数学，学习起来相对轻松的同学，把易错点作为大
纲，然后刷题，完善易错点下的题目，最终形成属于自己的易错
题集，每个月拿出来瞅瞅，曾经的坑是否夷为平地，到了考试前
复习，看到自己整理的易错题，博哥都能想象，你会开心的睡不
着觉的，嘴里不自主的说“太好用了吧！”
第 1 页，共 102 页
集合易错点
易错点：对空集概念的理解错误
1.下列关于集合与空集之间的关系中，说法正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是任何非空集合的真子集．
2. 记，则下列四个命题中正确的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
易错点：对描述法的理解错误
3.已知集合，集合，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，集合，
则，故选：C．
4.下列各组集合中，表示同一集合的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
第 2 页，共 102 页
【答案】D
【解析】D 选项中．
5.若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，解得，所以．故选．
6.已知集合，，则 ________ ．
【答案】
【解析】解得，，，
又因为，，．
7.设，，则、两个集合的关
系是( )
A. B. C. D. 以上都不对
【答案】D
【解析】由于，则集合为数对组成的集合，
而集合的元素为实数，故、两个集合无任何关系．故答案为：D．
易错点：混淆了元素与集合、集合与集合间的关系
8. 下列四个关系中错误的是（）．
A. B. C. D.
【答案】AB
第 3 页，共 102 页
【解析】选项、选项：表示集合与集合的关系，表示元素与集合的关系，故错
误；选项：任意一个集合是它本身的子集，故正确；选项：空集是任何集合的子集，故
正确．故选．
易错点：忘记考虑二次项系数为 0 的情景
9.已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 ________ ．
【答案】或
【解析】时，即，，符合要求；
时，至多有一个解，，，
综上，的取值范围为或，
故答案为：或．
易错点：忘记考虑空集是任何集合的子集
10.若集合，，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或或
【答案】D
【解析】集合，，且，
，当时，，成立；
当时，，由，得或，
解得或．的值为或或．故选：D．
第 4 页，共 102 页
11.设集合，，若，则实
数的取值范围是 ________ ．
【答案】
【解析】当时，，解得；
当时，如图所示，得，
解得．
综上所述，实数的取值范围是．
12.已知集合，
，若，求实数的取值范围．
【解析】，
因为，所以或．
当时，，
即，是方程的两根，代入得，此时满足条件，
即符合题意．
当时，分两种情况：
若，则，解得．
若，则方程有两个相等的实数根，所以
，解得．
此时，符合题意．
综上所述，所求实数的取值范围是．
第 5 页，共 102 页
易错点：忘记验证集合的互异性
13.已知，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 无解
【答案】B
【解析】因为，所以或．当，即时，
满足题意；当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去．综上可得实数的
值为，故选 B．
14.设集合，，若，则实数的值为( )
A. B. 或 C. D.
【答案】C
【解析】依题意得：，解得 (舍去)或．故选：C.
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常用逻辑用语易错点
易错点：命题的否定时否定了条件
1.命题“对任意的， ”的否定是（）．
A. 不存在， B. 存在，
C. 存在， D. 对任意的，
【答案】C
【解析】由全称命题的否定可知，任意变存在，结论否定，易知 C 正确．
2.命题：“ ， ”的否定为（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】命题：“ ， ”为特称命题，其否定为全称命题，
为， . 故选 B.
易错点：充分必要条件的顺序弄反
3.设集合，集合，那么“ ”是“ ”
的 ________ 条件．(用“充分不必要，必要不充分，充要”填空)．
【答案】必要不充分
【解析】解：由不能推出，如时，故充分性不成立．根据可
得，由成立一定能推出，故必要性成立．
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故答案为必要不充分．
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4.设，则“ ”是“ ”的（）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为或，所以“ ”是
“ ”的充分不必要条件，故选 A．
5. 的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：的充要条件为．
对于 A，是的充要条件；
对于 B，是的充分不必要条件；
对于 C，是的既不充分也不必要条件；
对于 D，是的一个必要不充分条件．
故选：D．
易错点：充分必要条件求参时漏了临界值
6.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解： “ ”是“ ”的充分不必要条件，
当“ ”成立时，必有“ ”成立；
反之，当“ ”成立时，“ ”不一定成立
由此可得故选：C．
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7.设命题：，命题：；若是的充分条件，则实数的取值范围是
（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】命题“ ”是命题“ ”的充分不必要条件，
，命题：，命题：；
若是的充分条件，则，即．故选．
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不等式易错点
易错点：不等式的性质应用不当
1.若，，则一定有( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，，，
，．
2.若，，，为实数，下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】对于 A：若，，，均小于，则不正确，
对于 B：若，则，则，即，故 B 不正确，
对于 C：若，则，即，故 C 不正确，
对于 D：若，则，正确，
故选：D．
3.若实数，满足，，则的取值范围是 __________ ．
【答案】
【解析】由题意得，，，所以．
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易错点：忽视基本不等式的应用条件
4.下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．显然当，时，不等式不成立，故 A 错误；
B．，，，故 B 正确；
C．显然当，时，不等式不成立，故 C 错误；
D．显然当，时，不等式不成立，故 D 错误．
故选：B．
5.若、，且，则下列不等式中能恒成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、错误，令，，
B、错误，，时，不成立，C、错误，，时，不成立，
D、正确．
6.下列函数中，最小值为的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
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【解析】，当且仅当，即时，等号成立，
函数的最小值为．A、D 选项，“一正”不满足；B 选项，“三相等不满
足”．
7.已知，则的最大值是 __________ ．
【答案】-3
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ,
当且仅当，即时取等号，∴ 的最大值为．
故答案为：．
易错点：分式型不等式直接左右同乘分母
8.不等式的解集是 ________ ．
【答案】
【解析】不等式，移项得：，
即，可化为 , 解得：，
则原不等式的解集是．
故答案为：．
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易错点：分式型不等式未考虑分母不能为 0
9.不等式的解集是 ________ ．
【答案】
【解析】等价于且，
不等式的解集是：．故答案为：．
10.不等式的解集为 ________ ．
【答案】
【解析】由可得，
用穿根法求得它的解集为，故答案为：．
易错点：一元二次不等式未考虑二次项系数的正负
11.已知不等式的解集为，则不等式
的解集为 __________ ．
【答案】
【解析】由于不等式的解集为：，可知，
且，是方程的两根，
，，，．
不等式可化为：，
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由于，故，即，
解得．所以所求不等式的解集为：．
易错点：一元二次不等式未考虑二次项系数为 0 的情况
12.对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，不等式成立；
设，当时函数为二次函数，要恒小于，抛物线开口向下且
与轴没有交点，即且，
得到：，解得．综上得到．
故选：B．
13.已知的解集是，则实数的取值范围是（）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设函数，
由题设条件关于的不等式的解集为，
可得对任意的，都有，
又当时，函数是关于的抛物线，故抛物线必开口向下，且与轴无交点，
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故满足，解得．
当时，满足题意；
当时，不等式为，解得，不满足题意．
综上，实数的取值范围为．故选：．
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函数易错点
易错点：对同一函数的概念理解有误
1.下列各组函数中表示同一函数的是（）．
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】D
【解析】A 选项：定义域为，定义域为，故错误．B 选项：
定义域为，而定义域为，故错误．C 选项：定义域为
，定义域为，故错误．D 选项：和定义域相同，化简后为
同一函数，故正确．故选 D.
