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2．1　圆的标准方程
最新课标 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．
[教材要点]
要点一　圆的标准方程
1．圆的定义：平面内到________的距离等于________的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．确定圆的要素是________和________，如图所示．
3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是________________________．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以________为圆心、半径为r的圆．
状元随笔　圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．
要点二　点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 |MA|＝r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 |MA|＜r 点M在圆A内 点M(x0，y0)在圆内 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2
点在圆外 |MA|＞r 点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(a，b，r∈R)表示一个圆．(　　)
(2)弦的垂直平分线必过圆心．(　　)
(3)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(　　)
(4)圆心与切点的连线长是半径长．(　　)
2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A.(－2，3)，1 B．(2，－3)，3
C.(－2，3)， D．(2，－3)，
3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　)
A.x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝
4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．
题型一　求圆的标准方程
角度1　直接法求圆的标准方程
例1　求满足下列条件的各圆的标准方程．
(1)圆心是(3，4)，半径是；
(2)过点A(－1，2)，B(5，－4)且以线段AB为直径．
方法归纳
根据已知条件，写出圆心坐标和圆的半径，代入标准方程即可．
跟踪训练1　圆心在点C(8，－3)，且经过点P(5，1)的圆的标准方程为(　　)
A．(x－8)2＋(y－3)2＝25 B．(x－8)2＋(y＋3)2＝5
C．(x－8)2＋(y－3)2＝5 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25
角度2　待定系数法
例2　求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5，2)和点(3，－2)的圆的方程．
方法归纳
待定系数法求圆的标准方程，先设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组，解方程组，求出a、b、r的值，代入所设方程即可．
跟踪训练2　△ABC的三个顶点坐标分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，则它的外接圆的方程为_____________________________．
角度3　几何法求圆的标准方程
例3　求经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线l：3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方程．
方法归纳
(1)直接法
根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程．
(2)待定系数法
①根据题意，设出标准方程；
②根据条件，列关于a，b，r的方程组；
③解出a，b，r，代入标准方程．
(3)常见的几何条件与可以转化成的方程
①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程．
②圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径．
③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心．
④弦的垂直平分线经过圆心．
跟踪训练3　求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的标准方程．
题型二　点与圆的位置关系
例4　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5，6)，求圆的标准方程，并判断点A(2，2)，B(1，8)，C(0，5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
方法归纳
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
跟踪训练4　(1)点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．不确定
(2)已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，则实数a的取值范围为____________________________________．
题型三　与圆有关的最值问题
例5　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，求x2＋y2的最值．
首先观察x，y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．
变式探究1　本例条件不变，求的取值范围．
变式探究2　本例条件不变，求x＋y的最值．
方法归纳
与圆有关的最值问题的常见类型及解法
1．形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
2．形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
跟踪训练5　已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
易错辨析　利用函数的思想处理问题时忽略了函数的定义域
例6　已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为________．
解析：设P(a，b)，
则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(a＋2)2＋(b＋2)2＋(a＋2)2＋(b－6)2＋(a－4)2＋(b＋2)2＝3a2＋3b2－4b＋68.
∵点P在圆x2＋y2＝4上运动，
∴a2＋b2＝4，
∴a2＝4－b2≥0，∴－2≤b≤2
∴3a2＋3b2－4b＋68＝12－3b2＋3b2－4b＋68＝－4b＋80，
因为y＝－4b＋80是[－2，2]上的减函数．
所以函数的最大值为88.
∴|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88.
答案：88
【易错警示】
易错原因 纠错心得
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以在利用函数的思想处理时，容易忽略求b的范围出错． 本题自变量b的范围，可以像解析中的进行推导，也可以直接观察圆的图象，发现b的取值范围是[－2，2].
[课堂十分钟]
1．圆心为(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝5
2．方程(x－a)2＋(y＋b)2＝0表示的图形是(　　)
A．以(a，b)为圆心的圆 B．点(a，b)
C．以(－a，－b)为圆心的圆 D．点(a，－b)
3．已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　)
A．点P在圆C内 B．点P在圆C外
C．点P在圆C上 D．无法确定
4．一个圆经过A(10，5)，B(－4，7)两点，半径为10，则圆的方程为________．
5．过点A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆的标准方程为________．
新知初探·课前预习
要点一
1．定点　定长
2．圆心　半径
3．(x－a)2＋(y－b)2＝r2　原点
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.故选D.
答案：D
3．解析：以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.故选B.
答案：B
4．解析：因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，
∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.
答案：(x＋2)2＋y2＝10.
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由题意得，圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(2，－1)．
又|AB|＝＝6，
∴半径r＝3.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝18.
跟踪训练1　解析：R＝|CP|＝＝5.
∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
答案：D
例2　解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
跟踪训练2　解析：设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，①
因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，
所以它们的坐标都满足方程①，于是
解此方程组，得
∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝25
例3　解析：AB中点坐标(3，3)，kAB＝＝，AB中垂线方程y－3＝－(x－3)，即3x＋2y－15＝0.
联立得方程组解得
即圆心C(7，－3)．
r＝|AC|＝＝.
∴圆的标准方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
跟踪训练3　解析：方法一　∵圆心在y轴上，∴可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆经过两点A，B，
∴
∴
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.
方法二　线段AB的中点为(1，3)，
AB的斜率k＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由由圆心坐标为(0，1)．
半径r＝＝，
∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝10.
例4　解析：解方程组得∴圆心M的坐标为(0，1)．
半径r＝|MP|＝＝5.
∴圆M的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.
∵|AM|＝＝∴点A在圆内，
∵|BM|＝＝＝r，
∴点B在圆上．
∵|CM|＝＝>r，
∴点C在圆外．
综上，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．
跟踪训练4　解析：(1)∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．故选A.
(2)由题意，点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－.∵a≠0，
∴a的取值范围为[－，0)
答案：(1)A　(2)[－，0)
例5　解析：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
变式探究1　解析：设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x，y)与点(0，0)连线的斜率，
由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即，解得－≤k≤.
即的取值范围是[－].
变式探究2　解析：令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有＝，解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1.
跟踪训练5　解析：设P(x，y)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.∴d的最小值为2×16＋2＝34.
最大值为2×36＋2＝74.
[课堂十分钟]
1．解析：圆的半径r＝＝5，
∴方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.
答案：C
2．解析：由(x－a)2＋(y＋b)2＝0得x－a＝0，且y＋b＝0，即x＝a，y＝－b，故方程(x－a)2＋(y＋b)2＝0表示的图形是点(a，－b)．故选D.
答案：D
3．解析：由题意得，a＋b＝1，ab＝－，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，所以点P在圆C内，故选A.
答案：A
4．解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝100.
则
解得或
则圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100
5．解析：过A(2，－3)，B(－2，－5)两点且面积最小的圆就是以AB为直径的圆，∴圆心为(0，－4)，半径r＝|AB|＝＝，
∴圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5.
答案：x2＋(y＋4)2＝5

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