资源简介

2.3　直线与圆的位置关系
最新课标 (1)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系． (2)能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
[教材要点]
要点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____个 ____个 ____个
判定方法 d__r d__r d__r
　代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0
状元随笔　“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与圆最多有两个公共点．(　　)
(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心．(　　)
(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．(　　)
(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(　　)
2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交　　B．相切
C．相离 D．无法判断
3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　)
A．1 B．
C． D．2
4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
题型一　直线与圆位置关系的判断
例1　已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时：
(1)直线与圆有两个交点；
(2)直线与圆有一个交点；
(3)直线与圆没有交点．
方法归纳
判断直线与圆位置关系的三种方法
1．几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
2．代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
跟踪训练1　(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
(2)已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.
若直线与圆相切，则m＝________；
若直线与圆相离，则m的范围是________．
题型二　直线与圆相切问题
例2　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
方法归纳
圆的切线的求法
1．点在圆上时：
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.
2．点在圆外时：
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就是切线方程．
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
跟踪训练2　(1)过点A(2，1)，作圆的(x－3)2＋(y－1)2＝1切线，则切线方程为________．
(2)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝__________，r＝________．
题型三　弦长问题
例3　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
弦心距、半弦长与半径构成的直角三角形求解．
变式探究　若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？
方法归纳
求弦长常用的三种方法
1．利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系(l)2＋d2＝r2解题．
2．利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
3．利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.
跟踪训练3　(1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
(2)已知圆C的圆心与点P(－2，1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．
题型四　直线与圆的方程的实际问题
例4　为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
建系→求圆O与直线BC的方程→利用直线与圆的位置关系求解．
方法归纳
求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
1．认真审题，明确题意．
2．建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际问题中建立直线与圆的方程．
3．利用直线与圆的方程的有关知识求解问题．
4．把代数结果还原为实际问题的解释．
跟踪训练4　(1)台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(　　)
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m．
易错辨析　忽略了圆的一个隐含条件
例5　已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，
一定点A(1，2)，要使过定点A(1，2)作圆的切线有两条，则a的取值范围为________．
解析：圆的标准方程为(x＋)2＋(y＋1)2＝，圆心C坐标为(－，－1)，半径r＝＝，则4－3a2>0，解得－又过点A(1，2)作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即>.
化简得a2＋a＋9>0，不等式a2＋a＋9>0恒成立，
故a的取值范围是(－)．
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忽视了圆的方程x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0中有一个隐含条件，即D2＋E2－4F>0. 同学们在解答含有参数的问题时，要多一些严谨，以免遗漏某些条件，导致结果出错．
[课堂十分钟]
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交且直线过圆心 D．相离
2．垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是(　　)
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
3．圆O：x2＋y2＝4上到直线x＝1的距离为1的点有(　　)
A．4个 B．3个
C．2个 D．0个
4．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．
5．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，求过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
2．3　直线与圆的位置关系
新知初探·课前预习
要点
2　1　0　<　＝　>　>　＝　<
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.
∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B.
答案：B
3．解析：直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2，故选D.
答案：D
4．解析：由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.
答案：4
题型探究·课堂解透
例1　解析：圆x2＋y2＝2的圆心为O(0，0)，半径r＝，
圆心O到直线y＝x＋b的距离d＝.
(1)当d∴－2(2)当d＝r，即＝，|b|＝2，
∴当b＝±2时，直线与圆有一个交点．
(3)当d>r，即>，|b|>2，
∴当b>2或b<－2时，直线与圆没有交点．
跟踪训练1　解析：(1)将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3，0)在圆内．
∴过点P的直线l必与圆C相交．故选A.
(2)已知圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝.
若直线与圆相切，则d＝＝r＝2
解得m＝0或m＝－.
若直线与圆相离，则d>2，即－答案：(1)A　(2)0或－　(－，0)
例2　解析：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
跟踪训练2　解析：(1)因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，又过圆心(3，1)与点A的直线斜率为0，故所求切线的方程为y＝1.
(2)方法一　由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝r，又r＝|AC|＝，所以＝，解得m＝－2，
所以r＝.
方法二　根据题意画出图形，可知
A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，
则|AB|＝＝2，
|AC|＝
＝，
|BC|＝|m－3|.
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，
解得m＝－2.
∴r＝|AC|＝＝.
答案：(1)y＝1　(2)－2，
例3　解析：方法一　圆C：x2＋y2－2y－4＝0
可化为x2＋(y－1)2＝5，
其圆心坐标为(0，1)，半径r＝.
点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，
l＝2＝，所以截得的弦长为.
方法二　设直线l与圆C交于A、B两点．
由得交点A(1，3)，B(2，0)，
所以弦AB的长为|AB|＝＝.
变式探究　解析：由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝，又弦长为，所以圆心到直线的距离
d＝＝＝.
又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在，
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，
所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，
所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，
即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0.
跟踪训练3　解析：(1)设点A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2.当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝＝，∴半弦长＝＝＝，∴最短弦的长为2.
(2)设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，
则由
故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝3，
所以圆C的半径的平方r2＝d2＋＝18.
故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.
答案：(1)2　(2)x2＋(y＋1)2＝18
例4　解析：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.
因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＝1，即x＋y＝8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1＝(4－1) km.
即DE的最短距离为(4－1) km.
跟踪训练4　
解析：(1)以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，
则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝20，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝＝1小时．故选B.
(2)如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将点A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，∴当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m)．
答案：(1)B　(2)2
[课堂十分钟]
1．解析：圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝，圆的半径r＝1，∵0答案：B
2．解析：因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y＝x＋1，
所以k·1＝－1.所以k＝－1.
设直线l的方程为y＝－x＋b(b>0)，
即x＋y－b＝0，
所以圆心到直线的距离为＝1，所以b＝.
所以直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0.故选A.
答案：A
3．解析：由条件知圆的圆心的坐标为(0，0)，半径r＝2，在同一平面直角坐标系中作出圆x2＋y2＝4与直线x＝1(图略)，易知到直线x＝1的距离为1的点，劣弧上有1个，优弧上有2个，共3个．
答案：B
4．解析：圆x2＋y2＝r2的圆心为原点，则圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离为＝1.
在△OAB中，点O到边AB的距离d＝r sin 30°＝＝1，所以r＝2.
答案：2
5．解析：点A(1，2)在圆x2＋y2＝5上，圆心O(0，0)与A(1，2)连线的斜率kOA＝＝2.
设切线斜率为k，则k＝－＝－，
所以过点A与圆O相切的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y＝5，
易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×5×＝.
答案：

展开更多......

收起↑