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6.2.4　向量的数量积
学习目标　1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.
知识点一　两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
知识点二　向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.
答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
知识点三　投影向量
在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
知识点四　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
知识点五　平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律).
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
思考　若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c
答案　不可以.
已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：
如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，
b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.
所以a·b＝b·c，但是a≠c.
1.向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.(　√　)
2.若a·b<0，则a与b的夹角为钝角.(　×　)
3.向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c).(　×　)
4.已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(　×　)
一、求两向量的数量积
例1　已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解　(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
反思感悟　求平面向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
跟踪训练1　已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b).
解　(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268.
二、向量的模和夹角的计算问题
例2　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
解析　方法一
|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
方法二　(数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
①求|b|；
②当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值.
解　①因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，
即|a|2－|b|2＝，
所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
②因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2
＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，
所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
反思感悟　(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.
(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
跟踪训练2　已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角.
解　∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2.
|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，
设a与b的夹角为θ，∴cos θ＝＝，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
三、与垂直有关的问题
例3　已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，m与n夹角的余弦值为，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)
A.4 B.－4 C. D.－
答案　B
解析　由题意知，＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，
因为n·(tm＋n)＝0，
所以tm·n＋n2＝0，即tn2＋n2＝0，
所以t＝－4.
反思感悟　解决有关垂直问题时利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量).
跟踪训练3　已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小.
解　设a与b的夹角为θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2
＝3＋10cos θ－8＝0，
所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
1.对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是(　　)
A.|a·b|＝|a||b| B.|a＋b|＝|a|＋|b|
C.(a·b)c＝a(b·c) D.|a|＝
答案　D
解析　因为a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b夹角)，
所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；
根据向量加法的平行四边形法则，
|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；
因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；
因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，
所以|a|＝，所以D正确.
2.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　)
A.e1在e2方向上的投影向量为cos θe2
B.e＝e
C.(e1＋e2)⊥(e1－e2)
D.e1·e2＝1
答案　ABC
解析　因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，
则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cos θe2＝cos θe2，故A正确；
e＝e＝1，故B正确；
(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝0，
故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；
e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误.
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于(　　)
A.－2 B.－1 C.1 D.2
答案　B
解析　因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
4.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________.
答案　
解析　|a－b|＝＝＝，
设向量a与a－b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
5.已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b的方向上的投影向量为________.
答案　e
解析　设a与b的夹角为θ，
因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，
又|b|＝5，所以|a|cos θ＝，
即a在b方向上的投影向量为e.
1.知识清单：
(1)向量数量积的定义.
(2)向量数量积的性质.
(3)投影向量.
(4)向量数量积的运算律.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律；向量夹角共起点；a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角.
1.已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　A
解析　a·b＝|a||b|cos ＝1×2×cos ＝1.
2.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　)
A.－2 B.2 C.－2 D.2
答案　B
解析　·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.
3.已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(　　)
A.16 B.256 C.8 D.64
答案　A
解析　方法一　∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.
方法二　由题意知2a＝b，
∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.
4.已知|a|＝8，与a同向的单位向量为e，|b|＝4，a，b的夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影向量为(　　)
A.4e B.－4e C.2e D.－2e
答案　D
解析　向量b在向量a方向上的投影向量为|b|cos 120°e＝4×cos 120°e＝－2e.
5.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.5
答案　A
解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1.
6.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________.
答案　等边三角形
解析　·＝||||cos∠BAC，
即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，
因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.
7.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________.
答案　
解析　∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.
8.已知向量⊥，||＝3，则·＝________.
答案　9
解析　∵⊥，∴·＝·(－)
＝·－2＝·－9＝0，即·＝9.
9.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b，求：(1)c·d；(2)|c＋2d|.
解　(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b
＝2×4－2×1＋3×2×1×＝9.
(2)|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b
＝16×4＋9×1＋24×2×1×＝97，
∴|c＋2d|＝.
10.已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，求β的余弦值.
解　因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，
所以|a|＝3，
b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，
所以|b|＝2，
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，
所以cos β＝＝＝.
11.在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·等于(　　)
A. B.6 C.12 D.18
答案　D
解析　如图，过点O作OD⊥AB于D，
可知AD＝AB＝3，
则·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18.
12.已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于(　　)
A.－a2 B.－a2 C.a2 D.a2
答案　D
解析　如图所示，由题意，得BC＝a，
CD＝a，∠BCD＝120°.
∴·＝(＋)·
＝·＋2
＝a·a·cos 60°＋a2＝a2.
13.已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)
A.－7 B.7 C.25 D.－25
答案　D
解析　由题意知∠ABC＝90°，
所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)
＝－20cos C－15cos A
＝－20×－15×＝－16－9＝－25.
14.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的最小值为__________，最大值为__________.
答案　0 1
解析　∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
15.已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－b－a|＝1，则|c|的取值范围为(　　)
A.[－1，＋1] B.[－1，＋2]
C.[1，＋1] D.[1，＋2]
答案　A
解析　如图所示，
令＝a，＝b，＝a＋b，＝c，则||＝.
又|c－b－a|＝1，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知当点C与O，D共线时，||取到最值，最大值为＋1，最小值为－1，
所以|c|的取值范围为[－1，＋1].
16.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1 (k∈R)，求k的取值范围.
(1)证明　因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间的夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)解　因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，解得k<0或k>2.
所以实数k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞).

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