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4．1　直线的方向向量与平面的法向量
最新课标 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面法向量．
[教材要点]
要点一　直线的方向向量与直线的向量表示
1．直线的方向向量
设点A，B是直线上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量．
2．直线的向量表示
已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量．那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得____________，这个式子称为直线l的向量表示．
　1.在空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线l平行或重合．
2．与直线l平行的任意非零向量都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
3．给定空间中任意一点A和非零向量，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量的直线．
4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反．
要点二　平面的法向量及其应用
1．平面的法向量：如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线 l的方向向量n叫做平面α的法向量，则n⊥α.
2．平面α的方程：
在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，则称A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0为平面α的方程．
　利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个．求解时，只需取一个较简单的非零向量作为法向量即可．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量都可作为该直线的方向向量．(　　)
(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　)
(3)直线的方向向量是唯一的．(　　)
(4)若，都是直线l的方向向量，则∥，所以AB∥CD.(　　)
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
3．已知a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
4．经过点(1，1，1)且与z轴垂直的平面的方程为____________．
题型一　求直线的方向向量
例1　
如图，在三棱台ABC A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，AA1＝c，以{a，b，c}为空间的一个基，求直线AE，AD的一个方向向量．
方法归纳
求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算．
跟踪训练1　在四棱锥P ABCD中，ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE＝3EP，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基，求直线AE的一个方向向量．
题型二　求平面的法向量
例2　如图，已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．
(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．
　求平面法向量的三个注意点
(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．
(2)取特值：在求的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．
(3)注意0：提前假定法向量＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.
方法归纳
利用待定系数法求平面法向量的步骤
1．设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z).
2．选向量：在平面内选取两个不共线向量，.
3．列方程组：由列出方程组．
4．解方程组：
5．赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1).
6．得结论：得到平面的一个法向量．
跟踪训练2　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
题型三　确定空间中点的位置
例3　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5)
(1)若＝(－)，求P点的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点坐标．
方法归纳
此类问题常转化为向量的共线、向量相等解决，设出要求点的坐标，利用已知条件得关于要求点坐标的方程或方程组求解即可．
跟踪训练3　已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0，3，5)，B(1，2，0)，C(0，5，0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面xOz于点D，求点D的坐标．
[课堂十分钟]
1．已知＝(2，2，1)，＝(4，5，3)，则平面ABC的一个单位法向量为(　　)
A． B．
C． D．(，，)
2．设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)
A．(－1，－2，5) B．(－1，1，－1)
C．(1，1，1) D．(1，－1，－1)
3．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　)
A．(0，1，2) B．(3，6，9)
C．(－1，－2，3) D．(3，6，8)
4．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m等于(　　)
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，求平面ABC的一个法向量．
4．1　直线的方向向量与平面的法向量
新知初探·课前预习
要点一
2.＝ta
[基础自测]
1．(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：＝(2，4，6)＝2(1，2，3).故选A.
答案：A
3．解析：由l1∥l2得，＝＝，解得x＝6，y＝.
故选D.
答案：D
4．解析：与z轴垂直的平面的法向量n＝(0，0，1)所以与z轴垂直的平面的方程为：z－1＝0
答案：z－1＝0
题型探究·课堂解透
例1　解析：＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋（）＝＋＋＝a＋b＋c.
所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c.
＝＋＝＋CC1＝＋（+）＝＋＝b＋c，
所以直线AE的一个方向向量为b＋c.
跟踪训练1　解析：
如图所示，＝＋＝＋＋ (－)＝＋＋ (－－)＝＋＋＝a＋b＋c，
故直线AE的一个方向向量是a＋b＋c.
例2　解析：以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(，0，0)，S(0，0，1).
(1)∵SA⊥平面ABCD，
∴＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量．
(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，
∴AD⊥平面SAB，
∴＝(，0，0)是平面SAB的一个法向量．
(3)在平面SCD中，＝(，1，0)，＝(1，1，－1).
设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n⊥，n⊥，所以
得方程组∴
令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1，1).
跟踪训练2　解析：
因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D(0，，0)，E(0，)，B(1，0，0)，C(1，，0)，于是＝(0，)，＝(1，，0)，设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即所以
令y＝－1，则x＝z＝，所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，).
例3　解析：(1)＝(－1，1，5)，＝(－3，－1，5)，＝ (－)＝ (2，2，0)＝(1，1，0)，∴P点的坐标为(1，1，0)
(2)由P是线段AB上的一点．且AP∶PB＝1∶2，知＝
设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－3，y－4，z)，＝(2－x，5－y，5－z)
故(x－3，y－4，z)＝ (2－x，5－y，5－z)
即解得
因此P点的坐标为（，）.
跟踪训练3　解析：∵D∈平面xOz，∴设D(x，0，z)
则＝(x，－3，z－5)，＝(－1，3，0)
∵∥，∴＝，∴(x，－3，z－5)＝λ(－1，3，0)
∴　即
∴D点的坐标为(1，0，5).
[课堂十分钟]
1．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则有取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2，2).因为|n|＝3，
所以平面ABC的一个单位法向量可以是（-，）.
故选B.
答案：B
2．解析：∵(－1，1，－1)·(1，2，1)＝－1＋2－1＝0
(－1，1，－1)·(－1，1，2)＝1＋1－2＝0
∴向量(－1，1，－1)是此平面的法向量．
答案：B
3．解析：∵a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，
(3，6，9)＝3a
∴(3，6，9)能作为平面γ的法向量．
答案：B
4．解析：∵l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为（1，2）
∴向量为(2，m，1)与平面α的法向量（1，2）垂直
则(2，m，1)·（1，2）＝2＋m＋2＝0
解得m＝－8.
答案：C
5．解析：由已知可得＝(0，2，0)－(1，0，0)＝(－1，2，0)，
＝(0，0，3)－(1，0，0)＝(－1，0，3).
设平面ABC的法向量n＝(x，y，z).
则n·＝(x，y，z)·(－1，2，0)＝－x＋2y＝0，
n·＝(x，y，z)·(－1，0，3)＝－x＋3z＝0.不妨令x＝6，则y＝3，z＝2.
因此，可取n＝(6，3，2)为平面ABC的一个法向量．

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