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3.1　抛物线及其标准方程
[教材要点]
要点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作__________．点F叫作抛物线的________，直线l叫作抛物线的______．
状元随笔　(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)注意定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
例如，到点F(0，1)与到直线l：x＋y－1＝0的距离相等的点的轨迹方程为x－y＋1＝0，轨迹是一条直线．
要点二　抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
________ ________ ________
________ ________ ________
________ ________ ________
________ ________ ________
状元随笔　1.只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．
2．标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
3．焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，通常又可以写成y＝ax2，这与以前所学习的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y＝ax2求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛物线的方程化成标准形式．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　　)
(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　)
(3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．(　　)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(　　)
2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
3．抛物线x＝4y2的准线方程是(　　)
A．y＝ B．y＝－1
C．x＝－ D．x＝
4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________．
题型一　求抛物线的标准方程
角度1　直接法求抛物线方程
例1　(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y
(2)准线方程为y＝的抛物线的标准方程是________．
方法归纳
在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程．
角度2　待定系数法求抛物线方程
例2　(1)顶点在原点，且过点(－4，4)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝－4y
(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为________．
方法归纳
根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类：(1)焦点在x轴上的抛物线的标准方程可以设为y2＝mx(m≠0)，m>0时焦点在x轴的正半轴上，m<0时焦点在x轴的负半轴上；(2)焦点在y轴上的抛物线的标准方程可以设为x2＝my(m≠0)，m>0时焦点在y轴的正半轴上，m<0时焦点在y轴的负半轴上．
跟踪训练1　(1)已知抛物线的焦点坐标是(－1，0)，则抛物线的标准方程是(　　)
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．y2＝4x D．y2＝－4x
(2)准线与直线x＝1的距离为3的抛物线的标准方程是________．
题型二　抛物线的定义及其应用
例3　已知圆C的方程为x2＋y2－10x＝0，求与y轴相切且与圆C外切的动圆圆心P的轨迹方程．
方法归纳
若动圆P与定圆C外切且与定直线l相切，则：(1)当定圆与定直线相切时，轨迹为抛物线和一条射线(除去切点)；(2)当定圆与定直线相离时，轨迹是一条抛物线．
跟踪训练2　已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的点M(1，m)到其焦点F的距离为2，求C的方程并求其准线方程．
题型三　与抛物线有关的最值问题
例4　(1)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．
(2)已知定点M(a，0)，试在抛物线y2＝2px(p>0)上求一点N，使得|MN|最小．
方法归纳
解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：①定义法；②函数法．
跟踪训练3　(1)已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足|AF|＋|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
(2)已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，F(1，0)，A(4，3)，则|PA|－|PF|的最大值为________；最小值为________．
易错辨析　忽略抛物线标准方程的特征致误
例5　若抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值是________.
解析：把抛物线方程 y＝ax2化为标准方程得x2＝y，所以－＝2，解得a＝－.
答案：－
【易错警示】
易错原因 纠错心得
受二次函数的影响，误以为y＝ax2就是抛物线的标准方程，从而得到－＝2，即a＝－8的错误结论． 根据抛物线方程求准线方程时，应先把抛物线的方程化为标准方程，即等式左端是二次项且系数是1，等式右端是一次项，这样才能准确写出抛物线的准线方程．
[课堂十分钟]
1．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)
A．y＝－1 B．y＝－2
C．x＝－1 D．x＝－2
2．焦点在x轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝±2x D．y2＝±4x
3．[多选题]已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线＝1上，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝－8x
4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，则抛物线的标准方程和m的值分别为________和________．
5．已知点P在抛物线y2＝4x上，求点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为________．
3．1　抛物线及其标准方程
新知初探·课前预习
要点一
抛物线　焦点　准线　
要点二
y2＝2px(p>0)　F(，0)　x＝－　y2＝－2px(p>0)　
F　x＝　x2＝2py(p>0)　F(0，)　y＝－　x2＝－2py(p>0)　F(0，－)　y＝
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.故选C.
答案：C
3．解析：由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.故选C.