2.下列各组函数中是同一函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】A
【解析】对于 A，函数与的定义域相同，对
应关系也相同，是同一函数；对于 B，函数与
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的定义域不同，不是同一函数；对于 C，函数
与的对应关系不同，
不是同一函数；对于 D，函数与的定
义域不同，对应关系也不同，不是同一函数．故选：A．
易错点：求函数的定义域时条件考虑不充分
3.函数的定义域为（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意得：
，故选．
4. 函数的定义域是（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意得，解得，
所以函数的定义域为，故选．
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易错点：定义域为 R 与值域为 R 理解错位
5.函数的定义域为，则实数的取值范围是 ________ ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，恒成立．
①若，则不等式等价为，即，不满足条件；
②若，要使不等式恒成立，则，即，解得．
综上，，故答案为：．
6.若函数的定义域为，求实数的取值范围；
【解析】由对恒成立，得且
．故的取值范围为．
7.函数的值域为 .则实数的取值范围是( ) .
【答案】
【解析】令 ,则的值域包含
若 ,则 ,满足题意
若 ,则存在最大值,其值域不可能包含
若 ,则只需使与轴有交点,即 ,
综上所述,
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易错点：换元法求函数解析式时未考虑定义域
8.已知函数，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，则，
，，
故选：C．
9.已知，则函数 ________ ．
【答案】，
【解析】，
，又，
，．
易错点：对单调区间的概念理解不到位
10.判断函数的单调性．
【解析】令，，由简单函数的单调性可知
在上单调递增，在上单调递减，
由单调性的四则运算可知在上单调递增．
所以在上单调递增．
又在上单调递增，在上单调递减，
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由单调性的四则运算可知在上单调递增．
所以在上单调递增．
综上，在和上单调递增．
11.函数的单调递增区间是 __________ ．
【答案】，
【解析】，画出图象．
易知单调递减区间为，．易知单调递增区间为，，
易错点：判断函数的奇偶性时未考虑定义域
12.判断下列函数的奇偶性．(1) ．
【答案】非奇非偶函数
(2) ．
【答案】非奇非偶函数．
【解析】由定义域不关于原点对称，可知为非奇非偶函数．
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13.判断函数的奇偶性．
【解析】由题意知，，所以函数的定义域为
，关于原点对称，当时，，所以函数既是奇函数又是
偶函数．
易错点：求奇函数的解析式时未考虑 x=0 的情况
14.已知定义在上的函数是奇函数，当时，，求
的解析式．
【答案】
【解析】，注意如果奇函数在处有定义，一定
有．
易错点：分段函数未考虑间断点处的单调性
15.已知函数是上的增函数，则的取值范围是
________ ．
【答案】
【解析】要使函数在上为增函数，需有在上递增，在上递增，
且，
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所以有，解得，
故的取值范围为．故答案为．
易错点：根式型函数未考虑定义域
16.函数的单调增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得．
设，它的单调增区间是，
函数的单调增区间是．故选：C．
易错点：抽象函数未考虑定义域
17.已知函数是定义在上的减函数，且，则实数的取值
范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是定义在上的减函数，且，
，即，即，
即实数的取值范围是，故选：B．
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易错点：二次函数未考虑二次项系数为 0 的情况
18.若函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，满足题意．
当时，函数在上是单调递增的，
，解得．综上，实数的取值范围是．
易错点：混淆 1 个函数图象自对称和 2 个函数图象互对称
19.下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】方法一：过点，关于直线的对称点还是
．经验证，点在函数的图象上，故选．
方法二：设所求图象上一点的坐标为，
则点关于直线的对称点在函数的图象上，
则，故所求的函数为．故选．
20.已知函数，则（）．
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
【答案】C
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【解析】方法一：由题易知，的定义域为，
，
由复合函数的单调性知，函数在上单调递增，在
上单调递减，故错误；又．
．，故错误．
故选．
方法二：由题易知，的定义域为，
，
由，得；由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故
错误；
又，
，
所以，故错误．
故选．
方法三：函数，其中，则函数
是由，复合而成的，由复合函数的单调性可知，
时，单调递增，时，单调递减，故错误；
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的图象关于直线对称，即，则，即
的图象关于直线对称，故正确，错误．故选．
易错点：未理解零点存在定理的应用条件
21.若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且函数在
内仅有一个零点，则的符号是 ________ ．
(填“大于 ”“小于 ”“等于 ”或“不确定”)
【答案】不确定
【解析】根据题目条件知，当时，函数在区间
内至少有一个零点．
而当函数在区间内有一个不变号零点(如函数对应的一元二次
方程有二重根)时，，
因此的符号可能大于，也可能小于．故填不确定．
易错点：指对幂函数的概念掌握不清
22. 下列各函数中,是指数函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据指数函数的定义：形如且的函数叫做指数函数，结合选项
从而可判断选项 D 正确．故选：D．
23.若函数是指数函数，则 ________ ．
【答案】1
【解析】因为且，故．
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24.下列函数是对数函数的是( )
A. B. 且
C. D. 且
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义可得：只有为对数函数．故选：C．
25.函数是幂函数，则 __________ ．
【答案】或
【解析】∵函数为幂函数，
∴ ，则，
即，解得或．
当时，，
当时，，∴ 的值为或．
26.已知幂函数的图象关于轴对称，且在
上是减函数，则的值为( )
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】幂函数的图象关于轴对称，且在
上是减函数， ( 是偶数)，解得，故选 B．
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易错点：指对函数对参数的范围考虑不全
27.若函数是指数函数，则的取值范围是 ________ ．
【答案】
【解析】且，即．
28.对数式 loga 7 13 a 中实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】要使对数式 loga 7 13 a 有意义，
则，解得，故选：C．
易错点：对数型函数未考虑定义域
29.求函数的单调区间．
【解析】由知或．
令，则．
因为是关于的单调增函数，且当时，是关于的单调增函数，
所以是的单调增区间．
同理可得是的单调减区间．
30.已知函数在上为增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】设，由题意可得的对称轴为直线．
①当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，且在
上恒成立，
则，．
②当时，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，且
在上恒成立，
则，此时不存在．综上可得，．故选：D．
31.已知函数 ( 为常数)在区间上是减函数，则实数的取值范
围是 ________ ．
【答案】
【解析】设，则函数在定义域上单调递减，要使在区间
上是减函数，则在区间上为增函数．因为
，所以要使函数在区间
上为增函数，则，即．要使函数有意义，则在区间
上成立，所以只需当时，即可，解得．综上，
实数的取值范围是．
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32.若，求的值．
【解析】，
，，
，，解得或，
，．
三角函数易错点
易错点：求最值问题忽略正、余弦函数值域
1.对于函数，下列结论中正确的是( )
A. 有最大值无最小值 B. 有最小值无最大值
C. 有最大值且有最小值 D. 既无最大值也无最小值
【答案】B
【解析】函数，令在区间
上单调递减，即只有最小值而无最大值．
2.若，则函数的 ( )
A. 最小值为，无最大值 B. 最小值为，最大值为
C. 最小值为，无最大值 D. 最小值为，最大值为
【答案】B
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【解析】函数
，
又，当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为．
3.求函数的最大值及此时的值．
【解析】令，，
则，
而函数在上是增函数，时，取最大值．
即，，．
4.已知，则的最大值为 ________ ．
【答案】
【解析】，，
，，
，
时，的最大值为，
故答案为．
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易错点：三角函数单调性判断错误
5.函数，，则它的单调递增区间是 __________ ．
【答案】
【解析】，
单调递增区间，，
∴ ，，又∵ ，
∴ ．
6.函数的单调递减区间是 ________ ．
【答案】，
【解析】函数，
令，，解得，，
的单调递减区间为，．
故答案为：，．
7.函数的单调递减区间是 ________ ．
【答案】，
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【解析】函数
令，，
解得，．
即函数的单调递减区间是，．
易错点：求三角函数解析式带值时应该带极值点，带零点易出错
8.若函数的局部图象如图所示，则函数
的解析式为（）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，又由图象可得，∴ ，
∴ ，
∴ ，．∴ ，
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又∵ ，∴当时，，可得．
故选．
9.已知函数，且此函数的图象如图所示，则点
的坐标是（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图象可得函数的周期，
∴ ，得，将代入可得
，∴ （注意此点位于函数减区间上）
∴ ，，由可得，
∴点的坐标是．故选．
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易错点：三角函数图象变换的方向把握不准
