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3．1　空间向量基本定理
[教材要点]
要点　空间向量基本定理
1．定理：如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．
2．基与基向量：
如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把______________叫作空间的一组基，a，b，c都叫作基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基．
状元随笔　(1)若＝x＋y＋z，则x＋y＋z叫做向量，，的线性表达式或线性组合，或者说可以由，，线性表示．
(2)对于基{，，}，除了应知道，，不共面外，还应明确以下三点：
①基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示. 选用不同的基，同一向量的表达式也可能不同；②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0；③空间的一个基是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的；一个基向量是指基中的某个向量，二者是相关联的不同概念．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基．(　　)
(2)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　)
(3)基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示．(　　)
(4)空间的一个基是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的．(　　)
2．已知{a，b，c}是空间的一个基，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基的向量是(　　)
A．a　　　　B．b　　　　C．a＋2b　　　　D．a＋2c
3．O、A、B、C为空间四个点，又{，，}为空间的一个基，则(　　)
A．O、A、B、C四点不共线
B．O、A、B、C四点共面，但不共线
C．O、A、B、C四点中任意三点不共线
D．O、A、B、C四点不共面
4．在四面体O ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________________(用a，b，c表示).
题型一　基的判断
例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基．
方法归纳
1．如果向量中存在零向量，则不能作为基；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基．
2．假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基；若无解，则不共面，能作为基．　　　
跟踪训练1　[多选题]设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基的向量组是(　　)
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
题型二　空间向量的表示
例2　(1)如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，现用基向量，，表示向量，设＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别是(　　)
A．x＝，y＝，z＝ B．z＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝ D．x＝，y＝，z＝
(2)在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基{a，b，c}表示以下向量：
①；②；③；④.
方法归纳
用基中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”．
跟踪训练2　(1)如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，AA1＝c，则B1M＝(　　)
A．－a－b－c 　　B.a＋b－c
C. a－b－c 　　 D．－a＋b－c
(2)已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________．
易错辨析　对基理解不清致误
例3　在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，试用基{a，b，c}表示向量．
解析：
如图，连接A1M，A1C1，则＝－＝＋－(＋)＝＋ (＋)－(＋)＝A1A－ (＋)＝－a－b＋c.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题易错的地方是向量分解的不彻底，可能会得到如下错解：＝－＝＋－(＋)＝c＋－a－b 事实上，仍需用基表示． 基可以表示空间内任一向量，用基表示向量时，最后结果应含基向量．
[课堂十分钟]
1．以下四个命题中正确的是(　　)
A．基{a，b，c}中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．空间向量的基只能有一组
2．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基的向量是(　　)
A．　　　 B． C．　　　 D．或
3．下列能使向量，，成为空间的一个基的关系式是(　　)
A．＝＋＋ B．＝＋
C．＝＋＋ D．＝2－
4．已知a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝αa＋βb＋λc，则α，β，λ的值分别为________．
5.
如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基{i，j，k}表示向量，.
3．1　空间向量基本定理
新知初探·课前预习
要点
1．xa＋yb＋zc
2．{a，b，c}
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：A、B、C都与向量p、q共面，只有D与p、q不共面，故选D.
答案：D
3．答案：D
4．解析：＝
＝)
＝)
＝
＝a＋b＋c
答案：a＋b＋c
题型探究·课堂解透
例1　解析：假设共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y
使＝x＋y成立，
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，
即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3
∴此方程组无解．
即不存在实数x，y使得＝x＋y，
所以不共面．
所以{}能作为空间的一个基．
跟踪训练1　解析：
如图所示，令a＝，b＝，c＝，
则x＝，y＝，z＝，
a＋b＋c＝．由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．故选BCD.
答案：BCD
例2　解析：(1)连接ON.∵M，N分别是对边OA，BC的中点，
∴＝＝)，∴＝＝＝)＝＝)＝，∴x＝，y＝z＝.故选D.
(2)连接AC、AC′、AD′
①＝)＝)＝(a＋b＋c)．
②＝)＝＋2)＝a＋b＋c.
③＝)＝[()＋()]
＝＋2＋2)＝a＋b＋c.
④＝＝)
＝＝a＋b＋c.
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)＝＋＝－c＋＝－c＋(b－a)＝－a＋b－c.
故选D.
(2)如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，则＝＝＝＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.
答案：(1)D　(2)3a＋3b－5c
[课堂十分钟]
1．解析：使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间基可以有无数多组，故D不正确．故选B.
答案：B
2．解析：∵＝a－b且a，b不共线，∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组空间基．故选C.
答案：C
3．解析：对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1) M，A，B，C四点共面知，共面；对于选项B，D，可知共面，故选C.
答案：C
4．解析：∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋λ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋λ)e1＋(α＋β－λ)e2＋(α－β＋λ)e3＝e1＋2e2＋3e3
∴∴
答案：，－1，－
5．解析：延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，
＝＝
＝)
＝
＝i＋j－k.
＝＝
＝
＝
＝
＝－i＋j＋k.

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