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4．1　二项式定理的推导
[教材要点]
要点一　二项式定理
(a＋b)n＝ an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋ bn(n∈N*)，这个公式称为二项式定理，等号右边的多项式称为(a＋b)n的二项展开式，共有n＋1项，其中各项的系数 (k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数．
状元随笔　1.二项展开式的特点：(1)展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；(2)字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n.
2．二项展开式的第k＋1项的二项式系数是，所有的二项式系数是仅与二项式的次数n有关的n＋1个组合数，与a，b的取值无关，且是正数；而第k＋1项的系数则是二项式系数与数字系数的积，可能为负数．如(2x＋1)5展开式中的第二项的二项式系数是，而第二项的系数则是·24.
注意：当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数．
要点二　二项展开式的通项
二项展开式中的an－kbk称为二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝an－kbk.
状元随笔　在应用通项Tk＋1＝an－kbk时，要注意：
(1)通项是二项展开式的第k＋1项，而不是第k项．
(2)展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数的概念不同．
(3)(a＋b)n与(b＋a)n的二项展开式相同，但是(a＋b)n的第k＋1项为an－kbk，(b＋a)n的第k＋1项为bn－kak.因此，应用二项式定理时，a与b是不能随便交换位置的．
(4)通项公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五个量，只要知道其中的四个量，就可以求出第五个量，在应用二项式定理时，常常遇到已知这五个量中的若干个，求另外几个量的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题转化为解方程(或方程组).这里必须注意n是正整数，k是非负整数且k≤n.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　)
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　)
(3)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　)
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．(　　)
2.的展开式共有11项，则n等于(　　)
A．9　　　　　B．10　　　　　C．11　　　　　D．8
3．(x＋2)6的展开式中x3的系数是(　　)
A．20 B．40 C．80 D．160
4.展开式中的常数项为________．
题型一　二项式定理的正用、逆用
例1　(1)写出展开式：；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
方法归纳
运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式．
跟踪训练1　(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于(　　)
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
(2)用二项式定理展开(2x－1)4＝____________________．
题型二　求展开式的特定项及系数
角度1　二项展开式中的特定项问题
例2　(1)在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　)
A．－5 B．5
C．－10 D．10
(2)在二项式的展开式中，求①第4项；②常数项；③有理项．
方法归纳
二项展开式的通项Tk＋1＝an－kbk的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含xk(或xpyq)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项，找出未知数的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算．
跟踪训练2　(1)展开式中的常数项为(　　)
A．80 B．－80
C．40 D．－40
(2)在的展开式中，x2的系数是________．
角度2　两个二项式积的展开式中的特定项问题
例3　(1) (x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
(2)(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数是________．
方法归纳
求两个(或多个)二项式乘积的展开式常用方法：(1)对每一个二项式展开，于是问题转化为求多项式与多项式乘积的展开式，此时只需利用多项式乘法法则对其展开即可(即用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项)；(2)先利用运算性质对其进行化简，再利用二项式定理进行展开．
跟踪训练3　(1)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
(2)(x2＋2)的展开式中的常数项是________．
角度3　特殊三项式(可化为二项式)的展开式问题
例4　(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数是________．
方法归纳
解决三项式问题有三种方法，方法一：先把三项式中的某两项看作一项，然后利用二项式定理展开求解；方法二：三项式可利用完全平方公式转化为二项式，然后用二项式定理求解；方法三：三项式可通过分解因式转化为两个二项式的积的形式，然后用二项式定理求解．以上方法也可推广到四项式．
跟踪训练4　(1)(x2＋3x－1)4的展开式中x的系数为(　　)
A．－4 B．－8
C．－12 D．－16
(2)的展开式中，常数项为________．
题型三　根据特定项及系数求参数
例5　(1)若的展开式中x3项的系数是240，则实数m的值是(　　)
A．2 B．
C．±2 D．±
(2)若在的展开式中，第4项是常数项，则n＝________．
(3)已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等，则展开式中所有的有理项的系数和为________．
方法归纳
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．
跟踪训练5　(1)展开式中x3的系数为10，则a的值等于(　　)
A．－1 B．
C．1 D．2
(2)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________．
(3)[多选题](＋x)n(n∈N*)的展开式中恰有三项的系数为有理数，则n不可能取值为(　　)
A．9 B．10
C．11 D．12
易错辨析　混淆项的系数与二项式系数
例6　设(x－)n(n∈N*)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．
解析：由题设，得T2＝xn－1(－)＝－nxn－1，T4＝xn－3(－)3＝－2 xn－3，于是有＝，化简得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去).
