资源简介

第1课时　组合、组合数公式及其性质
[教材要点]
要点一　组合的概念
一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
状元随笔　(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．
(2)组合的特性：元素的无序性．取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求．
(3)根据组合的定义，只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合；如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合．
要点二　组合数及其性质
1．组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的________，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的________，记作________．
状元随笔　1.同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．例如，从3个不同的元素a，b，c中取出2个元素的所有组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，即组合不是数，而是完成一件事的一种方法，而该问题的组合数为3，是一个数字．
2．我们可以从集合的角度理解组合数的概念．例如，从3个不同的元素a，b，c中任取2个的所有组合构成的集合为A＝{ab，ac，bc}，则组合数即为集合A的元素个数．
3．符号是一个整体，n，m均为正整数，且m≤n.
2．组合数公式及其性质
(1)公式：＝________________________＝________．
(2)规定：＝1.
(3)性质1：＝________，
性质2：＝________．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是.(　　)
(2)从a，b，c，d中选取2个合成一组，其中a，b与b，a是同一个组合．(　　)
(3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个的组合数”．(　　)
(4)组合和排列一样，都与“顺序”有关．(　　)
2．[多选题]下列问题中是组合问题的是(　　)
A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的社会调查，有多少种不同的选法？
B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？
C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？
D．3本相同的书分给5名同学，每人一本，有多少种分配方法？
3．若＝28，则n＝(　　)
A．9　　　　　B．8　　　　　C．7　　　　　D．6
4．现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为________．
题型一　组合的概念
例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？
(2)10名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？
(3)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
(4)从a，b，c，d四名学生中选2名，去完成同一件工作，有多少种不同的选法？
方法归纳
区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
跟踪训练1　判断下列问题是排列问题还是组合问题：
①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
题型二　组合数公式的应用
例2　解方程：＝；＝.
方法归纳
进行组合数的相关计算时，注意以下几点：
(1)像排列数公式一样，公式＝一般用于计算，而公式＝及一般用于证明、解方程(不等式)等．
(2)要注意公式的逆向运用．
(3)对于含有组合数的方程或不等式的问题，只需根据组合数公式的连乘形式或阶乘形式，把问题转化为不含组合数的方程或不等式问题．但在求出结果后应注意验证能不能使组合数有意义，既要保证组合数中下标n大于或等于该组合数的上标m，又要保证n，m均为正整数．
跟踪训练2　的值为________．
(2)若＝，则＝(　　)
A．380 B．190
C．18 D．9
题型三　组合数性质的应用
例3　(1)计算：＝________；
(2)若，则n的取值集合是________．
方法归纳
组合数公式①体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到．组合数公式②的主要作用有：
(1)计算m，n较大时的组合数；
(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明．
特别地，当m>时计算，用性质＝转化，减少计算量．
跟踪训练3　(1)化简：＝________；
(2)已知＝，求n的值．
易错辨析　忽视组合数中参数的限制条件致误
例4　已知：＝，求m.
解析：依题意，m的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N*}
原等式化为：＝
化简得：m2－23m＋42＝0，解得m＝21或m＝2.
因为0≤m≤5，m∈N*，所以m＝21应舍去．
所以m＝2.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
忽视组合数公式中参数的限制，本例中，易忽视0≤m≤5，m∈N*这一条件，导致出现两解的错误． 应用组合数公式时，首先要考虑m、n∈N*，且m≤n这一条件，不要盲目求解．
[课堂十分钟]
1．[多选题]给出下面几个问题，其中是组合问题的有(　　)
A．由1，2，3，4构成的二元素集合
B．五个队进行单循环比赛的分组情况
C．由1，2，3组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3组成无重复数字的两位数
2．下列计算结果为21的是(　　)
3．若＝，则n的值是(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
4．计算的值为(　　)
－1
5．求不等式－n<5的解集．
第1课时　组合、组合数公式及其性质
新知初探·课前预习
要点一
一组
要点二
1．个数　组合数　
2．(1)
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：AC与顺序有关，是排列问题；BD与顺序无关，是组合问题．故选BD.
答案：BD
3．解析：＝＝28，解得n＝8.
答案：B
4．解析：由题意得，不同选法的种数为＝15.
答案：15
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)两人之间相互握手，与顺序无关，故是组合问题；
(2)分成的两个学习小组没有顺序，是组合问题；
(3)取出3个数字之后，无论怎样改变这三个数字之间的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题；
(4)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．
跟踪训练1　解析：①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
②是排列问题．选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．
③是组合问题．选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．
例2　解析：(1)由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，
由
得2≤x≤8且x∈N*.
故原方程的解为x＝4或x＝5.
(2)原方程可化为＝，即＝，
∴＝，
∴＝，
∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3.
经检验，x＝4是原方程的解．
跟踪训练2　解析：＝7×－4×＝0.
＝，
∴n＝18，
＝＝＝＝190.故选B.
答案：(1)0　(2)B
例3　解析：＝＝＝＝5 050.
(2)由，得>，所以n2－9n－10<0，得－1答案：(1)5 050　(2){6，7，8，9}
跟踪训练3　解析：(1)原式＝＝0.
(2)根据题意，
由组合数的性质，可得＝，故8＋7＝n＋1，
解得n＝14.
答案：(1)0　(2)14
[课堂十分钟]
