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????????4．1　直线与圆锥曲线的交点
[教材要点]
要点一　直线与椭圆的位置关系
设直线与椭圆方程分别为：y＝kx＋m与＝1联立方程组，消去y得：(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2(m2－b2)＝0.
(1)Δ>0 方程组有两解 ________ ________；
(2)Δ＝0 方程组有一解 ________ ________；
(3)Δ<0 方程组无解 ________ ________．
要点二　直线与双曲线的位置关系
设直线与椭圆方程分别为：y＝kx＋m与＝1联立方程组，消去y得(b2－a2k2)x2－2kma2x＋a2(m2＋b2)＝0.
1．二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行或重合．重合：无交点；平行：有一个交点．
2．二次项系数不为0时，上式为一元二次方程．
3．(1)Δ>0 直线与双曲线________；
(2)Δ＝0 直线与双曲线________；
(3)Δ<0 直线与双曲线________．
要点三　直线与抛物线的位置关系
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况．(　　)
(2)直线与双曲线有一个公共点，则直线与双曲线相切．(　　)
(3)直线与抛物线有一个公共点，则直线与抛物线相切．(　　)
(4)过定点P(0，1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线，共可作3条．(　　)
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　)
A．2　　　B．± C．±2　　　D．±2
4．直线l过点P(－2，4)，且与抛物线y2＝－8x有且只有一个公共点，这样的直线有________条．
题型一　直线与椭圆的交点问题
例1　(1)已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
(2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是________．
方法归纳
直线与椭圆的位置关系判断
判断直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用．
跟踪训练1　判断直线y＝2x－2与椭圆＝1是否有公共点，如有，求出公共点的坐标．
题型二　直线与双曲线的交点问题
例2　过点P(1，1)与双曲线＝1只有一个交点的直线有多少条？
变式探究　将本例中的点(1，1)改为(1)A(3，4)，(2)B(3，0)，(3)C(4，0)，(4)D(0，0)结果又是怎样的？
方法归纳
直线与双曲线的位置关系的判断方法
1．代数法
将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解．
2．数形结合法
判断直线与双曲线的交点情况时，可以根据双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系，确定直线与双曲线的位置关系．
跟踪训练2　直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B，则实数k的取值范围为________．
题型三　直线与抛物线的交点问题
例3　在抛物线y2＝64x上求一点，使它到直线l：4x＋3y＋46＝0的距离最短，并求此距离．
方法归纳
求抛物线上的点到直线的距离最短的策略
1．先在抛物线上设一点，再利用点到直线的距离与二次函数知识求解；
2．根据已知直线设与抛物线相切的直线，联立方程组由Δ求得所设直线的方程，再由平行线间的距离公式求解．
跟踪训练3　已知点A(0，2)，B(2，0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
易错辨析　忽略直线与抛物线有一个公共点的特殊情况致误
例4　[多选题]过定点P(－1，1)且与抛物线y2＝2x只有一个交点的直线l的方程为(　　)
A．y＝－1
B．y＝1
C．(－1)x－2y＋＋1＝0
D．(1＋)x＋2y＋－1＝0
解析：(1)当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．
(2)当直线l的斜率存在时，
①若直线l与抛物线的对称轴平行，则直线l的方程为y＝1，此时直线l与抛物线只有一个公共点．
②若直线l与抛物线的对称轴不平行，设直线l的方程为y－1＝k(x＋1)(k≠0)
即y＝k(x＋1)＋1(k≠0)
由消去x，得ky2－2y＋2k＋2＝0
由题意知Δ＝4－4k(2k＋2)＝0，解得k＝
故所求直线l的方程为：
(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0
综上所述，所求直线l的方程为y＝1或(－1)x－2y＋＋1＝0或(1＋)x＋2y＋－1＝0.
故选BCD.
答案：BCD
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题易错的地方是只考虑直线l的斜率k存在且不为0时的情形，而忽略k不存在及直线l平行于抛物线的对称轴这两种情形． 在涉及直线与抛物线只有一个交点的问题时，应提防两处陷阱：一是直线与对称轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，这是由Δ＝0无法得到的(事实上，此时消元后对应的“一元二次”方程的“二次”项系数一定为零)；二是若由Δ＝0仅得到一条直线，则意味着斜率不存在的直线可能与抛物线相切(仅有一个交点)，应检验斜率不存在的直线是否满足条件．
[课堂十分钟]
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．若直线l：y＝ax＋1与双曲线：3x2－y2＝1的左、右两支各有一个公共点，则实数a的取值范围是________．
4．直线y＝kx＋2与焦点在x轴上的椭圆＝1(b>0)恒有两个公共点，则实数b的取值范围是________．
5．已知一条直线l与椭圆＝1相切于点P，求切线l的方程．
4．1　直线与圆锥曲线的交点
新知初探·课前预习
要点一
(1)两个交点　相交　(2)一个交点　相切　(3)无交点　相离
要点二
3．(1)相交　(2)相切　(3)相离
要点三
相交　相切　相离
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：联立消去y，得3x2＋2x－1＝0，
Δ＝22＋12＝16>0，
∴直线与椭圆相交．故选C.