10.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）．
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】∵ ，∴要得到，
只需将向左平移个单位长度．故选．
11.为得到函数的图象，只需将函数的图象（）．
A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位
【答案】A
【解析】方法一：将函数的图象向左平移个单位长度，可得
的图象，
故选．方法二：由得到，
只需原函数的，所以只需将图象向左平移个单位长度．
故选．
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12.已知函数，要得到的图象，只需将函数
的图象( )
A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位
【答案】D
【解析】将函数的图象向左平移个单位，
可得的图象，故选：D．
13.曲线，，则下面结论正确的是（）
A. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位
长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位
长度，得到曲线
C. 把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长
度，得到曲线
D. 把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位
长度，得到曲线
【答案】D
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【解析】，将各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，变为
，再向左平移个单位长度，变为
．故选．
易错点：不会利用所得条件缩角
14.若与是锐角，，，则 ________ ．
【答案】
【解析】为锐角，，，
，
当时，，不符合题意，所以舍去．
当时，，．
15.已知，，且，，则 ( )
A. B. 、、 C. D. 、
【答案】C
【解析】，
，
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根据，可得，，，
可得，，可得，故选 C．
16.已知，，均为锐角，且，，
，则 ________ ．
【答案】
【解析】，，
，
，
又，，
，
，，，
，．
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平面向量易错点
易错点：向量的相关概念（共线向量、相反向量、单位向量、零向量）模糊
1.有关向量概念，下列命题中正确的是（）．
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 模相等的两个平行向量是相等向量
C. 若和都是单位向量，则
D. 两个相等向量的模相等
【答案】D
【解析】∵只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故不正确；
模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故不正确；
两个单位向量模长相等，但不是相等向量，故不正确；
向量相等则模长相等，故正确．
故选．
2.下列命题：
①平行向量一定相等； ②不相等的向量一定不平行；
③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．
其中不正确命题的序号是（）
A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ②④
【答案】A
【解析】对于①，平行向量不一定相等，①错误；对于②，不相等的向量也可能平行，
如非零向量与不相等，但平行，∴②错误；
对于③，平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量，
如零向量与任何向量平行，但任何两个向量不一定是共线向量，∴③错误；
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对于④，相等向量一定是共线向量，∴④正确．
综上，其中不正确的命题是①②③．故选：．
3.下列说法正确的是( )
A. 共线向量一定在同一条直线上
B. 向量与不共线，则与都不是零向量
C. 向量，则
D. 两个共线的单位向量相等
【答案】B
【解析】A．共线向量的基线平行或重合，不一定在同一条直线上，故此项错误；
B．若与至少有一个是零向量，则与共线，故此项正确；
C．向量平行，基线可能重合，故此项错误；
D．共线的单位向量可能相等，也可能相反，故此项错误．故选 B．
4.下列说法正确的是( )
A. 如果两个向量的长度相等，那么这两个向量一定相等
B. 如果，那么
C. 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量
D. 在平行四边形中，
【答案】C
【解析】两个向量相等，不但长度相等，方向还要相同，故 A 错误；向量无法比较大小，只有向
量的模可以比较大小，故 B 错误；在平行四边形中，，故 D 错误，故
选 C．
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易错点：向量的运算法则与实数的运算法则混淆
5.关于向量，下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．，故 A 错误，B．，故 B 正确，
C．，故 C 正确，D．，故 D
正确，故选：A．
6.对于向量、、和实数，下列命题中真命题是( )
A. 若，则或
B. 若，则或
C. 若，则或
D. 若，则
【答案】B
【解析】对于 A，当时，，显然、中不存在亦可，故 A 错误；
对于 C，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件，故 C 错误；
对于 D，当且时，满足，
但不一定成立，故 D 错误．B 正确．
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7.已知向量、、，若且与不平行，则以下结论不正确的是
( )
A. B.
C. D.
【答案】B
易错点：向量共线的坐标运算未严格按公式计算
8.已知向量，则“ ”是“ ”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，可得：，解得，
“ ”是“ ”成立的充分不必要条件．故选：A．
易错点：根据夹角求参数时忽略了向量共线的情形
9.已知向量，，若向量，之间的夹角为钝角，则实数
的取值范围是 ________ ．
【答案】
【解析】，，
由，之间的夹角为钝角，得，且，不共线．
即有，解得：且．
实数的取值范围是．
故答案为：．
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10.已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
（）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】若，则，解得，
∵ 与的夹角为锐角，∴ ，
由，则，解得，
又∵ ，∴实数的取值范围为，故选：．
解三角形易错点
易错点：不能准确判断三角形解的个数
1.已知中，角、、的对边分别是、、，根据下列条件解三角形：
① ，，；② ，，；
③ ，，；④ ，，，
其中有唯一解的是（）．
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【答案】ABD
【解析】① ，又∵ ∴有唯一解；
② ，∴有唯一解；
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③ ，∴有两解；
④ ，∴有唯一解．
故选．
2.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，
．则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】根据题意，在中，，，则有，
又由，则，则，
则有，又由余弦定理可得：，
解得或；，
时，，舍去；
时，，满足题意，故选：B．
3. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，
，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
第 43 页，共 102 页
【解析】因为，所以，
又，所以，因为，，
所以，解得，
因为，所以，所以．故选：．
4.在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）．
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】D
【解析】由三角形全等的相关知识易知、中三角形是唯一的；
中，因为，，．所以由正弦定理
，又，所以，所
以角只有一解，不合题意；
中，因为，，，所以由正弦定理
，因为，所以
，所以有两解，符合题意．故选．
5.在中，角，，所对的边为，，，若，且边，
，则边 ( )
A. 或 B. C. 或 D.
第 44 页，共 102 页
【答案】A
【解析】因为，边，，
所以由余弦定理得，即，
解得边或．故选：A．
易错点：没有深刻理解三角公式，出现漏解情况
6.在中，“ ”是“ ”的（）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】在中，由知或，
即或，则推不出，
因此充分性不成立．由知，因此必要性成立．故选．
7.对于，下列说法中正确的是（）．
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则为直角三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，，，则的面积为或
【答案】CD
【解析】A 选项：若，则或，即或
，∴ 为等腰三角形或直角三角形，
第 45 页，共 102 页
故项错误；B 选项：若，
又∵ ，，∴ 或，
解得或，∴ 为钝角三角形或直角三角形，
故项错误；C 选项：在中，由正弦定理及得
，∴由余弦定理可得，
∴ ，∴ 为钝角三角形，故项正确；D 选项：令，
，由正弦定理得，
∵ ，∴ 或，∴ 或，∵ ，
当时，，
当时，，
∴ 的面积为或，故项正确．故选 CD.
8.在中，内角、、的对边分别为、、，已知
，则的形状是（）．
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由，可得，
由正弦定理，可得，
即，或，
第 46 页，共 102 页
当时，的形状是等腰三角形，
当，即时，，的形状是直角三
角形．故选：．
9.在中，内角、、的对边分别为、、，若
，则为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】方法一：，
，
．
由正弦定理得：，
，
，
，或，
即或，或，
为等腰三角形或直角三角形．
方法二：，
，
．
由正弦定理及余弦定理得：，
，
，
或，
第 47 页，共 102 页
为等腰三角形或直角三角形．方法三：找等腰三角形、直角三角形特殊三角形代入
验证．
易错点：求取值范围类问题不能挖掘题干中的隐藏条件，从而缩小范围
10.已知的三条边的边长分别为米、米、米，将三边都截掉米后，剩余的部
分组成一个钝角三角形，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得：截取后三角形的三边长为米，米，米，且长为
米所对的角为，为钝角，，
整理得：，解得：，
，，，且，
，则的取值范围为．故选：C．
11.若是钝角三角形的三边,则实数的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
【答案】B
【解析】是钝角三角形的三边, , 且此时,
, 是最长的边,设其对应的角为 , 要使三角形为钝角三角形,
则 , 即 ,
, 即 , 当时,不等式
恒成立. 即三角形恒为钝角三角形, 此时只需满足两边之和大于第三边即可, 即
成立, 解得 . 故选:B.
