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2．4　圆与圆的位置关系
最新课标 能根据给定的圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
[教材要点]
要点　圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系有：________、__________、__________、__________、__________．
2．圆与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：
位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1、 r2的关系 ________ ________ ________ ________ ________
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
状元随笔　判断两圆的位置关系，一般有代数法和几何法两种方法．代数法是把位置关系的判定转化为求方程组的解，计算量偏大，一般不用此种方法；几何法较简洁，只需比较圆心距d与|r1－r2|、r1＋r2的大小即可得出位置关系．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　)
(3)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．(　　)
(4)如果两圆相外切，则有公切线3条．(　　)
2．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A．相离 B．相交
C．外切 D．内切
3．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
题型一　圆与圆的位置关系的判断
例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时两圆C1，C2(1)相切；(2)相交；(3)相离；(4)内含．
方法归纳
判断圆与圆的位置关系的一般步骤
1．将两圆的方程化为标准方程(若原方程已是标准形式，此步骤不需要)．
2．分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
3．求两圆的圆心距d.
4．比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
5．根据大小关系确定位置关系．
跟踪训练1　(1)两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．内含
(2)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．
题型二　两圆相切问题
例2　(1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为________________________________．
(2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________．
方法归纳
处理两圆相切问题的两个步骤
1．定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑两圆内切还是外切两种情况讨论．
2．转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．
跟踪训练2　(1)半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
(2)与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程是________________________．
题型三　两圆相交的问题
例3　求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长．
两圆作差→求出公共弦所在直线→求弦长．
变式探究　本例条件不变，如何求圆C1与圆C2的公共弦长？
方法归纳
1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
跟踪训练3　若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
易错辨析　忘记求相交两圆的公共弦方程的前提致错例4　过两圆C1：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，C2：x2＋y2－4x－21＝0的交点所在的直线的方程为(　　)
A．x－y＋11＝0 B．x－y－11＝0
C．x＋y＋11＝0 D．不存在
解析：由题意得C1(1，1)，R1＝1，C2(2，0)，R2＝5
∴|C1C2|＝＜R2－R1，
∴两圆内含
∴过两圆交点的直线不存在．故选D.
答案：D
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忘记了两圆相交的前提，直接把两圆方程相减得x－y＋11＝0，错选A. 只有当两圆相交时，它的公共弦方程才是把两圆的方程对应相减得到；如果两圆不相交，则不能用这个结论．今后遇到类似问题，要先判断两圆的位置关系，再作决定．
[课堂十分钟]
1．圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是(　　)
A．外离　　　　B．相交　　　　C．内切　　　　D．外切
2．已知圆C1与C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为(　　)
A．6或14 B．10 C．14 D．6
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
4．已知点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
5．已知圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0和圆C2：x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则线段AB垂直平分线的方程是________．
2．4　圆与圆的位置关系
新知初探·课前预习
要点
外离　外切　相交　内切　内含
(1)d＞r1＋r2　d＝r1＋r2　|r1－r2|＜d＜r1＋r2　d＝|r1－r2|　d＜|r1－r2|
(2)相交　内切或外切　外离或内含
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝＜r1＋r2＝3，即两圆相交．
答案：B
3．解析：由题意联立两圆方程
得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C.
答案：C
4．解析：(x－1)2＋(y－3)2＝20化为一般式为：x2＋y2－2x－6y－10＝0，①
又圆x2＋y2＝10，即x2＋y2－10＝0②
①－②得：x＋3y＝0，即为直线AB的方程．
答案：x＋3y＝0
题型探究·课堂解透
例1　解析：对圆C1、C2的方程，经配方后可得：
C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，
C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，r1＝4，C2(2a，1)，r2＝1，
∴|C1C2|＝＝a，
(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切，
当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切．
(2)当3<|C1C2|<5即3(3)当|C1C2|>5即a>5时，两圆相离．
(4)当|C1C2|<3即0跟踪训练1　解析：(1)方法一　(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，两圆相交．
方法二　(代数法)联立方程
解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数是2，故可判断两圆相交．故选C.
(2)由题意知C1(1，2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．
答案：(1)C　(2)外切
例2　解析：(1)设所求圆的半径为r，则＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.
答案：(1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169
(2)2或－5
跟踪训练2　解析：(1)由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.故选D.
(2)已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1，0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0).
由题意，可得解得或
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
答案：(1)D　(2)(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36
例3　解析：设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B的坐标是方程组的解，
两式相减得x＋y－1＝0.
因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，
所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，
即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，
圆C3的圆心为(1，1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，
所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝.
变式探究　解析：由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，对于圆C1：x2＋y2＝1，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，由条件知r2－d2＝1－＝，所以公共弦长为2×＝.
跟踪训练3　解析：如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，∴|OO1|＝5，
∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4.
答案：4
[课堂十分钟]
1．解析：C1(－2，2)，C2(2，5)，|C1C2|＝＝5，r1＋r2＝1＋4＝5＝|C1C2|，∴两圆外切，故选D.
答案：D
2．解析：当两圆外切时，4＋r2＝10，r2＝6；当两圆内切时，r2－4＝10，r2＝14.故选A.
答案：A
3．解析：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，两半径之和为3，故两圆相交．故选B.
答案：B
4．解析：两圆化成标准方程为C1：(x－4)2＋(y－2)2＝9，C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.|PQ|最小值为圆心距与两半径之和的差，即－3－2＝3－5.
答案：3－5
5．解析：方法一　解方程组
得或
则A(0，0)，B，kAB＝－，AB的中点M.
AB中垂线方程为y＋＝3，即3x－y－9＝0.
方法二　由圆的几何性质，圆心的连线即为AB线段的垂直平分线，C1(2，－3)，C2(3，0)，k＝＝3，
∴所求直线方程为y＝3(x－3)，
化简得：3x－y－9＝0.
答案：3x－y－9＝0

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