答案：C
3．解析：由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.
由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.
∴m＝±2.故选C.
答案：C
4．解析：由题意可知点P在抛物线上，过抛物线上一点可做一条切线，以及垂直于准线的一条直线，与抛物线只有一个公共点，共2条．
答案：2
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)把x＋y－3＝0代入＋y2＝1，得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0.∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．
(2)直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1，1)在椭圆内或在椭圆上．所以≤1，即m≥，又0答案：(1)C　(2)[，5)
跟踪训练1　解析：联立直线与椭圆的方程，可得方程组，
解方程组可得或，
因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为(0，－2)，.
例2　解析：利用图象定性解决
(1)直线与双曲线相切，有两条．
(2)直线与渐近线平行，有两条．
所以过点P(1，1)与双曲线＝1只有一个交点的直线共有4条．
变式探究　解析：(1)过A点有两条：垂直于x轴一条，平行于另一条渐近线1条．
(2)过B点有1条：垂直于x轴一条．
(3)过C点有两条：平行于两条渐近线各有一条．
(4)过D点的没有．
跟踪训练2　解析：联立方程组
得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0
则
解得－2答案：(－2，－)
例3　解析：方法一　设抛物线上一点P(x0，y0)
则点P到直线l的距离为：
d＝＝
又
代入上式得：d＝＝＝
∴当y0＝－24时，dmin＝2
此时P(9，－24)，最短距离为2.
方法二　设直线4x＋3y＋m＝0与抛物线相切．
由得＋3y＋m＝0
由Δ＝0得m＝36.
此时解得y＝－24.
∴x＝9
所以所求点为(9，－24)．
最短距离为d＝＝＝2.
跟踪训练3　解析：直线AB的方程是x＋y－2＝0设C到直线x＋y－2＝0的距离为d，S△ABC＝|AB|·d＝×2d＝2，
∴d＝.
方法一　平面上到直线AB的距离为的所有点的集合，为与直线AB平行且距离为的两条直线．所以问题转化为这两条平行直线与抛物线一共有几个交点．求出两条直线方程，分别为x＋y＝0以及x＋y－4＝0.分别将两条直线方程与抛物线方程联立，可得x2＋x＝0，有两解0和－1；x2＋x－4＝0，Δ＝1＋16>0有两解．两条直线与抛物线共4个交点，故有4个点满足题意，选A.
方法二　设C(x，x2)，则d＝＝，
∴x2＋x－4＝0或x2＋x＝0.
方程x2＋x－4＝0，判别式Δ＝17>0，方程有两个不等实根；
解方程x2＋x＝0得x1＝0，x2＝－1，故C点的个数为4，故选A.
答案：A
[课堂十分钟]
1．解析：∵y＝kx－k＋1，∴y－1＝k(x－1)，过定点(1，1)，定点在椭圆＝1内部，故选A.
答案：A
2．解析：由图象可知两条抛物线的切线
和一条平行于x轴的直线，共3条．故选C.
答案：C
3．解析：由得(3－a2)x2－2ax－2＝0
则Δ＝4a2＋8(3－a2)>0，
解得－又∵A，B在两支上
∴x1x2＝－<0，∴3－a2>0
解得－答案：(－)
4．解析：直线恒过定点(0，2)，要保证直线与椭圆有两个公共点则定点需在椭圆内，所以<1，解得b>2，又因为椭圆的焦点在x轴上，所以b答案：(2，4)
5．解析：设过点P的直线l的方程为y－＝k(x－1)，
将其与椭圆的标准方程＝1联立，
消去参数y可得方程(3＋4k2)x2＋(12k－8k2)x＋4k2－12k－3＝0，因为该直线与椭圆相切，所以其判别式Δ＝(12k－8k2)2－4(3＋4k2)(4k2－12k－3)＝0 k＝－，
∴该直线方程为y－＝－(x－1)，即y＝－x＋2.

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