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????????2．2　双曲线的简单几何性质
[教材要点]
要点　双曲线的几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
性质 图形
性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 ____或____，y∈R ________或______，y∈R
对称性 对称轴：______；对称中心：______
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段______，长：______；虚轴：线段______，长：______；半实轴长：______，半虚轴长：______
离心率 e＝∈______
渐近线 y＝±x y＝±x
状元随笔　(1) 双曲线的范围说明双曲线是非封闭曲线，而椭圆则是封闭曲线．
(2) 当|x|无限增大时，|y|也无限增大，即双曲线的各支是向外无限延展的．
(3) 双曲线的渐近线决定了双曲线的形状．由双曲线的对称性可知，当双曲线的两支向外无限延伸时，双曲线与两条渐近线无限接近，但永远不会相交．
(4) 双曲线形状与e的关系．
由于＝＝ ＝，因此e越大，渐近线的斜率的绝对值就越大，双曲线的开口就越大．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．(　　)
(2)以y＝±2x为渐近线的双曲线有2条．(　　)
(3)方程＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.(　　)
(4)离心率e越大，双曲线＝1的渐近线的斜率绝对值越大．(　　)
2．实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是(　　)
A．x2－＝1 B．y2－＝1
C．＝1或＝1 D．x2－＝1或y2－＝1
3．双曲线－y2＝1的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
4．若双曲线＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是________．
题型一　由双曲线的方程研究其性质
例1　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程．
方法归纳
已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较．
跟踪训练1　[多选题]在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线＝1，则(　　)
A．实轴长为2
B．渐近线方程为y＝±x
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
题型二　由双曲线的几何性质求其标准方程
例2　(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)，求双曲线方程；
(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)，求双曲线方程；
(3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10，求双曲线方程．
方法归纳
由几何性质求双曲线标准方程的解题思路
1．由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
2．常见双曲线方程的设法
(1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0).
(2)与双曲线＝1或＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线＝1(a>0，b>0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ>0)或＝λ(λ>0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置．
(4)与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的双曲线系方程可设为＝1(b2<λ跟踪训练2　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
(2)焦点为(0，6)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线的双曲线方程是________．
(3)过点(2，0)，与双曲线＝1离心率相等的双曲线方程为________．
题型三　求双曲线的离心率(或范围)
例3　(1)设a>1，则双曲线＝1的离心率e的取值范围是(　　)
A．(，2) B．()
C．(2，5) D．(2，)
(2)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．
方法归纳
求双曲线的离心率或其取值范围的思路
1．求解双曲线的离心率一般有两种方法．
(1)由条件寻找a，c所满足的等式，常用的公式变形为e＝＝＝，其中a>0，b>0.
(2)依据条件列出含a，c的齐次方程，利用e＝转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e>1对所得解进行取舍．
2．求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解．在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a.
双曲线的离心率常以渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．
跟踪训练3　(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)已知F为双曲线E：＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是________．
易错辨析　忽略对焦点所在轴的讨论致误
例4　已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，由解得所以所求双曲线的标准方程为＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，由解得所以所求双曲线的标准方程为＝1.
故所求双曲线的标准方程为＝1或＝1.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
误认为焦点一定在x轴上，得到答案：＝1，而漏掉焦点在y轴上的情况． 当题目条件没有明确双曲线的焦点所在轴时，应分两种情况进行讨论．同时注意两种情况下，渐近线方程是有区别的：焦点在x轴上时，渐近线方程为y＝±x；焦点在y轴上时，渐近线方程为y＝±x.
[课堂十分钟]
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)
A．－ B．－4
C．4 D．
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±3x
C．y＝±x D．y＝±x
3．已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)
A． B．4
C．2 D．
4．与双曲线＝1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为________．
5．求双曲线9x2－y2＝81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
2．2　双曲线的简单几何性质
新知初探·课前预习
要点
x≤－a　x≥a　y≤－a　y≥a　坐标轴　原点　A1A2　2a　B1B2　2b　a　b　(1，＋∞)　
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由题意知2a＝2，2b＝4
∴a＝1，b＝2，∴a2＝1，b2＝4
又双曲线的焦点位置不确定，故选D.
