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2.1　双曲线及其标准方程
[教材要点]
要点一　双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的__________________________________的点的集合(或轨迹)叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线的________，________________叫作双曲线的焦距．
状元随笔　要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”．
(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支．
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
要点二　双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝________
状元随笔　(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，即若x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．
(3)在双曲线的标准方程中，因为a，b，c三个量满足c2＝a2＋b2，所以长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是斜边，如图所示．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)双曲线标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．(　　)
(3)双曲线的焦点F1，F2的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型．(　　)
(4)点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差为6，则点P的轨迹为双曲线的一支．(　　)
2．动点P到点M(1，0)的距离与点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是(　　)
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1或＝1 D．＝0或＝0
4．已知双曲线＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________．
题型一　双曲线定义及其应用
例1　已知动圆 M与圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
方法归纳
(1)用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线．
(2)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．
(3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．
跟踪训练1　已知在△ABC中，C(－2，0)，B(2，0)，sin B－sin C＝sin A，求顶点A的轨迹方程．
题型二　求双曲线的标准方程
例2　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A(1，－)；
(2)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；
(3)过点P(3，)，Q(－，5)且焦点在坐标轴上．
状元随笔　求双曲线标准方程时有两个关注点．
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式．
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
方法归纳
求双曲线的标准方程的方法一般为待定系数法，求解步骤如下：
1．根据已知条件设出双曲线的标准方程；
2．利用已知条件确定a，b或a2，b2，注意双曲线定义的应用；
3．确定双曲线的标准方程．
特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程可能有两个，需分类讨论．也可直接设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)，把所给点的坐标代入方程，解方程组可求出A，B的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论．
跟踪训练2　(1)[多选题]与椭圆＋y2＝1有共同焦点的双曲线方程是(　　)
A．－y2＝1 B．y2－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
(2)已知双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
题型三　判断曲线类型
例3　(1)[多选题]设θ∈(－，0)，π)，则关于x，y的方程＝1所表示的曲线可能是(　　)
A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆
(2)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，则k的值为________．
方法归纳
给出方程＝1(mn≠0)，并不能确定它所表示的曲线是不是双曲线，需要对参数m，n进行讨论，只有mn<0时，方程才表示双曲线，若则双曲线的焦点在x轴上；若则双曲线的焦点在y轴上．
跟踪训练3　(1)已知方程＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A．k>5 B．k>5或－2C．k>2或k<－2 D．－2(2)若方程＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是(　　)
A．－3C．k<－3或k>－2 D．k>－2
题型四　双曲线中的焦点三角形问题
例4　(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)设点P在双曲线＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．
方法归纳
在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时，一般地，可由双曲线的定义，得|PF1|，|PF2|的关系式，或利用正弦定理、余弦定理，得|PF1|，|PF2|的关系式，从而求出|PF1|，|PF2|.
但是，一般我们不直接求解出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．
跟踪训练4　若点P是双曲线＝1上的一点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________．
易错辨析　忽略双曲线上的点到焦点的距离最
小值致错
例5　若双曲线E：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝________．
解析：由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝6，
即|7－|PF2||＝6
∴|PF2|＝13或1
∵|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝1舍去
答案：13
【易错警示】
易错原因 纠错心得
由双曲线定义求得错解|PF2|＝1或13，原因忽略了|PF2|min＝c－a＝2. 利用双曲线定义求|PF1|(或|PF2|)时，若有两解，一定要检验解是否满足|PF|≥c－a.
[课堂十分钟]
1．“－1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a的值是(　　)
A． B．1或－2
C．1或 D．1
3．已知两定点F1(－3，0)，F2(3，0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　)
A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
4．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
5．根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)c＝，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上．
(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.
2．1　双曲线及其标准方程
新知初探·课前预习
要点一
距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)　焦点　两个焦点间的距离
要点二
a2＋b2
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.故选D.
答案：D
3．解析：b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C.
答案：C
4．解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，则|PF2|＝22；当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，则|PF2|＝2.
答案：22或2
题型探究·课堂解透
例1　
解析：设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，
∴|MC1|－|MC2|＝2.
又C1(－4，0)，C2(4，0)，∴|C1C2|＝8，
∴2<|C1C2|.
根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，
∴点M的轨迹方程是＝1(x≥)．
跟踪训练1　解析：由正弦定理及sin B－sin C＝sin A，得|AC|－|AB|＝|BC|<|BC|，
由双曲线的定义知，顶点A的轨迹是以C，B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，
∴c＝2，a＝1，∴b2＝c2－a2＝3，
∴顶点A的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
例2　解析：(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为＝1.
(2)方法一　∵焦点相同，
∴设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.①
∵双曲线经过点(3，2)，∴＝1.②
由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为＝1.
方法二　设所求双曲线的方程为＝1(－4<λ<16)．
∵双曲线过点(3，2)，∴＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴双曲线的标准方程为＝1.
(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0.
∵点P，Q在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为＝1.
跟踪训练2　解析：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－，0)，(，0)，A中的双曲线焦点坐标为(－，0)，(，0)，不符合；
B中的双曲线焦点坐标为(0，－)，(0，)，不符合；
C、D中的双曲线焦点坐标为(－，0)，(，0)，故选CD.
(2)解析：因为双曲线的一个焦点F1(5，0)，且过点(3，0)，所以c＝5，a＝3；
∴b2＝c2－a2＝16.
∴该双曲线的标准方程是＝1.故选A.
答案：(1)CD　(2)A
例3　解析：(1)当θ∈(－，0)时，sin θ<0，cos θ>0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，A正确．
当θ∈(，π)时，sin θ>0，cos θ<0，则方程表示的曲线是在x轴上的双曲线，B正确．故选AB.
(2)若焦点在x轴上，则方程可化为＝1，
所以＋k＝32，解得k＝6；
若焦点在y轴上，则方程可化为＝1，
所以－k＋(－)＝32，解得k＝－6.
综上所述，k的值为6或－6.
答案：(1)AB　(2)6或－6
跟踪训练3　解析：(1)∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
即或
解得k>5或－2(2)由题意知解得－3答案：(1)B　(2)A
例4　解析：(1)设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则
∴
∴mn＝4，即|PF1|·|PF2|＝4.
故选B.
(2)由题意知|F1F2|＝2＝10，||PF2|－|PF1||＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，∴|PF1|＝3，|PF2|＝9，故△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
答案：(1)B　(2)22
跟踪训练4　解析：由＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°，
∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝64，
＝|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16.
答案：16
[课堂十分钟]
1．解析：若方程＝1表示双曲线，
则(m＋1)(m－2)<0，得－1则－1“－1答案：A
2．解析：由题意得4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2(舍去)，故选D.
答案：D
3．解析：A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A.
答案：A
4．解析：∵A，B为双曲线的左、右焦点，且AB＝4，
∴双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)，c＝2.
可设＝1，点D(－2，3)在双曲线上，
即＝1，解得a2＝16或a2＝1.
a2＝16时，方程为＝1，为椭圆，舍去．
a2＝1时，方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
5．解析：(1)因为c＝，且焦点在x轴上，故可设标准方程为＝1(a2<6)．
因为双曲线经过点(－5，2)，
所以＝1，解得a2＝5或a2＝30(舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)因为双曲线的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5.
所以b2＝52－32＝16.
所以所求双曲线标准方程为＝1.

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