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3．2　空间向量运算的坐标表示及应用
第1课时　空间向量运算的坐标表示　空间向量平行(共线)和垂直的条件
[教材要点]
要点　空间向量运算的坐标表示
1．标准正交基：在空间直角坐标系O xyz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基________，这组基叫作标准正交基．
2．坐标向量：对于任意一个向量p＝xi＋yj＋zk，把三元有序实数组(x，y，z)叫作向量p在标准正交基{i，j，k}下的坐标，记作p＝________，单位向量i，j，k都叫作坐标向量．
3．坐标运算：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
则(1)a＋b＝________________
(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)(λ∈R)
(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于空间任意两个向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，若a与b共线，则＝＝.(　　)
(2)若向量＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标为(x1，y1，z1).(　　)
(3)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．(　　)
(4)空间向量的加法、减法、乘法坐标运算的结果依然是一个向量．(　　)
2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于(　　)
A．(16，0，4) B．(8，－16，4)
C．(8，16，4) D．(8，0，4)
3．已知空间向量a＝(2，2，－3)，b＝(0，6，m)，若a⊥b，则m＝(　　)
A． B．1
C．2 D．4
4．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝________．
题型一　向量运算的坐标表示
例1　已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，a－b，3a＋2b，a·b.
方法归纳
1．在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b2|，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等；
2．进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a)·(－b)，既可以利用运算律把它化成－2(a·b)，也可以先求出2a，－b后，再求数量积，计算(a＋b)·(a－b)，即可以先求出a＋b，a－b后，再求数量积也可以把(a＋b)·(a－b)写成a2－b2后计算．
跟踪训练1　已知在空间直角坐标系中A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5).
(1)求＋，－2，·；
(2)若点M满足＝＋，求点M的坐标．
题型二　空间向量平行、垂直的坐标表示
例2　设向量a＝(1，x，1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求满足下列条件时，实数x的值．
(1)a∥b；(2)a⊥b.
方法归纳
要熟练掌握向量平行和垂直的条件，借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算．在应用坐标形式下的平行条件时，一定注意结论成立的前提条件，在条件不明确时要分类讨论．
跟踪训练2　已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)设|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[课堂十分钟]
1．已知a＝(1，0，－1)，b＝(1，－2，2)，c＝(－2，3，－1)那么向量a－b＋2c＝(　　)
A．(0，1，2) B．(4，－5，5)
C．(－4，8，－5) D．(2，－5，4)
2．已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b(　　)
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
3．已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1).若向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行，则实数n的值是(　　)
A．6 B．－6
C．4 D．－4
4．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值是________．
5．若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，求顶点D的坐标．
第1课时　空间向量运算的坐标表示　
空间向量平行(共线)和垂直的条件
新知初探·课前预习
要点
1．{i，j，k}
2．(x，y，z)
3．(1)(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：4a＝(12，－8，4)，2b＝(－4，8，0)，∴4a＋2b＝(8，0，4)．故选D.
答案：D
3．解析：a·b＝12－3m＝0，解得m＝4.故选D.
答案：D
4．解析：＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ.
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)
∴解得∴m＋n＝－3.
答案：－3
题型探究·课堂解透
例1　解析：因为a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)．
所以a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)
＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6)；
3a＋2b＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1，4)
＝(3×2，3×(－1)，3×(－2))＋(2×0，2×(－1)，2×4)
＝(6，－3，－6)＋(0，－2，8)＝(6，－5，2)；
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝0＋1－8＝－7.
跟踪训练1　解析：(1)因为A(1，－2，4)，B(－2，3，0)，C(2，－2，－5)，
所以＝(－3，5，－4)，＝(－1，0，9)．于是＝(－4，5，5)．
又＝(－4，5，5)，＝(3，－5，4)，
因此－2＝(－10，15，－3)．
又＝(－3，5，－4)，＝(1，0，－9)，
所以·＝－3＋0＋36＝33.