第 48 页，共 102 页
12.在锐角中，、、分别为、、所对的边，且
(1)确定的大小．
【答案】．
【解析】由，由正弦定理，得，
又，则，
或，为锐角三角形，
舍去．．
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】．
【解析】，
由正弦定理得：，
即，，
又，即，
第 49 页，共 102 页
，
是锐角三角形，
，
，
则周长的取值范围是．
立体几何易错点
易错点：对空间几何体概念理解不透
1.下列各组几何体中全是多面体的一组是( )
A. 三棱柱四棱台球圆锥
B. 三棱柱四棱台正方体圆台
C. 三棱柱四棱台正方体六棱锥
D. 圆锥圆台球半球
【答案】C
【解析】选项 A 中的球和圆锥是旋转体，所以 A 不符合题意；
B 中的圆台是旋转体，所以 B 不符合题意；
D 中的四个几何体全是旋转体，所以 D 不符合题意；
只有 C 中的四个几何体全符合多面体概念．故选：C．
2.一个正棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥不可能是( )
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 五棱锥 D. 六棱锥
【答案】D
【解析】D．若该棱锥为正六棱锥，则与直角三角形中斜边大于直角边矛盾，故该棱锥不可能是正
六棱锥．
第 50 页，共 102 页
3. 下列命题中正确的是( )
A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
D. 棱台的侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【解析】A 中，要用“平行于底面”的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才叫棱台，如果
截棱锥的平面不与底面平行，棱锥底面与截面之间的部分只能叫多面体，故 A 错误；
B 中，棱台还要求侧棱的延长线交于一点，故 B 错误；
C 中，正棱锥还要求底面是正多边形，故 C 错误；
D 中，由棱台的定义知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故 D 正确．
4.下列命题中正确的是（）．
A. 棱柱的侧棱一定相等，侧面是平行四边形
B. 有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形的多面体是棱柱
C. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D. 各条棱长均相等的直平行六面体是正方体
【答案】A
【解析】由题意，对于，根据棱柱的定义，可知棱柱的侧棱一定相等，侧面是平行四边形，从
而正确；
对于，若多面体是棱台，满足有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形，故不正确；
对于，将直四棱柱，平行的面向某一方向倾斜下，则有两个侧面是矩形，其他两个侧面是平行
四边形，故不正确；
对于，各条棱长均相等的直平行六面体，底面可能是菱形，故不正确．
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易错点：对空间点、线、面关系理解不清
5.在空间中，给出下列命题：
①若一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线共面；
②若三条直线两两平行，那么这三条直线共面；
③若直线与直线异面，直线与直线异面，那么直线与直线异面；
④若直线与直线垂直，直线与直线垂直，那么直线与直线平行．
其中正确的命题个数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】①若三条直线交于一点，则可以异面，错误．
② ，，或，错误．
③若直线与直线异面，直线与直线异面，则，平行、相交、异面均可能，错误．
④空间中垂直于同一直线的两条直线平行或异面，错误．
6.正方体上点、、、是其所在棱的中点，则直线与异面的图形是（）．
A. B.
C. D.
【答案】B
第 52 页，共 102 页
【解析】本题主要考查空间两条直线的位置关系．
．，故错误；
．与异面，故正确；
．与相交，故错误；
．与相交于正方体中心点，故错误．
故选．
易错点：平行垂直位置关系辨析
7.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是( )
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 异面或相交
【答案】D
【解析】若，则由和，故，与，为异面直线矛盾，
故直线和不平行．若直线和相交，则和确定平面．
当时，必满足，异面且，故直线，可能相交．
由，则过直线存在平面，使．
当直线与平面相交但不与直线相交时，，异面，
此时必满足，异面和，故和可能异面．故选．
8. 已知空间三条直线、、，若与异面，且与异面，则( )
A. 与异面 B. 与相交 C. 与平行 D. 与异面、相交、平行均有可能
【答案】D
【解析】如图，以正方体为例，
① 与异面，且与异面，而；
② 与异面，且与异面，而与相交；
③ 与异面，且与异面，而与异面；
第 53 页，共 102 页
与异面、相交、平行均有可能．故选 D．
9.已知平面与平面相交，直线，则( )
A. 内必存在直线与平行，且存在直线与垂直
B. 内不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直
C. 内不一定存在直线与平行，但必存在直线与垂直
D. 内必存在直线与平行，但不一定存在直线与垂直
【答案】C
【解析】若内存在直线与平行，由知，从而，但与相交却
不一定垂直，矛盾．又设，由知，从而内必有直线与垂直．
10.对于两条不同的直线，和两个不同的平面，，以下结论正确的是（）．
A. 若，，，是异面直线，则，相交
B. 若，，，则
C. 若，，，共面于，则
D. 若，，，不平行，则，为异面直线
【答案】C
【解析】A 选项：若，，，是异面直线，则，相交或平行，故
错误；B 选项：若，，则，由，则或，故错
第 54 页，共 102 页
误；C 选项：若，，，共面于，则，故正确；D 选项：
若，，，不平行，则，为异面直线或相交，故错误．故选 C.
11.在空间中，给出下列四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
其中正确命题的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
【答案】D
【解析】①平行于同一个平面的两条直线，可以平行也可以相交也可以异面；所以①不正确；
②垂直于同一个平面的两个平面，可能平行也可能相交；所以②不正确；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；正确；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．满足直线与平面垂直的性质定理，正确．
