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§2　空间向量与向量运算
最新课标 (1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． (2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． (3)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．
2．1　从平面向量到空间向量
2．2　空间向量的运算
第1课时　空间向量的加减法　空间向量的数乘运算
[教材要点]
要点一　空间向量的有关概念
定义 在空间，把具有________和________的量叫作空间向量．
长度 向量的________叫作向量的长度或________．
表示法 ①几何表示法：空间向量用________表示． ②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||.
状元随笔　空间向量在空间中是可以任意平移的，这是向量与有向线段的本质区别．
要点二　几类特殊向量
相等向量 方向________且模________的向量
自由向量 与向量的起点________的向量
相反向量 方向________且模________的向量
零向量 模为0的向量，记为0
共线向量 (平行向量) 两条有向线段所在的直线________或________时的两个向量
共面向量 平行于同一平面的向量
状元随笔　空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同，因此可以进行类比学习．
要点三　空间向量的加减与数乘运算
运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 a＋b (1)交换律： a＋b＝__________； (2)结合律： (a＋b)＋c＝________________
减法 a－b a－b＝a＋(－b)
数乘 λa (1)|λa|＝________； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
状元随笔　1.当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即
A0A1＋A1A2＋A2A3＋…＋An－2An－1＋An－1An＝A0An．
2．对空间向量数乘运算的理解：
(1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±无意义．
(2)任何实数与向量的积仍是一个向量．空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)；可以不改变向量的方向(当λ＞0时)，也可以改变向量的方向(当λ＜0时).
(3)注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λ＝0；当λ≠0时，若＝0，则λ＝0．
(4)①由于向量，可平移到同一个平面内，故±，λ，λ，λ(±)也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．
②根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立．
要点四　共线向量基本定理
空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是________________________．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　)
(2)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(　　)
(3)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(　　)
(4)在四边形ABCD中，一定有＋＝.(　　)
2．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是(　　)
A. B．A1C1
C.B1A1 D．AA1
3．[多选题]已知空间向量，，，，则下列结论正确的是(　　)
A.＝＋ B．－＋＝
C.＝＋＋ D．＝－
4．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．
题型一　有关空间向量概念的理解
例1　(1)[多选题]下列说法中正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)
方法归纳
解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点
(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．
(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
跟踪训练1　下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是(　　)
A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等
B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等
C．零向量的长度为0，单位向量不一定是相等向量
D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同
题型二　空间向量的运算
例2　(1)[多选题]如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　)
A．－－　　 B．＋－
C．－－ D．－
(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；②；③＋．
　　
结合数乘向量、三角形法则及平行四边形法则求解．
状元随笔　和空间向量的线性运算相关的结论．
(1)位置向量： ＝ －.
(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有AC1＝＋＋AA 1．
(3)若G为△ABC的重心，则＋＋＝0．
(4)若O为空间中任意一点，则
①点P是线段AB中点的充要条件是＝ (＋)；
②若G为△ABC的重心，则＝ (＋＋).
方法归纳
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．
跟踪训练2　如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.
题型三　共线向量定理的应用
例3　(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________．
(2)如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形．
状元随笔　证明四边形EFGH为梯形，必须证明两点：①∥，||≠||；
②F不在EH上，否则E，F，G，H四点可能共线．
方法归纳
1．证明(或判断)A，B，C三点共线，只需证明存在实数λ，使＝λ即可．也可用“对空间任意一点O，有＝t＋(1－t)”来证明三点共线．证明三点共线时，关键是利用向量的线性运算将相关向量线性表示．
2．证明两直线平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算并结合共线向量定理证明向量共线，再利用两向量不在同一条直线上得到线线平行．
说明：对于空间的线面平行、面面平行的证明问题，可根据判定定理将其转化为证明线线平行，然后利用共线向量定理进行证明．
跟踪训练3　已知非零向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
易错辨析　错把向量与平面平行认为线面平行
例4　已知AB，CD是异面直线，CD α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．证明：MN∥α.
证明：因为CD α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b使得＝a，＝b，且两个向量不共线．
由M，N分别是AC，BD的中点，得＝ (＋＋＋＋＋)＝ (＋)＝ (a＋b).
所以，a，b共面，
所以MN∥α或MN α.
若MN α，
则AB，CD必在平面α内，
这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题易由＝ (a＋b)直接得到MN∥α.忽略对MN α这种情况的讨论． 线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面之间的位置关系．
[课堂十分钟]
1．下列说法正确的是(　　)
A．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量模的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
2．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，下列四对向量：
①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
4．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的是(　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．－a－b＋c D．a－b＋c
5．在六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．
第1课时　空间向量的加减法　空间向量的数乘运算
新知初探·课前预习
要点一
大小　方向　大小　模　有向线段　
要点二
相同　相等　无关　相反　相等　平行　重合
要点三
b＋a　a＋(b＋c)　|λ||a|　相同　相反　
要点四
存在唯一的实数λ，使得a＝λb
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：与相等的向量是．
答案：C
3．答案：BC
4．解析：
延长DE交边BC于点F，则有＝＝＝，故＝0.
