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第2课时　点到直线的距离公式　两条平行直线间的距离公式
[教材要点]
要点一　点到直线的距离公式
1．概念：点到直线的距离d就是点到直线的________的长．
2．公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝____________________．
状元随笔　(1)点到直线的距离公式的形式是：分母是直线方程Ax＋By＋C＝0的x项、y项系数平方和的算术平方根，分子是用x0，y0替换直线方程中x，y所得实数的绝对值．
(2)当点P(x0，y0)在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0，即d＝0.
(3)点到几种特殊直线的距离：
①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；
②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
③点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
④点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
(4)若给出的直线方程不是一般式，则应先化为一般式再利用公式求距离．
要点二　两条平行直线间的距离
1．概念：两条平行直线间的距离就是夹在两条平行直线间的________的长．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不全为0，且C1≠C2)之间的距离d＝________．
状元随笔　①求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．
②利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
③当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，
则d＝|x2－x1|；
当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，
则d＝|y2－y1|.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离是|C1－C2|.(　　)
(2)原点到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式是 .(　　)
(3)平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．(　　)
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．
3．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
题型一　点到直线的距离公式的应用
例1　(1)已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
A． B．2－
C．－1 D．＋1
(2)垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程是____________．
方法归纳
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
跟踪训练1　(1)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，2)到直线4x＋3y＋5＝0的距离为________．
(2)若直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．
题型二　两条平行线间的距离
例2　(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．
方法归纳
求两条平行线间距离的方法
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
跟踪训练2　(1)已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
(2)已知直线l1：2x＋3y＝1和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1，则直线l的方程为________________.
题型三　对称问题
例3　如图，一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
先求出原点关于l的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程．
方法归纳
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，
可由方程组求得．
(2)常用对称的特例有：
①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；
⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；
⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b)．
跟踪训练3　若点P(m，0)到点A(－3，2)及B(2，8)的距离之和最小，求实数m的值．
易错辨析　选用直线方程的形式不当引发错误
例4　过点P(2，5)，且与点(－4，1)距离等于6的直线方程为________．
解析：当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，
由点到直线的距离公式得：＝6，解得k＝－，
故所求直线方程为5x＋12y－70＝0.
当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意．
综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2.
答案：5x＋12y－70＝0或x＝2
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错． 一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式．因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式．
[课堂十分钟]
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离d为(　　)
A．1 B．
C．2 D．
2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)
A．1 B．
C． D．2
3．[多选题]若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为(　　)
A．3x－4y－5＝0
B．3x－4y－35＝0
C．3x－4y－23＝0
D．3x－4y－17＝0
4．已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0之间的距离为2，则b＋c＝________．
5．点A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标为________．
第2课时　点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式
新知初探·课前预习
要点一
1．垂线段
2. (A，B不全为0)
要点二
1．公垂线段
2.
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：由平行线间的距离公式得：d＝＝1，故选C.
答案：C
3．解析：由＝，得m＝－4或m＝0，
又∵m＜0，∴m＝－4.
答案：－4
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由点到直线的距离公式知，d＝＝＝1，得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.故选C.
(2)设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，
则由点到直线的距离公式知：
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
答案：(1)C　(2)3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
跟踪训练1　解析：(1)由点到直线的距离公式可得d＝＝.
(2)由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.
答案：(1)　(2)x－2y＋2＝0
例2　解析：(1)由题意，得＝，
∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
答案：(1)　(2)2x－y＋1＝0
跟踪训练2　解析：(1)当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0(2)直线l1的方程可转化为4x＋6y－2＝0.易知l1∥l2∥l，所以可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0(C≠－2且C≠－9).由题意，可得＝2×，解得C＝－16或C＝－.故直线l的方程为4x＋6y－16＝0或4x＋6y－＝0，即2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0.
答案：(1)C　(2)2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0
例3　解析：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
∴A的坐标为(4，3)，
∵反射光线的反向延长线过A(4，3)，
又由反射光线过P(－4，3)，两点纵坐标相等．
故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组
解得
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3(x≤).
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
跟踪训练3　解析：点A(－3，2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2).
因为点P(m，0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．
因为kA′B＝＝2，
所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.
令y＝0，得x＝－2，
即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2，0)，
所以所求实数m的值为－2.
[课堂十分钟]
1．解析：d＝＝＝.故选D.
答案：D
2．解析：l1的斜率为k1＝－1，l2的斜率为k2＝－1.∵k1＝k2，∴l1∥l2.∴l1，l2之间的距离为＝.故选B.
答案：B
3．解析：设l1的方程为3x－4y＋m＝0.
由题意得＝3，
解得m＝－5或m＝－35，
所以l1的方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
故选AB.
答案：AB
4．解析：因为直线l1与l2平行，所以＝，解得b＝8，
则l2：6x＋8y＋c＝0，即3x＋4y＋＝0.
又l1与l2之间的距离d＝＝2，
解得c＝－10或c＝30，所以b＋c＝38或b＋c＝－2.
答案：38或－2
5．解析：设B(a，b)是A(2，2)关于直线2x－4y＋9＝0的对称点，
则有AB与已知直线垂直，且线段AB的中点在已知直线上．
∴
解得a＝1，b＝4.
∴所求对称点坐标为(1，4).
答案：(1，4)第1课时　两点间的距离公式
[教材要点]
要点一　两点间的距离公式
(1)数轴上：一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别为xA，xB，则|AB|＝________．
(2)平面直角坐标系中：一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点A，B间的距离公式|AB|＝.
