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3.2　抛物线的简单几何性质
[教材要点]
要点　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py (p>0)
图形
性质 焦点 ________ ________ ________ ________
准线 ________ ________ ________ ________
范围 ________ ________ ________ ________
对称轴 ________ ________
顶点 ________
离心率 e＝________
状元随笔　(1)通过上述表格可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为O(0，0)，离心率均为1，它们都是轴对称图形，关于焦点所在的坐标轴对称．
(2)抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①抛物线、椭圆和双曲线都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率取值范围是01，抛物线的离心率是e ＝1；
⑤椭圆和双曲线都有2条准线，而抛物只有1条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，所以在画抛物线时切忌将其画成双曲线的一支的形式．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)抛物线x2＝2py(p>0)有一条对称轴为y轴．(　　)
(2)抛物线y＝－x2的准线方程是x＝.(　　)
(3)抛物线是中心对称图形．(　　)
(4)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　)
2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是(　　)
A．x2＝16y　　　　B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
3．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D．
4．以原点为顶点，x轴为对称轴且焦点在2x－4y＋3＝0上的抛物线方程是________．
题型一　由抛物线的几何性质求其方程
例1　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
方法归纳
1．代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程(组)求出未知数．
2．几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦准距，从而得到抛物线的标准方程．
跟踪训练1　(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　)
A．y2＝x B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
(2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．
题型二　由抛物线的方程研究其几何性质
例2　已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，则△AOB的面积为________．
方法归纳
把握三个要点，确定抛物线的简单几何性质
1．开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．
2．位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴．
3．定值：焦点到准线的距离为|p|，过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2|p|.
跟踪训练2　抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
题型三　抛物线的实际应用
例3　河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
方法归纳
求抛物线实际应用的五个步骤
(1)建立适当的坐标系．
(2)设出合适的抛物线标准方程．
(3)通过计算求出抛物线的标准方程．
(4)求出需要求出的量．
(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
跟踪训练3　
一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
易错辨析　考虑不全致误
例4　设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，则抛物线的标准方程为________．
解析：y＝mx2(m≠0)可化为x2＝y，其准线方程为y＝－.由题意知－＝－2或－＝4，解得m＝或m＝－，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
答案：x2＝8y或x2＝－16y
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题在解答过程中容易出现两个错误：一是不能正确理解抛物线标准方程的形式，错误地将所给方程看作是抛物线的标准方程，得到准线方程为y＝－；二是得到准线方程后，只分析其中的一种情况，而忽略了另一种情况，只得到一个解． 求与抛物线方程有关问题时，首先要把抛物线方程化为标准方程，其次再根据题意求解，求解时，一定要考虑抛物线的几种情况，否则漏解致误．
[课堂十分钟]
1．已知抛物线y＝2px2过点(1，4)，则抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(1，0) B．
C． D．(0，1)
2．准线方程为y＝的抛物线的标准方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝－y
C．y2＝－x D．y2＝x
3．抛物线y2＝24ax(a>0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝8x B．y2＝12x
C．y2＝16x D．y2＝20x
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________．
5．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．
3．2　抛物线的简单几何性质
新知初探·课前预习
要点
(，0)　(－，0)　(0，)　(0，－)　x＝－　x＝　y＝－　y＝　x≥0，y∈R　x≤0，y∈R　y≥0，x∈R　y≤0，x∈R　x轴　y轴　(0，0)　1
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.故选D.
答案：D
3．解析：抛物线方程可化为x2＝y，其准线方程为y＝－，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离．∴点M到x轴的距离是.故选D.
答案：D
4．解析：由题意，令y＝0，得x＝－，即抛物线的焦点坐标为，∴抛物线的方程为：y2＝－6x.
答案：y2＝－6x
题型探究·课堂解透
例1　解析：解法一：由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
所以解得
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
解法二：设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)，准线l：y＝，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
跟踪训练1　解析：(1)设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(±)(取点A在x轴上方)，
则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C.
(2)根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为
y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，
则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x.
答案：(1)C　(2)y2＝3x或y2＝－3x
例2　解析：∵△AOB是等边三角形，A、B在抛物线y2＝x上，∴顶点A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称，
不妨设A(y0，)(y0>0)，则B(y0，－)．
由|AF|＝y0＋＝，解得y0＝3，∴＝，
∴△AOB的边长|AB|＝2＝2，
∴△AOB的面积为×(2)2×＝3.
答案：3
跟踪训练2　
解析：如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，则B点坐标为(p，－)．又点B在双曲线上，故＝1.
解得p＝6.
答案：6
例3　解析：如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y.
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
由22＝－yA，得yA＝－.
又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，
则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．
跟踪训练3　
解析：以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵AB是OD的4倍，
∴点B的坐标为.
由点B在抛物线上，得＝－2p·，
∴p＝.∴抛物线方程为x2＝－ay.
设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，
∴y0＝－，∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝，
令h>3，则>3，解得a>6＋或a<6－(舍去)．
∴a的最小整数值为13.
[课堂十分钟]
1．解析：由抛物线y＝2px2过点(1，4)，可得p＝2，
∴抛物线的标准方程为x2＝y，则焦点坐标为，故选C.
答案：C
2．解析：由准线方程为y＝知抛物线焦点在y轴负半轴上，且＝，则p＝.故所求抛物线的标准方程为x2＝－y.故选B.
答案：B
3．解析：由题意知6a＋3＝5，解得a＝，因此抛物线方程为y2＝8x.
答案：A
4．解析：把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2，0)．故点A到焦点的距离为4.
答案：4
5．解析：由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．

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