答案：D
3．解析：由双曲线方程得：a＝，b＝1，∴渐近线方程为：y＝±x＝±x.故选B.
答案：B
4．解析：由题意知渐近线与x轴的夹角θ＝
∴＝tan ＝1　∴e＝＝
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：将方程9y2－16x2＝144化为标准方程＝1，由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，
∴c＝＝＝5，焦点的坐标是(0，－5)，(0，5)，渐近线方程为y＝±x.
跟踪训练1　解析：由双曲线的方程可得，a2＝4，b2＝12，c2＝a2＋b2＝16，所以a＝2，b＝2，c＝4；
所以实轴长2a＝4，离心率＝2，渐近线方程为y＝±x＝±x，所以A不正确；B，C正确；
因为准线方程为x＝＝1，设渐近线y＝x与渐近线的交点为A，两个方程联立可得A(1，)，另一条渐近线的方程为：x＋y＝0，所以A到它的距离为d＝＝，所以D不正确．
答案：BC
例2　解析：(1)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由题意知＝.
又∵双曲线过点P(，2)，∴＝1，
依题意可得解得
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
(2)设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝.
由题意得解得
∴所求的双曲线方程为＝1.
解析：(3)方法一　当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为＝1，由渐近线方程为y＝±x得，
＝，2c＝10，由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5.
∴双曲线方程为＝1.
同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线方程为＝1.
即所求双曲线方程为＝1或＝1.
方法二　由渐近线方程为y＝±x可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即＝1.
由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5.
∴所求双曲线方程为＝1或＝1.
跟踪训练2　解析：(1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D.
(2)由－y2＝1，得双曲线的渐近线为y＝±x.设双曲线方程为：－y2＝λ(λ<0)，
∴＝1，∴－λ－2λ＝36，∴λ＝－12.
故双曲线方程为＝1.
解析：(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)．
综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：(1)D　(2)＝1　(3)－y2＝1
例3　解析：(1)由题意得，双曲线的离心率e2＝()2＝＝1＋(1＋)2，因为是减函数，所以当a>1时，0<<1，所以2(2)不妨设焦点F(c，0)，虚轴的端点B(0，b)，则kFB＝－.又渐近线的斜率为±，所以由直线垂直得－·＝－1(斜率为－的直线显然不符合)，即b2＝ac.
又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
答案：(1)B　(2)
跟踪训练3　解析：(1)由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，
∴－2＝－·4，∴a＝2b.
方法一　设b＝k，则a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.
方法二　e2＝＋1＝＋1＝，故e＝.
(2)双曲线E：＝1的渐近方程为y＝±x，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形OAB中，
由∠AOF＝∠BOF＝∠ABO＝30°，
可得＝tan 30°＝，
∴＝＝1＋＝1＋＝，
∴e＝.
答案：(1)D　(2)
[课堂十分钟]
1．解析：双曲线方程化为标准形式：y2－＝1，
则有：a2＝1，b2＝－，
由题设条件知，2＝，∴m＝－.故选A.
答案：A
2．解析：由题意，该双曲线的离心率e＝＝，则＝2，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x即y＝±2x.故选A.
答案：A
3．解析：由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.故选D.
答案：D
4．解析：解法一：设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，由题意，易求c＝2.
又双曲线过点(3，2)，∴＝1
又∵a2＋b2＝(2)2，∴a2＝12，b2＝8.
故所求双曲线方程为＝1.
解法二：设双曲线方程为＝1，(－4将点(3，2)代入得k＝4，故所求双曲线方程为＝1.
答案：＝1
5．解析：将9x2－y2＝81变形为＝1，即＝1，
∴实轴长2a＝6，虚轴长2b＝18，顶点坐标为(3，0)，(－3，0)；
焦点坐标为(3，0)，(－3，0)，离心率e＝的渐近线方程为y＝±3x.

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