状元随笔　(1)平面直角坐标系内两点间的距离公式是数轴上两点间距离公式的推广．特别地，当P1P2垂直于坐标轴时，有
|P1P2|＝＝|x2－x1|(P1P2⊥y轴)；
|P1P2|＝＝|y2－y1|(P1P2⊥x轴)．
原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝.
(2)两点间的距离公式的特征：两点间距离的平方等于两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和．公式可简记为“纵差方，横差方，加起来，开平方”．
要点二　坐标的方法
坐标的方法又称解析法，根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，即用坐标代替点，用方程代替曲线，用代数的方法研究平面图形的几何性质．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)原点O到点P(x，y)的距离为|OP|＝.(　　)
(2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．(　　)
(3)平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．(　　)
2．已知点A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为(　　)
A．5 B．
C．3 D．
3．已知两点A(a，－)和B(b，)，则|AB|等于(　　)
A．a＋b B．|a－b|
C．－a－b D．|a＋b|
4．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)
A．4 B．－4或2
C．－2 D．－2或4
题型一　求两点间的距离
例1　(1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为________．
(2)直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为________．
方法归纳
利用两点间的距离公式求参数的值的方法及技巧
(1)常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，再利用方程的思想求解参数．
(2)解决此类问题时，常常需要结合图形，直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系，然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题来解决．
跟踪训练1　[多选题]若点A(－3，4)与坐标轴上的点P的距离等于5，则点P的坐标可以为(　　)
A．(0，0) B．(6，0)
C．(－6，0) D．(0，8)
题型二　两点间的距离公式的应用
例2　
已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC的形状．
方法归纳
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
跟踪训练2　(1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；
(2)已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，求x的值．
题型三　运用坐标法解决平面几何问题
例3　在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：＝2(|AD|2＋|DC|2)．
方法归纳
利用坐标法解平面几何问题常见的步骤
1．建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上；
2．用坐标表示有关的量；
3．将几何关系转化为坐标运算；
4．把代数运算结果“翻译”成几何关系．
跟踪训练3　已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
易错辨析　应用直线系方程漏解引发的错误
例4　过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，且到原点的距离为的直线方程．
解析：设所求直线为x＋y－1＋λ(2x－y＋4)＝0，
即(2λ＋1)x＋(1－λ)y＋4λ－1＝0，由点到直线的距离公式得λ＝－
所以所求直线方程为2x＋11y－20＝0.
因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为，
故直线2x－y＋4＝0也符合题意．
故所求的直线方程为2x＋11y－20＝0和2x－y＋4＝0.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
应用直线系方程求解时，恰好漏掉了直线2x－y＋4＝0. 直线系(2λ＋1)x＋(1－λ)x＋4λ－1＝0表示经过两直线x＋y－1＝0和2x－y＋4＝0的交点，但不包括直线2x－y＋4＝0，而本题是特殊情况，因为原点到直线2x－y＋4＝0的距离也为.
[课堂十分钟]
1．经过点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则|AB|等于(　　)
A．8 B．4
C.2 D．
2．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(　　)
A.直角三角形 B．等腰三角形
C.等边三角形 D．等腰直角三角形
3．点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，则直线y＝kx＋b在x轴上的截距是________．
4．已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋y－2＝0，求直线l上一点P，使得|PA|＝|PB|.
第1课时　两点间的距离公式
新知初探·课前预习
要点一
(1)|xB－xA|
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√
2．解析：由两点间的距离公式得|AB|＝＝.故选B.
答案：B
3．解析：|AB|＝＝＝＝|a＋b|.故选D.
答案：D
4．解析：＝5，∴a＝4或－2.
答案：D
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)设点M(x，0)(x>0)，由题意可知，＝，解得x＝.所以点M的坐标为(，0)．
(2)直线2x＋my＋2＝0与x轴的交点为(－1，0)，
与y轴的交点为，
所以两交点之间的距离为＝(m≠0)．
答案：(1)(，0)　(2) (m≠0)
跟踪训练1　解析：①若点P在x轴上，设点P的坐标为(x，0)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6，所以点P的坐标为(0，0)或(－6，0)．
②若点P在y轴上，设点P的坐标为(0，y)，由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8，所以点P的坐标为(0，0)或(0，8)．
故所求的点P有3个，坐标分别为(0，0)，(－6，0)，(0，8)．
答案：ACD
例2　解析：方法一　∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
方法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．
跟踪训练2　解析：(1)设点P的坐标为(x，0)，则有
|PA|＝＝，
|PB|＝＝.
由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－.
故所求点P的坐标为(－，0)．
|PA|＝＝.
(2)由|MN|＝7，
得|MN|＝＝7，
即x2－4x－45＝0，
解得x1＝9或x2＝－5.
故所求x的值为9或－5.
例3　证明：设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，
|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，
|DC|2＝a2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
跟踪训练3　证明：
如图所示，建立直角坐标系，
设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)
∴|AC|＝
＝，
|BD|＝＝.
故|AC|＝|BD|.
[课堂十分钟]
1．解析：由题意可得＝tan 135°＝－1，解得y＝－3，
则|AB|＝＝2.故选C.
答案：C
2．解析：|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，|AB|＝|AC|，故选B.
答案：B
3．解析：因为点A(1，3)关于直线y＝kx＋b对称的点是B(－2，1)，
所以－＝，则k＝－.
又A，B的中点在直线上，所以2＝－＋b，
则b＝，所以直线方程为y＝－x＋，令y＝0，解得x＝.
答案：
4．解析：因为点P在直线l上，所以可设P(t，2－4t)．
又A(4，－3)，B(2，－1)，所以由|PA|＝|PB|可得，(t－4)2＋(5－4t)2＝(t－2)2＋(3－4t)2，
解得t＝，所以P.

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