答案：0
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；根据相等向量的定义知D正确．故选BD.
(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，与向量相反的向量有.
答案：(1)BD　(2).
跟踪训练1　解析：因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.
答案：C
例2　解析：(1)A中－－＝－＝；
B中＝＝；
C中＝＝＝；
D中＝＝．故选AB.
(2)①∵点P是C1D1的中点，∴＝＋＝＋＝a＋c＋b，
②∵点N是BC的中点，∴＝＋＝＋＝－a＋b＋c，
③∵点M是AA1的中点＝＝a＋c＋b＋c＋a＝a＋b＋c.
答案：(1)AB　(2)见解析
跟踪训练2　解析：＝
＝
＝)
＝)
＝)]
＝＝a＋b＋c.
例3　解析：(1)＝＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.
设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，
所以，解得k＝1.
(2)证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴＝＝.
则＝＝＝)＝.
∵＝＝＝)＝，
∴∥且||＝||≠||.
又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．
答案：(1)1　(2)见解析
跟踪训练3　解析：因为＝＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b，所以＝3.
又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．
答案：A
[课堂十分钟]
1．解析：两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确；任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确；向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，C不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确．故选D.
答案：D
2．解析：对于①与与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．故选B.
答案：B
3．解析：若＝，则AB＝DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，即AC＝BD，所以四边形ABCD为矩形．故选B.
答案：B
4．解析：＝＋＝＋＝＋)＝－a＋b＋c.
答案：A
5．解析：＋＝＝，在图中表示如右图所示．第2课时　空间向量的数量积
[教材要点]
要点一　两个向量的夹角
1．夹角的定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作________．
2．夹角的范围
空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π].特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________．
状元随笔　对空间两个向量夹角的理解，应注意以下几点：
(1)两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π.故〈〉＝0或π ∥为非零向量)．
(2)由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量都是共线的，即0∥.
(3)对空间任意两个向量，有：
①〈〉＝〈〉＝〈－，－〉＝〈－，－〉；
②〈，－〉＝〈－〉＝π－〈〉；
③〈〉＝〈〉＝π－〈〉．
要点二　两个向量的数量积
1．定义：已知两个空间向量a，b，把|a||b|cos 〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝________________．
状元随笔　对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解．
(1)向量的数量积记为·，而不能表示为或.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定．当θ为锐角时，·＞0，但当·＞0时，θ不一定是锐角，因为θ也可能为0；当θ为钝角时，·＜0，但当·＜0时，θ不一定是钝角，因为θ也可能为π.
2．与数量积有关结论：
(1)cos 〈a，b〉＝______________________；
(2)|a|＝________；
(3)a⊥b ____________．
3．数量积的运算律：
数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ____＝a·____
交换律 a·b＝____________
分配律 a·(b＋c)＝____________
状元随笔　(1)对于任意一个非零向量，我们把叫做向量的单位向量，记作与同方向．
(2)当≠0时，由·＝0不能推出一定是零向量，这是因为对于任意一个与垂直的非零向量，都有·＝0.
要点三　投影向量与投影数量
1．投影向量：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度为：________．
2．投影数量：若用a0表示与向量a(a≠0)，同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为＝|b|cos 〈a，b〉a0.因此，称________为投影向量的数量，简称为向量b在向量a方向上的投影数量，记为|b|cos 〈a，b〉＝＝a0·b.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(2)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　)
(3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　)
(4)在△ABC中，〈〉＝∠B.(　　)
2．[多选题]设a，b为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是(　　)
A．a2＝|a|2 B．＝
C.(a·b)2＝a2·b2 D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．
4.
如图，在长方体ABCD A′B′C′D′中，已知|AB|＝5，|AD|＝4，|AA′|＝3，则向量在方向上的投影数量为________，向量在方向的投影数量为________．
题型一　空间向量数量积的运算
例1　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
①·；
②·；
③·；
④·.
方法归纳
空间向量数量积的计算问题的解题思路
1．在几何体中求空间向量数量积的步骤：
(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
(3)代入a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉求解．
2．长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等．
跟踪训练1　已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，则A1B·B1C＝________．
题型二　求夹角和模
例2　
(1)如图，已知空间四边形OABC的各边及对角线AC，OB的长都相等．E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．
(2)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量两两之间的夹角均为60°，且||＝1，||＝|＝3，求|的值．
方法归纳
1．求两个向量的夹角有两种方法：
(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；(2)先求a·b，再利用公式cos 〈a，b〉＝求cos 〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．
2．我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：
(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
(2)异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
(3)利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；
(4)异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小．
3．利用向量的数量积求线段的长(两点间的距离)，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练2　(1)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则异面直线OA与BC的夹角的余弦值为________．
(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°的角，则B、D间的距离为________．
题型三　判断或证明线线垂直
例3　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
方法归纳
用向量法证明垂直关系的一般步骤
1．把几何问题转化为向量问题．
2．用已知夹角、模的向量把未知向量表示出来．
3．结合数量积公式及运算律证明向量的数量积为0.