故选：D．
12. 已知两个平面垂直，下列命题：
一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】考查正方体中互相垂直的两个平面：，．
对于：一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线，如图中与
不垂直；
对于：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线，这一定是正确的，如图中，
第 55 页，共 102 页
已知直线，在平面中，所有与平行的直线都与它垂直；
对于：一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面，如图中不垂直于平面
；
对于：过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线不一定垂直于另一个平面，如图中
，它垂直于，但不垂直于平面．
故选：C．
易错点：对内切球、外接球题目理解不透彻
13.在半径为的球内有一个底面边长为的内接正三棱锥，求此正三
棱锥的体积．
【答案】正三棱锥的体积为或．
【解析】①如图甲所示的情形，显然．
第 56 页，共 102 页
设为的中心，则，，三点在同一条直线上．
∵ ，
∴ ，
∴正三棱锥的高．
又，
∴ ．
②对于如图乙所示的情形，
同理，可得正三棱锥的高，，
∴ ．
综上，可知正三棱锥的体积为或．
第 57 页，共 102 页
空间向量易错点
易错点：坐标运算夹角问题，无法判断是一解还是两解
1.若向量，，且与的夹角为，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】，，，与的夹角为，
，化为，解得．
故选：C．
2.若向量，，且与的夹角余弦值为，则等于
( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】由题意知，向量，，且与的夹角余弦值为
，故有，
解得：或．故选：C．
第 58 页，共 102 页
3.若向量，，且与的夹角的余弦值为，则
（）．
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】，
，．
，
则，即，则方程整理得，
解得或，，，故选：．
易错点：对空间向量共线理解不透彻：共线包括正向和反向
4.若，均为非零空间向量，则是与共线的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，即与共线，
反之不成立，因为当与共线且反向时，．
易错点：坐标运算求取值范围没有去掉共线的情况
5.若，，且，的夹角为锐角，则实数的取值
范围为（）．
A. B. C. D.
【答案】B
第 59 页，共 102 页
【解析】∵ ，，
设向量与的夹角为，
，
，
，
∴ ，
∵ 与的夹角为锐角，∴ ，
则，即，
解得且，∴实数的取值范围为．故选．
6.已知，，且与的夹角为钝角，则的取
值范围是 ________ ．
【答案】且
【解析】，，
则，若，则，
即有，，，，
由于与的夹角为钝角，则，
即为，解得，则有且．
故答案为：且．
第 60 页，共 102 页
易错点：异面直线所成角忽略 α∈(0,π/2]
7.如图，在底面为正方形的四棱锥中，
，点为棱的中点，则异面直线与所
成角的余弦值为 ________ ．
【答案】
【解析】如图，连接，，并交于点，连接，根据题意知，底面
，
又底面为正方形，，
，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐
标系，如下图所示：
第 61 页，共 102 页
根据条件可确定以下几点坐标：，，
，，，
，，
，，，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：．
8.如图所示，在三棱锥中，，且
，，分别是，的中点，则异面直线
与所成角的余弦值为 ________ ．
第 62 页，共 102 页
【答案】
【解析】在三棱锥中，，且
，
，分别是，的中点．
以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则．
异面直线与所成角的余弦值为．故答案为：．
第 63 页，共 102 页
易错点：对线面角公式记忆不清
9.若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角为，则下列关
系式成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】若直线与平面所成的角为，直线的方向向量与该平面的法向量所成
的角为，则或，，
．故选 D．
10.正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则
与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中
点，如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直
线为轴，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
第 64 页，共 102 页
则，取，得，
设与平面所成角为，
则，
与平面所成角的正弦值为．故选：．
第 65 页，共 102 页
易错点：无法辨别二面角是锐角还是钝角
11.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，
．是底面圆的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面．
【解析】设，由题设可得，，，
，
因此，从而，
又，故，又，
所以平面．
（2）求二面角的余弦值．
【答案】．
【解析】以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空
间直角坐标系．
第 66 页，共 102 页
由题设可得，，，，
所以，，
设是平面的法向量，则
，，
可取，
由（）知是平面的一个法向量，记，
则，所以二面角的余弦值为．
第 67 页，共 102 页
12.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面
，分别为，中点，．
（1）求证：平面；
【解析】如图，连接．
因为底面是正方形，
所以与互相平分．又因为是中点，
所以是中点．
在中，是中点，是中点，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）求二面角的余弦值；
【答案】二面角的余弦值为．
第 68 页，共 102 页
【解析】取中点．在中，因为，所以．
因为平面底面，
且平面平面，
所以平面．
因为平面，
所以．又因为是中点，
所以．
如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．
因为，所以，则，，
，，，，，
．
于是，，．
因为平面，所以是平面的一个法向量．
设平面的一个法向量是．因为，
第 69 页，共 102 页
所以，即．
令，则．
所以．
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
第 70 页，共 102 页
直线与圆易错点
易错点：倾斜角与斜率互化时，不知道取中间还是取两边
1.若直线的斜率满足，则直线的倾斜角的取值范围是 ________ ．
【答案】
【解析】由，若为锐角，则；
若为钝角，则，当时，．
直线的倾斜角的取值范围是．
2.已知两点，，直线过点，且与线段相交，
则直线的斜率的取值范围是( )
A. 或 B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，只需求出直线，的斜率.
由于，．
当直线由逆时针旋转到位置时，倾斜角越来越大，这时或．
第 71 页，共 102 页
易错点：平行线距离未统一 A、B
3.平行直线与间的距离为，则 ________ ．
【答案】10
【解析】由两直线平行，得，两平行线间的距离，
．
4.若两条平行直线与间的距离是，则
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，即直线，
所以两直线之间的距离，解得，所以，
故选 C．
易错点：两直线平行求参时忽略了去掉重合的情况
第 72 页，共 102 页
5.已知直线与直线平行，则实数
的值为（）．
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】因为两条直线，，与
平行．所以，解得．故选：．
6.已知直线与直线平行，则的值为（）．
A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】时，两直线分别为，，互相平行．
时，，解得或．
时，两直线分别为，，平行．
时，两直线分别为，，重合．
综上所述，或．
易错点：忽略斜率不存在的情况而致错
7.已知直线与直线垂直，则实数的值是（）．
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】当时，两条直线分别为，，此时两条直线显然垂直；
当时，两条直线的斜率分别为，，所以，解得
．故选．
第 73 页，共 102 页
易错点：分不清“截距”和“距离”
8.在轴和轴上的截距分别为，的直线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由直线的截距式方程得，即，故选：C．
9.已知直线和直线的交点为，分别求满足下列条件的直线
方程．
（1）直线过点且到点和点的距离相等；
【答案】或．
【解析】由，解得交点坐标为，
因为直线过点且到点和点的距离相等，
所以直线平行于直线或经过的中点．
由已知得，的中点，且
直线的方程为或，即或．
（解法二：设直线的方程为，利用点到直线距离公式）
（2）直线过点且在两坐标轴上的截距之和为．
【答案】或．
【解析】设直线的方程为，令，得，令，得
，依题意，整理得，解得或
第 74 页，共 102 页
．所以直线的方程为或．即
或．
易错点：已知 x 轴截距与 y 轴截距关系求直线方程，忽略过原点的情况
10.已知，，经过线段的中点，且在两坐标轴上的截距相等的
直线方程为 ________ ．
【答案】或
【解析】点，的中点的坐标为．
当直线过原点时，方程为，即；
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把中点的坐标代入直线的方程，得，
故所求直线的方程是．
综上，所求的直线方程为或．
11.过点，且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】当直线过原点时满足题意，所求方程为；
当直线不过原点时，可设其截距式为，由该直线过点，解得，
对应的方程为．故选 B．
第 75 页，共 102 页
易错点：求取值范围时忽视圆的一般式方程成立条件
12.已知圆：，过点可作圆的两条切线，则实数
的取值范围是 ________ ．
【答案】
【解析】由表示圆，得，解得
，过点可作圆：的
两条切线，在圆的外部，
则，即，解得或．
实数的取值范围是．
故答案为：．
13.若过点可作圆：的两条切线，则实数的
取值范围为 ________ ．
【答案】
【解析】圆心为，半径，则，由于过点可作圆的两条切
线，所以点在圆外，即，解得
．
第 76 页，共 102 页
易错点：忽略定义域而致错（把半圆当成是圆）
14.直线：与曲线：有两个公共点，则的取值范围是
________ ．
【答案】
【解析】如图所示，的图象是一个以原点为圆心，为半径的半圆，
是一条斜率为的直线，要使直线与曲线有两个交点，过和
作直线，直线必在左上方的半圆内平移，直到直线与半圆相切，则可求出两个
临界位置的值．当直线与重合时，；当直线与半圆相切时，．所
以的取值范围是．
15.直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是( )
A. B. 或 C. D. 或
【答案】B
【解析】曲线即，表示一个半圆(单位圆位于轴及轴
右侧的部分)．
如图，、、，
当直线经过点时，，求得；
当直线经过点、点时，，，求得；
第 77 页，共 102 页
当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得
，或 (舍去)，
故所求的实数的取值范围为或，
故选：B．
圆锥曲线易错点
易错点：忽视椭圆定义中的限制条件
1.已知点，，动点满足，则动点
的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆
【答案】C
【解析】，动点的轨迹是一条线段．故选 C．
第 78 页，共 102 页
2.若动点满足：，则动点的轨迹是
（）．
A. 圆 B. 椭圆 C. 线段 D. 直线
【答案】C
【解析】由已知得，动点到点，的距离之和为，
且，所以动点的轨迹为线段．故选．
3.下列说法正确的是( )
A. 已知，，到两点，的距离之和大于的点的轨迹是椭圆
B. 已知，，到两点，的距离之和等于的点的轨迹是椭圆
C. 到点，的距离之和等于从点到，的距离之和的点的
轨迹是椭圆
D. 到点，的距离相等的点的轨迹是椭圆
【答案】C
【解析】椭圆是指平面内到两定点，的距离之和为定值，且的点的轨
迹，在 A 中，到两点，的距离之和大于，虽然满足，但距离之和
不是定值，故 A 不是椭圆；
在 B 中，到两点，的距离之和等于，不满足，故 B 不是椭圆；
在 C 中，点到，的距离之和，
故 C 是椭圆；
在 D 中，到点，的距离相等的点的轨迹不是椭圆，故 D 错误．
故选：C．
第 79 页，共 102 页
易错点：忽视双曲线定义中的限制条件
4.已知、，，则动点的轨迹是( )
A. 双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 一条射线 D. 双曲线右边一支
【答案】C
【解析】因为，且，不符合双曲线的定义（定义要求
），所以动点的轨迹是一条射线．故选 C．
5.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足
，则点的轨迹是（）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支
【答案】D
【解析】因为两点间的距离，动点满足，所以
满足条件的点的轨迹是双曲线中离较近的一支，即双曲线的右支.