答案：C
4．解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有2＋＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝16.
∴m＝±4.
答案：±4
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由已知得＝3，p＝6.∴抛物线的标准方程是x2＝±12y.
(2)由题意知＝，所以p＝，所以抛物线的标准方程是x2＝－y.
答案：(1)C　(2)x2＝－y
例2　解析：(1)设抛物线方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝2p2y(p2>0)，把(－4，4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.故选C.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.
答案：(1)C　(2)x2＝10y或x2＝－10y
跟踪训练1　解析：(1)由题意知抛物线的焦点在x轴负半轴上，且＝1，得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选D.
(2)由准线平行于y轴，可设抛物线的方程为y2＝mx(m≠0).
当m>0时，2p＝m，所以p＝，抛物线的准线方程为x＝－，依题意得1－(－)＝3，所以m＝8，所以抛物线的方程为y2＝8x；
当m<0时，2p＝－m，所以p＝－，抛物线的准线方程为x＝－，依题意得＝3，所以m＝8或m＝－16，显然m＝8不合题意，所以m＝－16，所以抛物线的方程为y2＝－16x.
综上，抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－16x.
答案：(1)D　(2)y2＝8x或y2＝－16x
例3　解析：设点P的坐标为(x，y)，动圆的半径为R，
∵动圆P与y轴相切，∴R＝|x|.
∵动圆与定圆C：(x－5)2＋y2＝25外切，
∴|PC|＝R＋5，∴|PC|＝|x|＋5，
当点P在y轴右侧时，x>0，则|PC|＝x＋5，
∴点P的轨迹是以(5，0)为焦点的抛物线，则圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)；
当点P在y轴左侧时，x<0，则|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹是x轴的负半轴，即方程为y＝0(x<0).
∴点P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0).
跟踪训练2　解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，
由抛物线的定义可知|MF|＝1－＝2，
解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x；准线方程为x＝－1.
例4　解析：
(1)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得，
∴点P到准线x＝－的距离d＝|PF|，
易知点A(0，2)在抛物线y2＝2x的外部，
连接AF，交y2＝2x于点P′，
欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，
∴其最小值为|AF|＝＝
(2)设抛物线y2＝2px(p>0)上一点N(x0，y0)，则有y＝2px0，因为x0≥0，且|MN|2＝(x0－a)2＋y＝x－2ax0＋a2＋2px0＝x－(2a－2p)x0＋a2＝[x0－(a－p)]2－p2＋2ap.
①当a>p时，x0＝a－p使|MN|最小，则N(a－p，±).
②当a≤p时，x0＝0使|MN|最小，则N(0，0).
答案：(1)　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程x＝－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，
解得x1＋x2＝6，
∴线段AB的中点横坐标为3，
∴线段AB的中点到y轴的距离为3，故选B.
(2)可判断A，F都在抛物线的内侧，∴||PA|－|PF||≤|FA|，即－|FA|≤|PA|－|PF|≤|FA|，而|AF|＝3，∴|PA|－|PF|的最大值是3，最小值是－3.
答案：(1)B　(2)3　－3
[课堂十分钟]
1．解析：因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以准线方程为y＝－1.故选A.
答案：A
2．解析：根据焦点到准线的距离为2，可得p＝2，2p＝4，结合抛物线焦点所在轴以及开口方向，即可求得抛物线的方程为y2＝±4x，选D.
答案：D
3．解析：由题意知抛物线的焦点即为双曲线－＝1的实轴顶点，由双曲线－＝1的实轴顶点为(±2，0)，所以抛物线的方程为y2＝－8x或y2＝8x.故选AD.
答案：AD
4．解析：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，焦点F，
由题设可得
解得或
故所求的抛物线方程为y2＝8x，m的值为±2.
答案：y2＝8x　±2
5．解析：将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离．过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PR|(F为焦点)，当P，Q，R三点共线时，|PQ|＋|PR|取得最小值，最小值为点Q到准线的距离，因为准线方程为x＝－1，故最小值为3.
答案：3

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