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第2课时　空间中直线、平面的垂直
[教材要点]
要点　空间垂直关系的向量表示
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
线线垂直 l⊥m l⊥m
线面垂直 l⊥α l∥n1
面面垂直 α⊥β n1⊥n2
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　)
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(　　)
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(　　)
(4)如果一个向量与平面内两个向量垂直，则此向量是平面的一个法向量．(　　)
2．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)
A．l∥α　　　B．l⊥α　　　C．l α　　　D．l与α斜交
3．设直线l的方向向量u＝(－2，2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于(　　)
A．4 B．－4 C．2 D．－2
4．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1，2，3)，b＝(x，－2，3)，且α⊥β，则x＝________．
题型一　直线与直线垂直
例1　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.
方法归纳
建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示，再证明其数量积为0.
跟踪训练1　已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点．证明：EF⊥BD1，EF⊥CC1.
题型二　直线与平面垂直
例2　
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.
方法归纳
利用坐标法证明线面垂直的步骤
方法一
1．建立空间直角坐标系；
2．将直线的方向向量用坐标表示；
3．找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；
4．分别计算直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量的数量积，得到数量积为0.
方法二
1．建立空间直角坐标系；
2．将直线的方向向量用坐标表示；
3．求出平面的法向量；
4．证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
跟踪训练2　如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面)，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为CC1的中点，A是底面圆周上异于B，C的一点，A1是上底面圆周上异于B1，C1的一点，且AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝4，求证：B1O⊥平面AEO.
题型三　平面与平面垂直
例3　在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.
方法归纳
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
2．利用法向量证明面面垂直思路比较简单，但往往运算量大；而利用面面垂直的判定定理证明则运算量较小，但思维难度比较大，这两种策略同学们要灵活选择．
跟踪训练3　在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.
[课堂十分钟]
1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则l1与l2的位置关系是(　　)
A．l1⊥l2　　　　　　　B．l1∥l2
C．l1、l2相交不垂直 D．不能确定
2．若平面α的法向量为u＝(1，－3，－1)，平面β的法向量为v＝(8，2，2)，则(　　)
A．α∥β B．α与β相交
C．α⊥β D．不确定
3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于(　　)
A． B．
C． D．
4．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．证明：CD⊥平面PAE.
第2课时　空间中直线、平面的垂直
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：∵n＝(－2，0，－4)＝－2(1，0，2)＝－2a，
∴n∥a，∴l⊥α.
答案：B
3．解析：因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，
解得t＝－4，故选B.
答案：B
4．解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x－4＋9＝0，∴x＝－5.
答案：－5
题型探究·课堂解透
例1　证明：
设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得A(－，0，0)，B(，0，0)，
C(0，，0)，N(0，)，B1(，0，1)，
∵M为BC中点，
∴M(，0)．
∴＝＝(1，0，1)，
＝－＋0＋＝0.
，∴AB1⊥MN.
跟踪训练1　证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，1，0)，D1(1，0，2)，C1(0，0，2)，E(0，0，1)，F(，1)，C(0，0，0)．
∴＝＝＝(1，－1，2)，
＝＝.
例2　证明：方法一　如图以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1，1，0)，A1(2，0，2)，G(0，2，1)，B(2，2，0)，D(0，0，0)，
＝(1，－1，2)，＝(1，1，0)，＝(－2，0，1)，
而·＝1－1＋0＝·＝－2＋0＋2＝0.
⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，
而OB＝B，
∴OA1⊥平面GBD.
方法二　同方法一建系后，＝(－2，0，1)，＝(－2，－2，0)，设平面GBD的法向量为n＝(x，y，z)
则∴
令x＝1，得z＝2，y＝－1，
∴平面GBD的一个法向量为n＝(1，－1，2)
显然＝(－1，1，－2)＝－n，
∴∥n，∴A1O⊥平面GBD.
跟踪训练2　证明：由题意可知AB，AC，AA1两两互相垂直，以A为原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(4，0，0)，E(0，4，2)，O(2，2，0)，B1(4，0，4)，
∴＝(－2，2，－4)，＝(2，－2，－2)，＝(2，2，0)．
设平面AEO的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令x＝1，得平面AEO的一个法向量为n＝(1，－1，2)．
∵＝(－2，2，－4)＝－2n，∴∥n，∴B1O⊥平面AEO.
例3　证明：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E(a，a，)，F(0，a，)，
故＝(0，0，－a)，＝(a，a，0)．
设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝1
∴n1＝(1，－1，0)为平面ABC的一个法向量．
设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，同理可得n2＝(1，1，－)．
∵n1·n2＝(1，－1，0)·(1，1，－)＝0，
∴平面BEF⊥平面ABC.
跟踪训练3　证明：以三棱锥的顶点P为原点，
以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，
则A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)，P(0，0，0)
∴＝(0，－1，－1)，＝(1，－1，－1)．
设平面EFG的法向量是n＝(x，y，z)，
则有n⊥，n⊥.
∴
令y＝1，得z＝－1，x＝0
即n＝(0，1，－1)
∵n·＝0∴n⊥
即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直．
∴平面EFG⊥平面PBC.
[课堂十分钟]
1．解析：由题意，直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，
b＝(－2，3，2)，
a·b＝－2＋6－4＝0，∴l1与l2的位置关系是l1⊥l2.故选A.
答案：A
2．解析：∵平面α的法向量为u＝(1，－3，－1)，平面β的法向量为v＝(8，2，2)，
∴u·v＝(1，－3，－1)·(8，2，2)＝8－6－2＝0.
∴u⊥v，∴α⊥β.故选C.
答案：C
3．解析：因为⊥，所以·＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4，
因为BP⊥平面ABC，所以⊥，且⊥，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝，y＝－，于是＝.故选D.