故选：D．
6. 已知，，，当或时，点的轨迹
为( )
A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和两条直线 C. 双曲线的一支和一条直线
D. 双曲线的一支和一条射线
【答案】D
【解析】当时，根据双曲线的定义可推断出点的轨迹是双曲线，可
推断出其轨迹是双曲线的一支．
当时，方程，可知其轨迹与轴重合，舍去在轴负半轴上的一段，又因为
，说明，所以应该是起点为，与轴重合向
轴正方向延伸的射线，
故选：D．
第 80 页，共 102 页
易错点：求椭圆标准方程时未考虑焦点所在坐标轴
7.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（）．
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
【答案】C
【解析】由题意可得，解得．
当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为；
当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为．故选．
8.若方程表示椭圆，则的取值范围是（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由方程表示椭圆知，解得且．
故选．
易错点：求抛物线标准方程时未考虑焦点所在坐标轴
9.经过点的抛物线的标准方程是（）．
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
第 81 页，共 102 页
【解析】由于点在第四象限，故抛物线可能开口向右，
也可能开口向下，故可设抛物线的标准方程为或，
把点代入方程可得，或，
故抛物线的标准方程为或．故选．
易错点：误判直线与双曲线的位置关系
10.已知双曲线：的焦距为，且过点．
若直线：与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值．
【解析】由，得．
由题意得，
，．
当直线与双曲线的渐近线平行，即时，
直线与双曲线只有一个公共点时，或．
11.若对任意，直线与双曲线总有公共点，则的取
值范围为 ________ ．
【答案】
【解析】，直线过定点，直线与双曲线总有公共点，
点在双曲线内或双曲线上，，解得，即的取值范围为
．
第 82 页，共 102 页
易错点：误判直线与抛物线的位置关系
12.过点与抛物线只有一个公共点的直线条数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点与抛物线只有一个公共点的直线可以是抛物
线的切线也可以是与抛物线对称轴( 轴)平行的直线，满足题意的直线共有条．
易错点：直线与双曲线的相交弦情况有遗漏
13. 过双曲线的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为，这样的直线有
________ 条．
【答案】1
【解析】依题意得右焦点，所以过点且垂直于轴的直线与双曲线
的交点的纵坐标为，所以此时弦长为．
当直线不垂直于轴时，若直线与双曲线的一支有两个交点，
则弦长一定比长；
因为双曲线的两顶点间的距离为，即左右两支上的点的最短距离是，
所以如果直线与双曲线的两支相交，弦长不可能为，
故满足条件的直线只有一条．
14.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于，两点，若使得的
直线恰有条，则 ________ ．
【答案】4
【解析】使得的直线恰有条，根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，
此时，的横坐标为，代入双曲线方程，可得，故．
第 83 页，共 102 页
双曲线的两个顶点之间的距离是，小于，
过双曲线的焦点一定有两条斜率不为的直线使得交点之间的距离等于．
综上所知，时，有三条直线满足题意．．
数列易错点
易错点：由 Sn 求 an 时忽略对“n=1”检验
1.设数列的前项和为，，对任意，满足，
则数列的通项公式为 ________ ．
【答案】
【解析】对任意，满足，
时，，相减可得：，化为：
．
时，，解得，．
数列从第二项起为等比数列，公比为，首项为．
时，．．
故答案为：．
第 84 页，共 102 页
2.设数列的前项和为，已知，，求．
【答案】
【解析】，，所以，，当
时，，得出，综上得
．
易错点：未验证等比数列的项不能为零
3. 是，，成等比数列的 ________ 条件．
【答案】必要非充分
【解析】若、、成等比数列，根据等比数列的性质可得：；
若，满足，但、、显然不成等比数列，
则“ ”是“ 、、成等比数列”的必要非充分条件
故答案为：必要非充分．
4.若成等比数列，则 ________ ．
【答案】-4
【解析】因为成等比数列，
所以，化简得，解得或，
当时，，不成立，舍去，
所以实数的值是．
故答案为：．
第 85 页，共 102 页
易错点：忽略等比数列隔项同号
5.已知五个实数，，，，成等比数列，那么等于（）．
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】∵ ，，，，成等比数列，设公比为，
，∴ ，
∴ ，∴ ，∴
，
若，则，∴ ，
若，则，∴ ．
故选．
易错点：用错了等差、等比数列的相关公式与性质
6.记等差数列的前项和为，若，，则（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由等差数列前项和的性质知，，，成等差数列，
∴ ，即，解得．
故选．
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7.在等比数列中，前项和记为，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据等比数列前项和性质，有，，成等比，因为
，，所以，可得，所以选．
易错点：错位相减法求和时项数处理不当
8.已知是递增的等差数列，，是方程的根．
求数列的前项和．
【答案】．
【解析】，．
∵ ①．
②．
① ②得
．
则
．
第 87 页，共 102 页
所以数列的前项和为，．
9.已知公差不为的等差数列的前项的和为，且，，成等比数列．设
，求数列的前项的和．
【答案】．
【解析】由（）可知：，
，
，
所以，
，
从而，
∴数列的前项的和．
易错点：等差数列 Sn 的最值漏解
10.设为等差数列，，公差，则使前项和取得最大值时正整
数 ( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
，解得或 (舍去)
