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6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
学习目标　1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.
知识点一　平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
知识点二　平面向量的坐标表示
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).
2.在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
思考　点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？
答案
区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点三　平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
1.零向量的坐标是(0,0).(　√　)
2.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.(　×　)
3.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.(　√　)
4.向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化.(　×　)
一、平面向量的坐标表示
例1　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量的坐标；
(3)求点B的坐标.
解　(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°
＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°
＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2).
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴C，∴＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋
＝.
∴点B的坐标为.
反思感悟　在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.
跟踪训练1　已知点M(5，－6)，且＝(－3,6)，则N点的坐标为________.
答案　(2,0)
解析　∵＝(－3,6)，设N(x，y)，
则＝－＝(x－5，y＋6)＝(－3,6).
∴解得即N(2,0).
二、平面向量加、减运算的坐标表示
例2　已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于(　　)
A.(－7，－4) B.(7,4)
C.(－1,4) D.(1,4)
答案　A
解析　设C(x，y)，则＝－＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
即x＝－4，y＝－2，
故C(－4，－2)，则＝－＝(－7，－4).
反思感悟　平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
跟踪训练2　在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，求的坐标.
解　∵＝＋，
∴＝－＝(－1，－1)，
∴＝－＝(－3，－5).
1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于(　　)
A.(－2,1) B.(2，－1)
C.(2,0) D.(4,3)
答案　B
解析　由题意得b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1).
2.已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)
A. B.
C.(－8,1) D.(8,1)
答案　C
解析　＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1).
3.若A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是(　　)
A.(－2，－1) B.(2,1)
C.(1,2) D.(－1，－2)
答案　C
解析　＝－＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).
4.若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝________.
答案　(－2，－4)
解析　＝＋＝－＝(2,3)－(4,7)
＝(－2，－4).
5.若a＝(－2,2)，b＝(3，－4)，c＝(1,5)，则a＋b＋c＝________.
答案　(2,3)
解析　a＋b＋c＝(－2＋3＋1,2－4＋5)＝(2,3).
1.知识清单：
(1)平面向量的正交分解及坐标表示.
(2)平面向量加、减运算的坐标表示.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.
1.已知M(2,3)，N(3,1)，则的坐标是(　　)
A.(2，－1) B.(－1,2)
C.(－2,1) D.(1，－2)
答案　B
解析　＝－＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2).
2.已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b等于(　　)
A.(1,2) B.(2,0)
C.(0,2) D.(2,1)
答案　C
解析　a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(0,2).
3.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　)
A.(－7,0) B.(7,6)
C.(6,7) D.(7，－6)
答案　D
解析　设D(x，y)，因为＝，
所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，
所以x＝7，y＝－6.
所以D(7，－6).
4.设＝(2,3)，＝(m，n)，＝(－1,4)，则等于(　　)
A.(1＋m,7＋n) B.(－1－m，－7－n)
C.(1－m,7－n) D.(－1＋m ，－7＋n)
答案　B
解析　＝＋＋
＝－－－
＝－(－1,4)－(m，n)－(2,3)
＝(－1－m，－7－n).
5.已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝，则P点的坐标为(　　)
A.(－14,16) B.(22，－11)
C.(6,1) D.
答案　D
解析　设P(x，y)，则＝(10－x，－2－y)，
＝(x＋2，y－7)，
∵＝，即∴
6.已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________.
答案　(－1,2)
解析　设点C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，
所以(x，y)＝(－1,2).
7.已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝，其中O为原点，则x＝________，y＝________.
答案　－1　－2
解析　由题意知解得
8.已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则＋的坐标是________.
答案　(－18,18)
解析　＋＝(－8－2,10－(－4))＋(－8－0,10－6)
＝(－10,14)＋(－8,4)＝(－18,18).
9.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标.
解　设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos 45°＝2×＝，
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
因此a＝(，)，b＝，c＝(2，－2).
10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3，2).若＋＋＝0，求的坐标.
解　设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，
又＋＋＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2,2)，故＝(2,2).
11.已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么a－b等于(　　)
A.(4,0) B.(0,4) C.(3，－6) D.(－3,6)
答案　C
解析　∵a∥b，∴设a＝λb，
则得
∴b＝(－2,4)，
∴a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6).
12.向量＝(7，－5)，将按向量a＝(3,6)平移后得到向量，则的坐标形式为(　　)
A.(10,1) B.(4，－11)
C.(7，－5) D.(3,6)
答案　C
解析　与方向相同且长度相等，
故＝＝(7，－5).
13.已知A，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________.
答案　或－
解析　由题意知＝＝(sin α，cos β)，
∴sin α＝－，cos β＝，
又∵α，β∈，
∴α＝－，β＝或－，
∴α＋β＝或－.
14.将向量a＝(－2，－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为________.
答案　(2，－2)
解析　易知a与x轴正半轴的夹角为150°，
逆时针旋转120°得到向量b在第四象限，
与x轴正半轴夹角为30°，∴b＝(2，－2).
15.已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3，4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.
解　设D(x，y)，当平行四边形为ABCD时，
由＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，
且＝，得D(2,2).
当平行四边形为ACDB时，
由＝(1,2)，＝(x－3，y－4)，且＝，
得D(4,6).
当平行四边形为ACBD时，
由＝(5,3)，＝(－1－x,3－y)，且＝.
得D(－6,0).
故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).

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