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4．2　直线与圆锥曲线的综合问题
[教材要点]
要点一　直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长
|P1P2|＝|x1－x2|＝
或|P1P2|＝|y1－y2|＝(k≠0)
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，利用两点间的距离公式直接运算．
　在计算弦长时要特别注意一些特殊情况：①直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；②直线过圆锥曲线的焦点．在出现这些情况时可以直接计算或利用曲线的统一定义把弦长进行转化．
要点二　中点弦问题
直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，与弦AB中点有关的问题称为中点弦问题，这类问题的解决常用到“点差法”，其方法是：将A，B两点的坐标代入椭圆方程中，得＋＝1，①
＋＝1，②
①—②，得＋＝0，
即＋＝0③
设M(x0，y0)为AB的中点，则有
同时有直线AB的斜率kAB＝.⑥
将④⑤⑥代入③得kAB＝－.
　直线与双曲线、直线与抛物线的中点弦问题同样用“点差法”，同学们自己推导．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为.(　　)
(2)过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦长为.(　　)
(3)过抛物线的焦点且垂直于坐标轴的直线被抛物线截得的弦长为2p.(　　)
(4)过抛物线焦点的直线被抛物线截得的弦长公式为|AB|＝x1＋x2＋p.(　　)
2．已知斜率为2的直线l经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆交于A，B两点，则|AB|＝(　　)
A．　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．
3．若椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为(　　)
A．2 B．－2 C． D．－
4．斜率为的直线经过抛物线x2＝8y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为________．
题型一　弦长问题
例1　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且a，b，1依次成等比数列，其离心率为，过点M(0，1)的动直线l与椭圆相交于A、B两点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)当|AB|＝时，求直线l的方程．
　如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
方法归纳
处理弦长问题的两个注意点
1．当斜率不存在时，可直接求交点坐标，再用两点间的距离公式求弦长．
2．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．
跟踪训练1　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
题型二　弦的中点问题
例2　过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求此弦所在的直线方程．
方法一　联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．
方法二　点差法
设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
方法归纳
解决椭圆中点弦问题的方法
1．根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2．点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则
由①—②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－
跟踪训练2　(1)已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点，线段AB的中点为M(2，1)，则直线l的方程为(　　)
A．2x－y－3＝0 B．2x－y－5＝0
C．x－2y＝0 D．x－y－1＝0
(2)双曲线的中心在原点，一个焦点坐标为F(，0)，直线y＝x－1与双曲线相交于M，N两点，线段MN中点的横坐标为－，则双曲线的方程为________．
题型三　与弦长有关的综合问题
例3　已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦距为2，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A、B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若k＝1，求|AB|的最大值．
方法归纳
解决圆锥曲线中最值(范围)问题的常用方法
(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
(2)基本不等式法：如能转化为定和或定积的问题，可以考虑用基本不等式求其最值．
跟踪训练3　
已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
[课堂十分钟]
1．过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为(　　)
A．5　　　　B．6　　　　C．　　　　D．7
2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　)
A．10 B．8 C．6 D．4
3．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋(y＋1)2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是(　　)
A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－3，0)
D．(－2，0)
4．已知双曲线－y2＝1，则过点A(3，－1)，且被点A平分的双曲线的弦MN所在直线方程是________．
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆方程．
4．2　直线与圆锥曲线的综合问题
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：因为直线l经过椭圆的右焦点F1(1，0)，且斜率为2，则直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.由得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，所以|AB|＝＝.故选D.
答案：D
3．解析：设弦端点
)，∵斜率k＝＝－＝－＝－.故选D.
答案：D
4．解析：方法一　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则对于抛物线x2＝8y，焦点弦长|AB|＝p＋y1＋y2＝4＋y1＋y2.
因为抛物线x2＝8y的焦点为(0，2)，且直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝x＋2，代入抛物线方程x2＝8y，消去x整理得y2－6y＋4＝0，从而y1＋y2＝6，所以|AB|＝10.
故线段AB的长为10.
方法二　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意得抛物线的焦点为(0，2)，故直线AB的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0，
由消去y得x2－4x－16＝0，
则x1＋x2＝4，x1x2＝－16，代入弦长公式|AB|＝，得|AB|＝10.
答案：10
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由题意知，解得
所以椭圆的标准方程为＝1；
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，
联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)＝8(4k2＋1)>0，
设A、B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－(*)，
所以|AB|＝＝·＝，
整理得4k4－5k2＋1＝0，解得k2＝1或k2＝，
所以k＝±1或k＝±，
综上，直线l的方程为y＝±x＋1或y＝±x＋1.
跟踪训练1　解析：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F(，0)，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，
由题设可得x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.
从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝.
例2　解析：方法一　由题意，易知直线的斜率必存在．
设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4
(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，
则
)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝－＝－，即kAB＝－.
又直线AB过点M(2，1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
跟踪训练2　解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝＝2，
所以k＝2，因为直线过点M(2，1)，
所以直线l的方程为2x－y－3＝0.故选A.
(2)由题意知MN中点的坐标为(－，－)，设双曲线的方程为＝1(a>0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
＝1，①
＝1.②
①－②得＝，即
＝·，所以＝，解得a2＝2，故双曲线的方程为＝1.
答案：(1)A　(2)＝1
例3　解析：(1)由题意得2c＝2，所以c＝，
又e＝＝，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1
所以椭圆M的标准方程为＋y2＝1；
(2)设直线AB的方程为y＝x＋m，
由消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)＝48－12m2>0，即m2<4，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|AB|＝|x1－x2|
＝·＝，
易得当m2＝0时，|AB|max＝，故|AB|的最大值为.
跟踪训练3　解析：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1，0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3，2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，得
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1，2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
[课堂十分钟]
1．解析：椭圆的右焦点为(4，0)，直线的斜率k＝1，所以直线AB的方程为y＝x－4，由得34x2－200x＋175＝0，故x1＋x2＝，x1x2＝，则|AB|＝·＝.
答案：C
2．解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B.
答案：B
3．解析：因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.将直线方程代入抛物线方程并整理得
x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.故选A.
答案：A
4．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则

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