答案：D
4．证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A xyz.
设PA＝h，则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，3，0)，D(0，5，0)，E(2，4，0)，P(0，0，h)．
所以＝(－4，2，0)，＝(2，4，0)，＝(0，0，h)
因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0
所以CD⊥AE，CD⊥AP，
而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE.第1课时　空间中直线、平面的平行
[教材要点]
要点　空间中平行关系的向量表示
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
线线平行(线线不重合) l∥m l∥m
线面平行(线不在平面内) l∥α l⊥n1
面面平行(两个平面不重合) α∥β n1∥n2
状元随笔　零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置，而零向量的方向是任意的，无法用零向量来描述空间直线与平面的位置．
[基础自测]
1．若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4)，则(　　)
A．l1∥l2 B．l1与l2相交
C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合
2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－，－1)，n＝(，－1，3)，则(　　)
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
3．[多选题]下列命题中正确的是(　　)
A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2 α∥β
B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1·n2＝0
C．若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0
D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
4．若直线l的方向向量a＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
题型一　直线与直线平行
例1　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．
方法归纳
证明线线平行的依据与思路
证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝λb(λ∈R)．利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．
跟踪训练1　长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
题型二　直线与平面平行
角度1　证明直线与平面平行
例2　在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.
角度2　直线与平面平行的探究性问题
例3　如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．
方法归纳
1．向量法证明线面平行的三个思路
(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β μ∥v.
跟踪训练2　在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
题型三　平面与平面平行
例4　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.
方法归纳
证明面面平行问题可由以下方法证明：
①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法．
跟踪训练3　在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心．求证：平面EFG∥平面HMN.
易错辨析　忽视直线与平面平行的条件致误
例5　已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，D(1，2，0)，E(0，0，1)，则直线DE与平面ABC(　　)
A．直线DE与平面ABC平行
B．DE 平面ABC
C．直线DE与平面ABC相交
D．直线DE与平面ABC平行或DE 平面ABC
解析：因为＝(－1，1，1)，＝(1，0，－1)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，1)，则n·＝0，n·＝0，
所以解得所以n＝(1，0，1)．
又＝(－1，－2，1)，
所以·n＝(－1，－2，1)·(1，0，1)＝0，
所以⊥n，所以DE∥平面ABC或DE 平面ABC.
因为＝(1，1，－1)，所以＝2，
所以A，B，C，D四点共面，
即点D在平面ABC内，所以DE 平面ABC，选B.
答案：B
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题易得直线DE的方向向量与平面ABC的法向量垂直，进而得到直线DE与平面ABC平行的错误解答，实际上，当直线DE在平面ABC内，也有与平面ABC的法向量垂直，因此，需进一步判断DE是否在平面ABC内． 当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面的位置关系有两种：一是直线与平面平行；二是直线在平面内，具体是哪一种，应进一步考查．
[课堂十分钟]
1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则能使l∥α的是(　　)
A．a＝(1，0，0)，u＝(－2，0，0)　　
B．a＝(1，3，5)，u＝(1，0，1)
C．a＝(0，2，1)，u＝(－1，0，1)
D．a＝(1，－1，3)，u＝(0，3，1)
2．设平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝(　　)
A．2 B．－4
C．4 D．－2
3．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是(　　)
A．－3， B．－
C．－3，2 D．2，2
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
第1课时　空间中直线、平面的平行
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．解析：由题意知：b＝－2a
∴l1与l2平行或重合．故选D.
答案：D
2．解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D.
答案：D
3．解析：A、B不正确，C、D正确．
答案：CD
4．解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l α或l∥α.
答案：l α或l∥α
题型探究·课堂解透
例1　证明：以点D为坐标原点，分别以为正交基建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，)，C1(0，1，1)，F(1，1，)，
∴＝(－1，0，)，
＝＝(0，1，)，＝(0，1，)，
∴＝＝∥，
又∵F AE，F EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形．
跟踪训练1　证明：
如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：
A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E(a，b，c)，
F(a，c).
∴＝＝(－a，b，c)，
∴＝．
又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1.
例2　证明：∵EF⊥平面AEB，AE 平面AEB，BE 平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE.
又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴＝(0，2，2)，＝(2，2，0)，＝(2，0，－2)．
设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，
∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n.
∵AB 平面DEG，
∴AB∥平面DEG.
例3　解析：
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．假设在棱PD上存在符合题意的点E，设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)．∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0①
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)
∴由CE∥平面PAB，可得⊥.∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0.
∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，即当E为PD的中点时，CE∥平面PAB.
跟踪训练2　证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则
D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M(0，1，)，N(，1，1)，于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，＝(，0，)．
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则
即
取x＝1，则y＝－1，z＝－1，
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN 平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
例4　证明：
如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．
∴N，M，
E，F，
∴＝，
＝＝(a，a，0)，.
设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，
则∴
∴y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，则x1＝2，y1＝－2.
∴平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．
同理可得平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
∵m＝n，∴m∥n，∴平面AMN∥平面EFDB.
跟踪训练3　证明：
如图所示，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，1，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1)．
∴＝(0，－1，1)，＝(1，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)．
设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量，
由得
令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．
由得
令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．
于是有m＝n，所以m∥n，故平面EFG∥平面HMN.
[课堂十分钟]
1．解析：由l∥α，故a⊥u，即a·u＝0，故选D.
答案：D
2．解析：∵α∥β，∴存在实数λ，使(1，2，－2)＝λ(－2，－4，k)，∴k＝4.故选C.
答案：C
3．解析：由题意知解得或.故选A.
答案：A
4.
证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，设＝(a，b，c)，
则即
取＝(1，1，－1)．
易知＝(－1，－1，1)，
∴＝，
即PQ∥BD1.

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