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1．2　空间两点间的距离公式
[教材要点]
要点　空间两点间的距离
1．已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P、Q两点间的距离为|PQ|＝______________．
2．空间中任意一点P(x，y，z)与原点O的距离为|OP|＝________．
状元随笔　空间两点间的距离公式与平面两点间的距离公式的区别与联系：
平面两点间的距离公式是空间两点间的距离公式的特例：①在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝；②在x轴上的两点A，B对应的实数分别是x1，x2，则|AB|＝|x2－x1|.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间两点间的距离公式与两点顺序有关．(　　)
(2)空间两点间的距离公式不适合同一平面内的两点．(　　)
(3)将空间两点间距离公式中两点的坐标对应互换，结果会改变．(　　)
(4)点A(1，1，0)与点B(1，1，1)之间的距离是1.(　　)
2．空间直角坐标系中．点A(－3，4，0)和点B(2，－1，6)的距离是(　　)
A．2 B．2
C．9 D．
3．在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若|AB|＝，则实数a的值是(　　)
A．3或5 B．－3或－5
C．3或－5 D．－3或5
4．已知点A(4，5，6)，B(－5，0，10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标是________．
题型一　求空间两点间的距离
例1　已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
方法归纳
1．求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．
2．若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．
跟踪训练1　如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1，1，1)的距离是________．
题型二　求空间点的坐标
例2　已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值时A、B两点的坐标，并求此时的|AB|.
方法归纳
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，结合已知条件确定点的坐标．
跟踪训练2　在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，－3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
题型三　空间距离公式的应用
例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O xyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
(2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．
方法归纳
与平面直角坐标系中类似，在空间直角坐标系中也常常需要设点的坐标，此时，若注意利用点的特殊性，往往能使求解过程简化，如本例(2)设M(0，m，m)便是如此．
跟踪训练3　如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，DP＝a，当a为何值时，NP的长最小？
易错辨析　开方运算时漏解致误
例4　给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为.
解析：设点P的坐标是(x，0，0)，由题意，|P0P|＝，即＝，
∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.
∴点P坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．
【易错警示】
易错原因 纠错心得
解方程(x－4)2＝25时容易漏解． 开方运算是数学运算最基础的，只要细心认真即可．
[课堂十分钟]
1．已知空间两点A(3，，3，1)，B(－1，1，5)，则线段AB的长度为(　　)
A．6 B．2
C．4 D．2
2．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
4．点A(1，t，0)和点B(1－t，2，1)的距离的最小值为________．
5．在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6，5，1)的距离最小．
1．2　空间两点间的距离公式
新知初探·课前预习
要点
1.
2.
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：|AB|＝＝.
答案：D
3．解析：由题意得|AB|＝＝，解得a＝3或5，故选A.
答案：A
4．解析：设点P(0，0，z).则由|PA|＝|PB|，
得＝，
解得z＝6，即点P的坐标是(0，0，6).
答案：(0，0，6)
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由空间两点间距离公式得
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴△ABC中最短边是|BC|，其长度为.
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为(2,3,)，
∴AC边上中线的长度为＝.
跟踪训练1　解析：由题意得P(0，0，1)或P(0，0，－1)，
所以|PA|＝＝.，
或|PA|＝＝..
答案：或.
例2　解析：由空间两点的距离公式得
|AB|＝
＝＝，
当x＝时，|AB|有最小值＝.
此时A（），B（1，）.
跟踪训练2　解析：假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使△MAB为等边三角形．
由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，
所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形．
因为|MA|＝＝，|AB|＝2.
于是＝2，解得y＝±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0).
例3　解析：(1)由题意知P的坐标为（）.
P关于y轴的对称点P′的坐标为（）.
(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有|MP|＝＝＝，
当m＝时|MP|取到最小值，所以点M为(0,).
跟踪训练3　
解析：如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，M(2，1，0)，N(1，2，3)，
设点P的坐标为(x，y，0)，
则x＝2y(0≤y≤1).
|NP|＝
＝
＝＝，
所以当y＝时，|NP|取最小值，
此时a＝＝＝，
所以当a＝时，NP的长最小．
[课堂十分钟]
1．解析：|AB|＝＝6.故选A.
答案：A
2．解析：由距离公式得：
|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．故选C.
答案：C
3．解析：∵P在z轴上，可设P(0，0，z)，
由|PA|＝|PB|，
∴
＝，解得z＝3.
答案：(0，0，3)
4．解析：|AB|＝＝，
∴当t＝1时，|AB|的最小值为.
答案：
5．解析：由已知，可设M(x，1－x，0)，
则|MN|＝＝.
∴当x＝1时，|MN|min＝，
∴点M的坐标为(1，0，0).

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