则，故使前项和取最大值的正整数是或．
故选：B．
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易错点：裂项时对抵消项的规律不清，导致多项或少项
11.数列的前项和为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】数列的通项，
数列的前项和为：
．故选：．
12.数列的通项公式是，它的前项和为（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故，．
第 89 页，共 102 页
易错点：数列求和讨论时漏情况
13.求和．
【解析】当时，；当时，；
其它情况时，为首项和公比均为的等比数列的前项和，，
时也满足此式，故．
易错点：上海数列极限与归纳法
14.已知等比数列的首项为，公比为，且有，则首
项的取值范围为 ________ ．
【答案】
【解析】，
或．当时，，解得
；当时，，
，或．综上所述，首项的取值范围为
．
第 90 页，共 102 页
15.设是公比为的等比数列的前项和，集合
，则集合的子集个数有 ________ 个．
【答案】8
【解析】当时，有，，
．当时，
．
当时，．综上，
，集合的子集共有个．
16.设，则比多了( )项．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
，
比多了项．
第 91 页，共 102 页
17.若，
则 ________ ．
【答案】
【解析】，
，
，
．
18.用数学归纳法证明
时，
由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，左边
；
当时，左边
，
等式左边应添加的式子是．
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导数易错点
易错点：在某点处的切线与过某点的切线混淆
1.函数的图象在点处的切线方程为（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数可知：
，，
∴ ，
∴函数在点处的切线斜率为，
∴切线方程为，即．故选．
2.已知曲线，则过点的切线的斜率是（）．
A. B. 或 C. D.
【答案】B
【解析】∵ ，设切点坐标为，则切线方程为，
∵切线过点，∴ ，∴ 或．
则切线斜率为或．故选：．
第 93 页，共 102 页
易错点：导数为 0 与有极值的逻辑关系不正确
3.函数在处导数存在，若：，：是的极值
点，则（）．
A. 是的充分必要条件 B. 是的充分条件，但不是的必要条件
C. 是的必要条件，但不是的充分条件 D. 既不是的充分条件，也不是的必要条件
【答案】C
【解析】函数在处导数存在，
由是的极值点．
反之不成立，例如函数，则，，但是不是函
数的极值点．是的必要不充分条件．故选．
4.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数
在内的极大值点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】B【解析】导函数在内的图象如图所示，
可得函数在内的极大值点为，，共有个．故选：B．
第 94 页，共 102 页
易错点：根据极值求参数忽视验证
5.已知函数在处有极值，则等于( )．
A. 或 B. C. D. 或
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ．
∵ ，，
∴ ，由①得，代入②化简，
得，解得或，
∴ 或，
当时，，
∴ 在上单调递增，∴ 在处不存在极值；
当时，，
第 95 页，共 102 页
∴当时，；
当时，，符合题意，∴
∴ ，．
故选．
易错点：用导数求函数单调性时未考虑定义域
6.已知函数，，．
求函数的单调区间．
【答案】当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，
函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
【解析】由题意知函数的定义域为，
因为，，
所以，
①当时，在区间上恒成立，
所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
②当时，
令，得，
令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
易错点：涉及多个单调区间时单调区间写法错误
7.设函数，求函数的单调区间．
第 96 页，共 102 页
【答案】函数的递减区间为 ,递增区间为 , ．
【解析】 ,
．
令 ,得 , ．
当变化时, 的变化如下表：
由表可知，函数的递减区间为 ,递增区间为，．
概论统计易错点
易错点：互斥事件与对立事件关系模糊
1.2020 年起，山东省高考实行新方案．新高考规定：语文、数学、英语是必考科目，考生还需从
思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个等级考试科目中选取个作为选考科目．某考生
已经确定物理作为自己的选考科目，然后只需从剩下的个等级考试科目中再选择个组成自己
的选考方案，则该考生“选择思想政治，化学”和“选择生物、地理”为（）．
A. 相互独立事件 B. 对立事件 C. 不是互斥事件 D. 互斥事件但不是对立事件
【答案】D
【解析】由题意得，考生选择思想政治、化学就不可能选择生物、地理，
∴该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件，
又∵这两个事件可能两个都不发生，例如，该考生选择化学、生物，
∴该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不是对立事件．故选．
第 97 页，共 102 页
2.投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是．设事件
，，，则下列结论中正确的是（）．
A. ，为对立事件
B. ，为对立事件
C. ，为互斥事件，但不是对立事件
D. ，为互斥事件，但不是对立事件
【答案】C
【解析】∵投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是．
事件，，，
当掷出的点数为时，，同时发生，故，不是互斥事件，
故，也不是对立事件；即，错误；
，不可能同时发生，故，为互斥事件，
但，故，不是对立事件，故错误，正确，
故选．
易错点：混淆项的系数与二项式的系数
3.在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是，则展开式中各项系数的和
为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意得所有二项式系数的和为，解得．因此，该展开式中的各项系
数的和等于．
第 98 页，共 102 页
4.在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于
________ ．
【答案】112
【解析】由题意得，解得，则二项展开式的通项为
，令，得，
所以常数项为．
5. 的展开式中的系数为（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由
，
令，则，所以．
易错点：二项式通项公式与项数的关系不清
6. 展开式中系数最大的项是（）
A. 第项 B. 第项 C. 第项、第项 D. 第项、第项
【答案】C
【解析】【命题立意】本题考查二项式的通项公式，难度中等.
【解题思路】易知展开式中奇数项系数为正，偶数项系数为负，故排除 B，D；因为
展开式的通项公式为
第 99 页，共 102 页
，第项系数为
，第项系数为，两项系数相等，故选 C
7.已知的展开式的常数项为第项，则常数项为 ________ ．
【答案】
【解析】，
由，得，常数项为：．
易错点：分组问题多考虑了全排列
8.将本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？
（1）分成堆，每堆本．
【解析】是分堆的均匀问题：方法数为．
（2）分给甲、乙、丙人，每人本．
【解析】是指定人应得数量的均匀问题：方法数为．
9.高三年级有个班级，分派位数学老师任教，每个教师教两个班，则不同的分派方法有( )
种
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，对于位老师按先后分步进行讨论：
第一位老师，从个班级中任选个，安排其任教，有种分派方法；
第二位老师，从剩下的个班级中任选个，安排其任教，有种分派方法；
第 100 页，共 102 页
第三位老师，从剩下的个班级中任选个，安排其任教，有种分派方法；
第四位老师，还剩个班级，安排其任教，有种分派方法．
故不同的分派方法有种．故选：B．
第 101 页，共 102 页高中立体几何解题技巧
高中立体几何解题技巧
　　高中立体几何解题技巧，各位同学知道怎么简单的解答立体几何的题目吗看看下面吧!