1．解析：对于A，两个元素的集合与元素的顺序无关，是组合问题；对于B，单循环比赛，只需两个队比赛一场，与两个队的顺序无关，是组合问题；对于C，组成的两位数，若取出的是同一个数字，则与顺序无关，是组合问题，若两次取出的不是同一数字，则是排列问题；对于D，由C可知是排列问题．
答案：AB
2．解析：＝＝21.
答案：D
3．解析：原方程可化为：
n(n－1)(n－2)＝6·，解得n＝7，经检验，n＝7是原方程的解．
答案：B
4．解析：
－1＝－1.
答案：C
5．解析：由－n <5，得－n<5，
所以n2－3n－10<0.
解得－2所以n＝2，3，4.故原不等式的解集为{2，3，4}.第2课时　组合的应用
题型一　无限制条件的组合问题
例1　现有10名学生，男生6人，女生4人．
(1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？
(2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？
(3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？
方法归纳
解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
跟踪训练1　(1)有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有(　　)
A．70个　　　B．80个　　　C．82个　　　D．84个
(2)若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
题型二　有限制条件的组合问题
角度1　“至多”与“至少”问题
例2　(1)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一张，不同取法的种数为(　　)
A．232 B．252 C．472 D．484
(2)现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查，至少有1件是次品的抽法有________种．
方法归纳
“至多”“至少”问题的常用解题方法有两种：(1)直接分类法，注意分类要细、要全；(2)间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
跟踪训练2　从六位同学中选出四位参加一个座谈会，要求小张、小王两名同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为(　　)
A．9 B．14 C．12 D．15
角度2　“含”与“不含”问题
例3　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训，在下列条件下，各有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．
方法归纳
“含……”或“不含……”是组合应用的常见题型．其解法一般为直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉再取出，分步计数．
必要时，还需对元素进行分类，对题目中的元素分类后，要弄清被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于某个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊元素，这是解题的关键．
当用直接法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略．
跟踪训练3　从6个人中选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有________种安排方法．
题型三　分配问题
例4　把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法．
(1)甲2本、乙2本、丙2本；
(2)甲1本、乙2本、丙3本；
(3)甲4本、乙1本、丙1本．
方法归纳
对于不等分组，只需将元素按要求依次分配给每个对象即可．
跟踪训练4　6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
易错辨析　忽略元素无序，造成计数重复
例5　5本不同的书全部分给4名同学，每名同学至少一本，不同的分法种数为________．
解析：先把5本书分成4堆，然后分给4名同学．第1步，从5本书中任意取出2本捆绑成一个整体，有
＝240.
答案：240
【易错警示】
易错原因 纠错心得
解答此题时易得到如下错解： 先从5本书中取4本分给4名同学，有种方法，剩下的1本书可以给任意一名同学，有4种分法，不同的分法种数为＝480. 该解题过程中出现了重复选取的情况．设5本书分别为a，b，c，d，e，4名同学分别为甲、乙、丙、丁．按照上述分法可能有如下的表1和表2： 表1 甲乙丙丁abcde
　表2 甲乙丙丁ebcda
表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书e给甲；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最后一本书a给甲．从结果上看以上两种情况是完全相同的，而在计数时把它们当成了不同的情况，造成重复计数． 对于元素无序的分配问题，一般不能采用分步计数，而是采取先选后排的方法，即可避免重复计数．
[课堂十分钟]
1．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　)
种 B．45种 C．54种种
2．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　)
A．140种 B．120种 C．35种 D．34种
3．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是(　　)
A．5 040 B．36 C．18 D．20
4．某书店有11种杂志，20元1本的有8种，10元1本的有3种．小张用100元钱买杂志(每种至多买1本，100元钱刚好用完)，则不同买法的种数为________．(用数字作答)
5．有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？
第2课时　组合的应用
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)从6名男生中选2人的组合数是＝15种．
(2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合＝90种．
(3)从10名学生中选2名的组合数＝45种．
跟踪训练1　解析：(1)分两类分别求即可，共有＝30＋40＝70.
(2)第一步，安排周六有
＝140种．
答案：(1)A　(2)140
例2　解析：(1)方法一　本题的解题关键是抓住有无红色卡片来讨论．若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有
×4＝472种．故选C.
(2)方法一　(直接法)分两类：
第1类，抽出1件次品，抽法种数为
＝56＋8＝64.
方法二　(间接法)从10件产品中任取3件的抽法有＝64.
答案：(1)C　(2)64
跟踪训练2　解析：方法一　(直接法)分两类：
第1类，小张、小王两名同学都不参加，有
＝9.
方法二　(间接法)不同的选法种数为＝9.
答案：A
例3　解析：(1)从中任取5人是组合问题，不同的选法种数为＝792.
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，不同的选法种数为＝36.
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需要从另外的9人中选5人，不同的选法种数为＝126.
(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：
第1步，从甲、乙、丙中选1人，有
＝378.
跟踪训练3　解析：从6个人中选取1个人安排在第一天有＝6(种)方法，然后从余下的5个人中选取1个人安排在第二天有＝5(种)方法，再从剩余的4个人中选取2个人安排在第三天有＝6(种)方法，根据分步乘法计数原理知不同的安排方法有6×5×6＝180(种)．
答案：180
例4　解析：(1)第一步，从6本不同的书中选2本书分配给甲，有
＝90种不同的分配方法．
(2)第一步，从6本不同的书中选1本书分配给甲，有
＝60种不同的分配方法．
(3)第一步，从6本不同的书中选4本书分配给甲，有
＝34(种)．
答案：D
3．解析：最高的站在中间，从余下6人中选3人站在左侧，由低到高只有一种站法，其余3人站在右侧，也只有一种站法，所以共有＝20种排法．
答案：D
4．解析：分两类情况：
(1)买5本20元的买法种数为.
(2)买4本20元的、2本10元的买法种数为
＝5 760＋7 200＝12 960种分派方案．

展开更多......

收起↑