(2)由(1)知，＝＝(－3，5，－4)＋(1，0，－9)＝，
若设M(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z－4)，
于是解得故M.
例2　解析：(1)①当x＝0时，a＝(1，0，1)，b＝(1，0，1)，a＝b，满足a∥b.
②当x＝1时，a＝(1，1，0)，b＝(0，－3，2)，不满足a∥b，∴x≠1.
③当x≠0时，且x≠1时，
由a∥b ＝＝ x＝2.
综上所述，当x＝0或x＝2时，a∥b.
(2)a⊥b a·b＝0，∴(1，x，1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0 1－x2－3x2＋1－x2＝0，
解得x＝±.∴当x＝±时，a⊥b.
跟踪训练2　解析：(1)因为＝(－2，－1，2)，且c∥
所以设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)
得|c|＝＝3|λ|＝3
解得λ＝±1，即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因为a＝＝(1，1，0)，b＝＝(－1，0，2)
所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k＋2，k，－4)
又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)
所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0
即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0
解得k＝2或－.
[课堂十分钟]
1．解析：a－b＋2c＝(1，0，－1)－(1，－2，2)＋2(－2，3，－1)＝(－4，8，－5)．
答案：C
2．解析：∵a·b＝1×0＋(－5)×6＋6×5＝0
∴a⊥b.故选A.
答案：A
3．解析：∵a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)，∴a＋b＝(1，－1，2)
又因为向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行
所以存在实数λ，使得λ(a＋b)＝c
∴解得，故选D.
答案：D
4．解析：因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，
又ka＋b与b互相垂直，
所以(ka＋b)·b＝0，即－(k－1)＋4＝0，解得k＝5.
答案：5
5．解析：由四边形ABCD为平行四边形知＝，
设D(x，y，z)，则＝(x－4，y－1，z－3)，＝(1，12，－6)
∴解得.
∴D的坐标为(5，13，－3)．第2课时　空间向量长度与夹角的坐标表示
[教材要点]
要点　空间向量长度与夹角的坐标表示
设向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
则(1)|a|＝＝________________；
(2)cos 〈a，b〉＝＝____________________．(a≠0，b≠0)
[基础自测]
1．已知向量a＝(1，3，3)，b＝(5，0，1)，则|a－b|等于(　　)
A.7 B．
C．3 D．
2．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为(　　)
A． B．或
C． D．或
3．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|a－b|＝________．
4．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则向量与的夹角为________．
题型一　给定坐标求长度与夹角
例1　(1)长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则向量与所成角的余弦值为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
(2)已知△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
方法归纳
解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．
跟踪训练1　已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)，计算：
(1)|2a－b|；
(2)cos 〈a，b〉．
题型二　建系求长度与夹角
例2　在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF；
(2)求异面直线EF与CG所成角的余弦值；
(3)求CE的长．
方法归纳
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
跟踪训练2　已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).
(1)求|2a＋b|；
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
易错辨析　忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误例3　已知a＝(5，3，－1)，b＝（2，t，），若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，即10＋3t＋>0，则t>－，又当夹角为0°时，存在λ>0，使b＝λa，
即（2，t，）＝λ(5，3，－1)，所以解得t＝.
综上，实数t的取值范围是(－)∪().
【易错警示】
易错原因 纠错心得
由a与b的夹角为锐角，得到a·b>0，但当a·b>0时，a与b的夹角不一定为锐角，还可能是共线同向，夹角为0°，解题时容易忽视这个条件，导致扩大了参数的范围． 空间向量a，b夹角为锐角的充要条件是“a·b>0，且a，b不同向”；a，b夹角为钝角的充要条件是“a·b<0，且a，b不反向”．如果在求解过程中，忽视两个向量共线的情况，就有可能扩大参数的取值范围，导致错误．
[课堂十分钟]
1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A．3 B．2 C． D．5
2．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(－2，1，1)，a，b夹角的余弦值为，则λ＝(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．2
3．已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　　)
A． B． C．4 D．8
4．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，0，)，B，C(－1，0，)，则角A的大小为________．
5．在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°.现将△ABC沿着与平面ABC垂直的方向平移到△A1B1C1的位置，已知AA1＝2，分别取A1B1，A1A的中点P，Q.
