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2.2　圆的一般方程
最新课标 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程．
[教材要点]
要点　圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念：
当____________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为____________，半径长为____________．
状元随笔　①圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2、y2的系数相等且不为0；没有xy项．
②对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋ Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F＞0 表示以(－，－)为圆心， 以为半径的圆
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆．(　　)
(2)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)
(3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　　)
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A.(2，3) B．(－2，3)
C.(－2，－3) D．(2，－3)
3．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)
A.k≤ B．k＝
C.k≥ D．k＜
4．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是________．
题型一　根据圆的一般方程求圆心和半径
例1　求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－4y＝0；
(2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．
方法归纳
(1)可将圆的一般方程先转化为标准方程再求圆心坐标和半径．
(2)由公式求半径和圆心坐标时，一定要注意圆的一般方程的形式，二次项系数相等且为1.
跟踪训练1　将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径．
(1)2x2＋2y2＋4ax－2＝0；
(2)x2＋y2－2x＋y＋＝0.
题型二　圆的方程的判断
例2　下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)x2＋y2－4x－2y－5＝0.
方法归纳
判断形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程是否表示圆，只需计算D2＋E2－4F，若此结果为正数，则方程表示以为圆心，为半径的圆，否则不表示圆．
跟踪训练2　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
题型三　求圆的一般方程
例3　已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
方法归纳
待定系数法求圆的方程的解题策略
1．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
跟踪训练3　求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．
易错辨析　忽视圆的条件致错
例4　已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为________．
解析：由题意知
解得即2＜a＜.
答案：(2，)
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忽视了二元二次方程表示圆的条件D2＋E2－4F＞0，从而得到错误答案：a＞2. 对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F＞0的前提下才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D2＋E2－4F＞0.
[课堂十分钟]
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　)
A．8π　 　　　B．4π　 　　　C．2π　　　 　D．π
2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为(　　)
A．m< B．m<0 C．m> D．m≤
3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　)
A．这些圆的圆心都在直线y＝x上
B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C．这些圆的圆心都在直线y＝x上或直线y＝－x上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
4．已知圆x2－4x＋y2－4＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是________．
5．求过三点O(0，0)，A(1，1)，B(4，2)的圆的一般方程．
2．2　圆的一般方程
新知初探·课前预习
要点
1．D2＋E2－4F>0
2．(－，－)　
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．解析：－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．故选D.
答案：D
3．解析：方程表示圆 1＋1－4k＞0 k＜.故选D.
答案：D
4．解析：由题意知圆心坐标是(－1，0)，
所以所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
题型探究·课堂解透
例1　解析：方法一　将方程分别化为标准方程：
(1)x2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为(0，2)，半径为2.
(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心坐标为(－a，0)，半径为|a|.
方法二　(1)∵－＝0，－＝2，
∴圆心坐标为(0，2)，
半径r＝＝2.
(2)∵－＝－a，－＝0，
∴圆心坐标为(－a，0)，
半径r＝＝|a|.
跟踪训练1　解析：(1)将2x2＋2y2＋4ax－2＝0两边同除以2，得x2＋y2＋2ax－1＝0，
配方，得(x＋a)2＋y2＝1＋a2.
故圆心坐标为(－a，0)，半径为.
(2)将x2＋y2－2x＋y＋＝0配方，得(x－1)2＋＝1.
故圆心坐标为，半径为1.
例2　解析：(1)x2与y2系数不相等，方程不表示圆．
(2)含xy项，方程不表示圆．
(3)(－2)2＋(－4)2－4×10＝－20<0，此方程不表示圆．
(4)(－4)2＋(－2)2－4×(－5)>0，此方程表示圆，圆心坐标(2，1)，半径r＝＝.
跟踪训练2　解析：由方程可知，D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
∴当m＝2时，它表示一个点．
当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时圆心为(2m，－m)，
半径r＝＝|m－2|.
例3　解析：方法一　设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C在圆上，
∴
∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
方法二　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
跟踪训练3　解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为(－，－)．
∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B，∴·(－)＝－1，
即E－3D－36＝0①.
∵(－2，－4)，(8，6)在圆上，
∴2D＋4E－F－20＝0②，
8D＋6E＋F＋100＝0③.
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
[课堂十分钟]
1．解析：化为圆的标准方程为：(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径为，∴圆的面积为π()2＝2π.故选C.
答案：C
2．解析：由D2＋E2－4F＝(－1)2＋12－4m＝2－4m>0，解得m<.故选A.
答案：A
3．解析：圆的一般方程可化为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，圆心为(－a，－a)，满足直线y＝x.故选A.
答案：A
4．解析：将方程x2－4x＋y2－4＝0配方，得(x－2)2＋y2＝8，圆心为点P(2，0)，则点P到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.
答案：
5．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则由题设得方程组
解得
故所求圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.

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