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6.2.3　向量的数乘运算
学习目标　1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.
知识点一　向量数乘的定义
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝0.
当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识点二　向量数乘的运算律
1.(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点三　向量共线定理
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
思考　向量共线定理中为什么规定a≠0
答案　若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线.
(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　×　)
提示　当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.
2.若b＝λa，则a与b共线.(　√　)
3.若λa＝0，则a＝0.(　×　)
提示　若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
4.|λa|＝λ|a|.(　×　)
提示　|λa|＝|λ|·|a|.
一、向量的线性运算
例1　(1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于(　　)
A.－a B.－b
C.－c D.以上都不对
答案　C
解析　原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b
＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
答案　4b－3a
解析　由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，
所以x＝4b－3a.
反思感悟　向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
跟踪训练1　计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解　(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
二、用已知向量表示其他向量
例2　如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a－b B.a＋b
C.a＋b D.a－b
答案　D
解析　因为E是BC的中点，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＋＝＋＝a－b.
反思感悟　用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
跟踪训练2　在△ABC中，若点D满足＝2，则等于(　　)
A.＋ B.－
C.－ D.＋
答案　D
解析　示意图如图所示，
由题意可得＝＋
＝＋
＝＋(－)＝＋.
三、向量共线的判定及应用
例3　设a，b是不共线的两个向量.
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
(1)证明　∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
∴与共线，且有公共点B，
∴A，B，C三点共线.
(2)解　∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a与b不共线，∴
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
反思感悟　(1)证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可.
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
跟踪训练3　已知向量e1，e2不共线，如果＝e1＋2e2，＝－5e1＋6e2，＝7e1－2e2，则共线的三个点是________.
答案　A，B，D
解析　∵＝e1＋2e2，＝＋
＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2，
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
三点共线的常用结论
典例　如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　B
解析　连接AO(图略)，∵O是BC的中点，
∴＝(＋).
又∵＝m，＝n，∴＝＋.
又∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.
[素养提升]　(1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1.
(2)应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.
1.下列运算正确的个数是(　　)
①(－3)·2a＝－6a；
②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；
③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确的个数为2.
2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.(a－b) B.－(a－b)
C.(a＋b) D.－(a＋b)
答案　C
解析　因为M是BC的中点，所以＝(a＋b).
3.设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则(　　)
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
答案　B
解析　因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确.
4.化简4(a－3b)－6(－2b－a)＝________.
答案　10a
解析　4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a.
5.设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝________.
答案　－
解析　因为A，B，D三点共线，
故存在一个实数λ，使得＝λ，
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以解得k＝－.
1.知识清单：
(1)向量的数乘及运算律.
(2)向量共线定理.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.
1.下列说法中正确的是(　　)
A.λa与a的方向不是相同就是相反
B.若a，b共线，则b＝λa
C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D.若b＝±2a，则|b|＝2|a|
答案　D
解析　显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
2.(多选)下列各式计算正确的有(　　)
A.(－7)6a＝－42a
B.7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C.a－2b＋a＋2b＝2a
D.4(2a＋b)＝8a＋4b
答案　ACD
解析　ACD正确，B错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
3.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)
A.k＝0 B.k＝1
C.k＝2 D.k＝
答案　D
解析　∵向量m与向量n共线，
∴设m＝λn(λ∈R)，∴－e1＋ke2＝λe2－2λe1，
∵e1与e2不共线，
∴∴
4.下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　　)
①a＝－3e，b＝2e；
②a＝e1－e2，b＝－e1；
③a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋.
A.① B.①② C.②③ D.①②③
答案　B
解析　①中，a＝－b，所以a∥b；
②中，b＝－e1＝＝－a，所以a∥b；
③中，b＝＝(e1＋e2)，若e1与e2共线，则a与b共线，若e1与e2不共线，则a与b不共线.
5.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；
④若ma＝na，则m＝n.
A.②④ B.①② C.①③ D.③④
答案　B
解析　由向量数乘的运算律知①②正确；③中当m＝0时，ma＝mb，但a不一定等于b，故错误；④中当a＝0时等式成立，但m不一定等于n，故错误.
6.已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________.
答案　±
解析　由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.
∵|a|＝3，|b|＝5，∴|λ|＝，即λ＝±.
7.(a＋2b)－(5a－2b)＋a＝________.
答案　－a＋b
解析　原式＝a＋b－a＋b＋a＝a＋b＝－a＋b.
8.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝a，＝b，则＝________.(用a，b表示)
答案　－a＋b
解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋＝－a＋b.
9.计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c).
解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
10.设a，b是两个不共线的非零向量，若向量2ka＋b与8a＋kb的方向相反，求k的值.
解　由题意可知存在实数λ使2ka＋b＝λ(8a＋kb)，
即2ka＋b＝8λa＋λkb，
所以
解得或
∵2ka＋b与8a＋kb的方向相反，
则k＝2不符合题意，舍去，
∴k＝－2.
11.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　如图，＋＝＋＋＋
＝＋＝(＋)
＝×2＝.
12.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵A，B，D三点共线，
∴＋λ＝1，λ＝.
13.如果实数p和非零向量a与b满足pa＋(p＋1)b＝0，则向量a和b________.(填“共线”或“不共线”)
答案　共线
解析　由题知实数p≠0，则pa＋(p＋1)b＝0可化为a＝－b，由向量共线定理可知a，b共线.
14.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
答案　3
解析　∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心.
∴＋＝3，∴m＝3.
15.已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，求证：四边形ABCD为梯形.
证明　如图所示.
∵＝＋＋
＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形.
16.设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论.
解　b与a＋c共线.证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.
∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.
∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线.

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