(1)求的模；
(2)求cos 〈，CB1〉，cos 〈BA1，CB1〉．
第2课时　空间向量长度与夹角的坐标表示
新知初探·课前预习
要点
[基础自测]
1．解析：|a－b|＝|(1，3，3)－(5，0，1)|＝|(－4，3，2)|＝＝.故选B.
答案：B
2．解析：∵a·b＝1＋n＝3，∴n＝2，
又|a|＝，b＝(1，1，2)，∴cos 〈a，b〉＝＝＝.
又〈a，b〉∈[0，π]，
∴向量a与b的夹角为.
若λ大于0，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为，
若λ小于0，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为π－＝，故选B.
答案：B
3．解析：由题，因为a⊥b，所以a·b＝－8＋2＋3x＝0，即x＝2，
所以b＝(－4，2，2)，则a－b＝(6，－1，1)，
所以|a－b|＝＝.
答案：
4．解析：∵＝(0，3，3)，＝(－1，1，0)，
∴||＝3，||＝，
·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3，
∴cos 〈〉＝＝，
又∵〈〉∈[0，π]，∴〈〉＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：
(1)建立坐标系如图，则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)．所以＝(－1，0，2)，＝(－1，2，1)，
故，〉＝＝.
所以向量与所成角的余弦值为.故选B.
(2)设＝λ，又＝(0，4，－3)．
则＝(0，4λ，－3λ)．＝(4，－5，0)，＝(－4，4λ＋5，－3λ)，
由·＝0，得λ＝－，∴＝(－4，)，
∴||＝5.故选C.
答案：(1)B　(2)C
跟踪训练1　解析：(1)∵a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)，
∴2a－b＝2(0，－1，1)－(2，2，1)＝(－2，－4，1)，
∴|2a－b|＝＝.
(2)∵a＝(0，－1，1)，b＝(2，2，1)，
∴a·b＝(0，－1，1)·(2，2，1)＝－2＋1＝－1，
|a|＝，|b|＝＝＝3，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.
例2　解析：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，
则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G.
所以＝，
＝＝＝.
因为·＝×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.
(2)因为·＝×1＋×0＋＝，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos 〈〉＝＝＝.
又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线EF与CG所成角的余弦值为.
(3)|CE|＝||＝＝.
跟踪训练2　解析：(1)由已知可得2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)存在．设＝t.由已知可得＝(－3，－1，4)，＝(1，－1，－2)，则＝＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，因此存在点E，使得⊥b，且E点坐标为(－，－)．
[课堂十分钟]
1．解析：因为a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)，所以|a－b＋2c|＝3.故选A.
答案：A
2．解析：∵a＝(1，λ，2)，b＝(－2，1，1)，a，b夹角的余弦值为，又a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉，
∴－2＋λ＋2＝·.∴λ＝±1.∵a·b＝λ>0，∴λ＝1.故选A.
答案：A
3．解析：设向量a，b的夹角为θ，|a|＝＝3，
|b|＝＝3，
于是cos θ＝＝.由此可得sin θ＝.
所以以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝2××3×3×＝.
故选A.
答案：A
4．解析：＝＝(－1，0，0)，则cos A＝＝＝，又因为〈〉∈[0，π]，故角A的大小为30°.
答案：30°
5．解析：
以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知得C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C1(0，0，2)，P(，2)，Q(1，0，1)，B1(0，1，2)，A1(1，0，2)，
则＝＝(0，1，2)，
＝(1，－1，2)，
＝(－1，1，2)，C1P＝.
(1)||＝＝.
＝0－1＋2＝1，||＝，
|＝＝，
〉＝＝.
又＝0－1＋4＝|＝＝|＝〉＝＝.

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