4．将向量问题转化为几何问题，得到几何结论．
跟踪训练3　
已知：如图，空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD.求证：AD⊥BC.
易错辨析　混淆向量的夹角与空间角
例4　
如图所示，在平面角为120° 的二面角α－AB－β中，AC α，BD β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长．
解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴·＝0，·＝0.
∵二面角α－AB－β的平面角为120°，∴〈〉＝180°－120°＝60°.
∴2＝()2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，
∴CD＝12.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题易错的地方是混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，而误认为向量的夹角〈〉＝120°，得到错误答案CD＝6. 利用数量积的性质求解有关平面或空间中角的问题时，要特别注意向量的夹角与所求角的区别与联系，切不可忽略角的取值范围而盲目套用．利用向量求二面角的平面角时，一般不能保证所求的角就是二面角的平面角，也有可能是二面角的平面角的补角，这时要结合实际图形对所求的角进行适当的处理．
[课堂十分钟]
1．[多选题]设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是(　　)
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|＝
C．a2b＝b2a
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　)
A．60° B．30°
C．135° D．45°
3．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________．
5．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
第2课时　空间向量的数量积
新知初探·课前预习
要点一
1．〈a，b〉　
2．π　垂直　a⊥b
要点二
1．|a||b|cos 〈a，b〉
2．(1) (a≠0，b≠0)　(2)　(3)a·b＝0
3．(a·b)　(λb)　b·a　a·b＋a·c
要点三
1．||b|cos 〈a，b〉|
2．|b|cos 〈a，b〉
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：A、D正确，B、C不正确．
答案：AD
3．解析：∵cos 〈a，b〉＝＝＝－
∴〈a，b〉＝.
答案：
4．解析：(1)||cos (π－∠C′AD)
＝－||＝－4，
(2)||cos ∠C′AA′＝||＝3.
答案：(1)－4　(2)3
题型探究·课堂解透
例1　解析：①·＝·
＝||||cos 〈，〉
＝cos 60°＝.
②·＝·＝||2＝.
③·＝·＝－·＝－×cos 60°＝－.
④·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos 〈，〉－||||cos 〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.
跟踪训练1　解析：如图，＝－，＝－＝－
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋||2
＝0－0－0＋a2＝a2
答案：a2
例2　解析：(1)如图所示，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
所以a·b＝b·c＝c·a＝.
因为＝ (a＋b)，＝c－b，
所以·＝ (a＋b)·(c－b)＝a·c＋b·c－a·b－ (b)2＝－.
又||＝||＝，
所以cos 〈，〉＝＝－.
又因为异面直线所成角的范围为（0，]，
所以OE与BF所成角的余弦值为.
(2)由平行六面体ABCD－A1B1C1D1可得＝＋＋
所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝12＋22＋32＋2cos 60°×(1×2＋1×3＋2×3)
＝25
所以||＝5.
跟踪训练2　解析：(1)∵＝－
∴·＝·－·
＝||||cos 〈，〉－||·||cos 〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝24－16
∴cos 〈，〉＝＝＝
∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.
(2)∵∠ACD＝90°　∴·＝0
同理可得·＝0
∵AB与CD成60°角
∴〈，〉＝60°或〈，〉＝120°，
又＝＋＋
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2×(·＋·＋·)
＝3＋2×1×1×cos 〈，〉
∴当〈，〉＝60°时，||2＝4，∴||＝2；
当〈，〉＝120°时，||2＝2，∴||＝.
答案：(1)　(2)2或
例3　证明：
连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝ (＋)
＝ [＋ (＋)]
＝ (a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝ (a＋b＋c)·(c－b)
＝ (a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝ (|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
跟踪训练3　证明：证法一　∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0，
∴·＝(＋)·(－)＝·＋·－2－·＝·(－－)＝·＝0，
∴AD⊥BC.
证法二　∵AB⊥CD，∴·＝·(－)＝0，
即·＝·.
同理，由AC⊥BD，可得·＝·.
∴·＝·，
∴·(－)＝0，
∴·＝0，即AD⊥BC.
[课堂十分钟]
1．解析：因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D运算正确．故选BD.
答案：BD
2．解析： ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos 〈a，b〉＝1－1··cos 〈a，b〉＝0，∴cos 〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.故选D.
答案：D
3．解析：·＝(－)·(－)＝ ·－·－·＋AB2＝AB2>0，同理，·>0，·>0，∴三角形的三个内角均为锐角．故选B.
答案：B
4．解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cos＋22＝7，
∴|a＋b|＝.
答案：
5．解析：由题意知||＝，||＝，＝＋，＝＋＋，
∵PA⊥平面ABCD，∴·＝·＝·＝0，
∵AB⊥AD，∴·＝0，∵AB⊥BC，∴·＝0，∴·＝(＋)·(＋＋)＝AB2＝||2＝1，
又∵||＝，||＝，∴cos 〈，〉＝＝＝，
∴〈，〉＝60°，
∴PB与CD所成的角为60°.

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