　　高考立体几何解题技巧
　　1平行、垂直位置关系的论证的策略:
　　(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
　　(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
　　(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。
　　2空间距离的计算方法与技巧:
　　(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
　　(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。
　　在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。
　　(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。
　　求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
　　3三视图问题
　　(1)熟悉常见几何体的三视图，如锥体、柱体、台体、球体的三视图。
　　(2)组合体的分解。
　　由规则几何体截出一部分的几何体的分析。
　　(3)熟记一些常用的小结论，诸如：正四面体的体积公式是______;面积射影公式_____。
　　弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。
　　(4)平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。
　　(5)与球有关的题型，只能应用“老方法”，求出球的半径即可。
　　(6)立体几何读题：
　　1.弄清楚图形是什么几何体，规则的、不规则的、组合体等。
　　2.弄清楚几何体结构特征。
　　面面、线面、线线之间有哪些关系(平行、垂直、相等)。
　　3.重点留意有哪些面面垂直、线面垂直，线线平行、线面平行等。
　　(7)解题程序划分为四个过程:
　　①弄清问题。
　　也就是明白“求证题”的已知是什么条件是什么未知是什么结论是什么也就是我们常说的审题。
　　②拟定计划。
　　找出已知与未知的直接或者间接的联系。
　　在弄清题意的基础上,从中捕捉有用的信息,并及时提取记忆网络中的有关信息,再将两组信息资源作出合乎逻辑的有效组合,从而构思出一个成功的计划。
　　即是我们常说的思考。
　　③执行计划。
　　以简明、准确、有序的数学语言和数学符号将解题思路表述出来,同时验证解答的合理性。
　　即我们所说的解答。
　　④回顾。
　　对所得的结论进行验证,对解题方法进行总结。
　　高一数学立体几何解题技巧口诀
　　点线面三位一体，柱锥台球为代表。
　　距离都从点出发，角度皆为线线成。
　　垂直平行是重点，证明须弄清概念。
　　线线线面和面面、三对之间循环现。
　　方程思想整体求，化归意识动割补。
　　计算之前须证明，画好移出的图形。
　　立体几何辅助线，常用垂线和平面。
　　射影概念很重要，对于解题最关键。
　　异面直线二面角，体积射影公式活。
　　公理性质三垂线，解决问题一大片。
　　高中立体几何解题技巧
　　第一，熟悉基本的概念，公理，定理，以及各种推论，最好多做不同类型的练习题，加深映象和理解，了解各定理和推论的各种变式以及各自的应用范围。
　　第二，几何是一门以一些已知关系求取一些未知关系之间的关系的`学科，所以作辅助线就显得很重要，主要是直观，因为有时候关系多了记不住，就要把他标记下来，所以要多多思考怎样作辅助，需要什么辅助线才能达到目的。
　　第三，立体几何里面有一些特殊的关系式，比如正弦定理，余弦定理，海伦公式，二面角的四角公式等等，这些都是被证明了的恒等式，平时注意记忆和运用。
　　第四，经常思考，想明白各种定理、推论之间的关系，各种变化的由来以及用处，真正融会贯通，自然信手拈来。
　　说到底，现在学习的都是前人证明了的各种逻辑关系式，我们只不过学习并运用而也，就是要靠记忆，理解，运用了，基础最重要，所有复杂的东西都是由最基本的东西组成的，最基本的搞清楚了，复杂的东西自然就会了
　　高中立体几何题型解题方法
　　知识整合
　　1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
　　2. 判定两个平面平行的方法：
　　(1)根据定义--证明两平面没有公共点;
　　(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;
　　(3)证明两平面同垂直于一条直线。
　　3.两个平面平行的主要性质：
　　⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。
　　⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
　　⑶两个平面平行的性质定理：”如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行“。
　　⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
　　⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。
　　⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
　　以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为”性质定理“，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b3、三角形中的基本关系：
4、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
5、正弦定理的变形公式：
①化角为边：，，；
②化边为角：，，；
③；④．
6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)
7、余弦定理：在中，有等，变形：等，
8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角）
9、三角形面积公式：．=2R2sinAsinBsinC===
10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设、、是的角、、的对边，则：
①若，则；②若，则；③若，则．
11、三角形的四心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）
内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）
12同角的三角函数之间的关系
（１）平方关系：ｓｉｎ α＋ｃｏｓ α＝１（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１（３）商的关系：
特殊角的三角函数值
　　　　三角函数值
0 1
1 0
0 １不存在
三角函数诱导公式：“ （）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（），k∈Z的三角函数值，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;
当k为偶数时，函数名不变。然后符号与 ‘将α看成锐角时原三角函数值的正负号’一致。
三角函数的图像与性质：
定义域 R R
值域 R
周期性
奇偶性奇函数偶函数奇函数
单调性上为增函数；上为减函数（）；上为增函数上为减函数（）上为增函数（）
有关函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；
其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。
函数y＝sin(ωx＋)的图象与函数y＝sinx的图象的关系:
由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)
先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。（先相位变换，再周期变换）
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。（先周期变换，再相位变换）
对称轴与对称中心：
的对称轴为，对称中心为；
的对称轴为，对称中心为；
y=tan x 图像的对称中心是（，0），无对称轴。
★诱导公式★(以下k∈Z)
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数 ( http: / / baike. / view / 91555.htm" \t "_blank )的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα 　tan（2kπ＋α）＝tanα
公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα
公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα
公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα　　cos（π－α）＝－cosα　　tan（π－α）＝－tanα
公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα　　cos（2π－α）＝cosα　　tan（2π－α）＝－tanα
公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα　　cos（π/2＋α）＝－sinα　　tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα　sin（π/2－α）＝cosα　 cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα　　cot（π/2－α）＝tanα 　　sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα　　tan（3π/2＋α）＝－cotα　　cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα　　cos（3π/2－α）＝－sinα　tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系式
商的关系：sinα/cosα＝tanα
平方 ( http: / / baike. / view / 33276.htm" \t "_blank )关系：sin2α＋cos2α＝1
两角和差公式两角和与差的三角函数公式 ( http: / / baike. / view / 959840.htm" \t "_blank )
　sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
　cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ　　cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)
tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)
二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]
半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂 ( http: / / baike. / view / 768500.htm" \t "_blank )扩角公式）
sin2(α/2)＝(1－cosα)／2　　cos2(α/2)＝(1＋cosα)／2
tan2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)
另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
万能公式
　　万能公式
　　sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)]
　　cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)]
　　tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)]
三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin3α
cos3α＝4cos3α－3cosα
tan3α＝（3tanα－tan3α）／（1－3tan2α）
和差化积公式三角函数的和差化积 ( http: / / baike. / view / 383748.htm" \t "_blank )公式
sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
积化和差公式三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]/2
cosα ·sinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]/2
cosα ·cosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]/2
sinα ·sinβ＝—[cos(α＋β)－cos(α－β)]/2三角函数与平面向量、解三角形综合题
题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合
【例1】　已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
题型二.　三角函数与平面向量垂直的综合
【例2】已知向量＝(3sinα,cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且⊥．
（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(＋)的值．
题型三.　三角函数与平面向量的模的综合
【例3】　已知向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)，|－|＝.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.
题型四　三角函数与平面向量数量积的综合
【例3】设函数f(x)＝·.其中向量＝(m，cosx)，＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.
题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例5】（山东卷）在中，角的对边分别为，．
（1）求；（2）若，且，求．
题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
【例6】，其中向量，，，且函数的图象经过点．
（Ⅰ）求实数的值；? （Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合。
题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例7】设向量，函数.
（Ⅰ）求函数的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式成立的的取值集.
题型八：三角函数平移与向量平移的综合
【例8】把函数y＝sin2x的图象按向量＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，||＝)的图象，则和B的值依次为（）
A．，－3 B．，3 C．，－3 D．－，3
题型九：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值
【例9】已知，为的最小正周期，，求的值．
题型十：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例10】如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。(1)变换函数名
对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割
化弦”，“切割互化"”，“正余互化"等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就
是变换函数名法.它实质上是“归一"思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解
题途径。
【例1】已知e同时满足asec26-bcos6=2a和bcos26-asec6=2b,且a、b均不为
0,求a、b的关系。
asec26-bcos日=2a
①
解析已知(bcog2日-acc日=2b@
显然有：cos6≠0
由①×cos20+2×cos0,得：2acos20+2bcos9=0
即有：acos0+b=0
又a≠0
所以，cos9=-b/a
3
将③代入①得：a(-a/b)2-b(-b/a)=2a
即a4+b=2a2b2
.(a2-b2)2=0即a=b
点评：本例是“化弦"方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系
式。
(2)变换角的形式
对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原
角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变.它应用广泛，方式
灵活，如c可变为(o+B)-B;2c可变为(c+B)+(c-B);2c-B可变为(a-B)+
c;c/2可看作ct/4的倍角；(45°+o)可看成(90°+2o)的半角等等。
【例2】求sin(日+75)+cos(Θ+45)-V5cos(日+15)的值。
解析：设0+15°=c,则
原式=sin(a+60°)+cos(a+30）-V5cosa
=(6 sinc60°+in60）+(osacos30°-insin30°）-cosa
1
3
B
1
=2 sina+2 cosa+2 cosa-2 sina-3
cosa
=0
点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差
关系，这也是角的折变技巧之一。
sin 3
【例3】已知sinC=Asin(a+B)(其中cosB≠A),，试证明：tan(C+B)=cosB-A
证明：已知条件可变为：sinl(a+B)-]=Asin(a+)
所以有：sin(ot+P)cosp-cos(a+B)sinB=Asin(c+P)
∴.sin(o+β)(cosB-A)=cos(a+B)sinp
sin 8
.tan (a+B)cos B-A

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