(x－)4的展开式的通项为Tk＋1＝(－)kx4－k，令4－k＝2，则k＝2，所以含x2的项为(－)2x2＝12x2.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
求解本题易将“二项展开式的某项的系数”与“二项展开式的某项的二项式系数”混为一谈，得到如下错解． (x－)n的展开式中第二项与第四项的系数分别为，，则∶＝1∶2，化简得n2－3n－10＝0.又n∈N*，所以n＝5. (x－)5的展开式的通项式为Tk＋1＝(－)kx5－k，令5－k＝2，则k＝3，所以含x2的项为(－)3x2＝－20x2. (a＋b)n的展开式中的第k＋1项的二项式系数是 (k＝0，1，2，…，n)，仅与n，k有关；第k＋1项的系数不是二项式系数，但有时这个系数与二项式系数相等．注意二项式系数一定为正，而对应项的系数可能为负．
[课堂十分钟]
1．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得(　　)
A．x4 B．(x－1)4
C．(x＋1)4 D．x5
2．已知(x－)7的展开式的第4项等于5，则x等于(　　)
A． B．－
C．7 D．－7
3.展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)
A．－1 B．
C．1 D．2
4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
5．求的展开式的第三项的系数和常数项．
4．1　二项式定理的推导
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10.故选B.
答案：B
3．解析：设含x3的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝x6－k·2k，
令6－k＝3，得k＝3，故展开式中x3的系数为·23＝160.故选D.
答案：D
4．解析：展开式中通项公式Tk＋1＝x4－k·＝x4－2k，当4－2k＝0时，展开式为常数，此时k＝2，展开式的常数项为：T3＝＝24.
答案：24
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)方法一　＝
(2x)0＝32x5－120x2＋.
方法二　＝＝(4x3－3)5＝(4x3)0(－3)5]＝32x5－120x2＋.
(2)原式＝(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
跟踪训练1　解析：(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝＝＝x4，故选A.
(2)(2x－1)4＝(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
答案：(1)A　(2)16x4－32x3＋24x2－8x＋1
例2　解析：(1)Tk＋1＝)5－k(－2)k＝
令＝2，得k＝1，
∴T2＝(－2)x2＝－10x2，
所以x2的系数为－10.故选C.
(2)二项展开式的通项
Tk＋1＝x12－k＝.
①令k＝3，则T4＝＝－220x8.
②令12－k＝0，则k＝9，从而，常数项为
＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝＝－220，T13＝x－4.
答案：(1)C　(2)见解析
跟踪训练2　解析：(1)由题意可知：Tk＋1＝(x2)5－k＝，令10－5k＝0，得k＝2，
即展开式中的常数项为＝40.
(2)Tk＋1＝·x5－k·＝·2k·x5－3k，令5－3k＝2，得k＝1.
故在的展开式中，x2的系数为·21＝10.
答案：(1)C　(2)10
例3　解析：(1)因为(x＋y)5的展开式的第k＋1项Tk＋1＝x5－kyk，
所以(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为＝15，故选C.
(2)(x2＋1)(2x＋1)6＝x2(2x＋1)6＋(2x＋1)6，
二项式(2x＋1)6的通项为Tr＋1＝(2x)6－r.
所以当r＝6时，x2的系数为＝1.
当r＝4时，x2的系数为＝60.
所以(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数为1＋60＝61.
答案：(1)C　(2)61
跟踪训练3　解析：(1)(1－)6(1＋)4＝[(1－)4(1＋)4](1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)，
于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为：
·(－1)1·1＝3.
(2)的展开式的通项为Tk＋1＝，
∴的展开式中的常数项为(－1)5＝－1，的项为，所以(x2＋2)的展开式中的常数项为×1＝3.
答案：(1)C　(2)3
例4　解析：方法一　(x2＋3x－4)4＝[(x2＋3x)－4]4＝×44，显然，展开式中只有第四项中含x，所以展开式中x的系数是×3×43＝－768.
方法二　(x2＋3x－4)4＝[(x－1)(x＋4)]4＝(x－1)4×(x＋4)4＝×44)，所以展开式中x的系数是43＝－768.
方法三　(x2＋3x－4)4＝(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)(x2＋3x－4)，从上述1个因式中取3x，其他3个因式取－4，则x的系数是×3×(－4)3＝－768.
答案：－768
跟踪训练4　解析：(1)(x2＋3x－1)4＝(x2＋3x)＋1
又(x2＋3x)r的二项展开式的通项Tk＋1＝(x2)r－k(3x)k＝·3k·x2r－k
当且仅当r＝1，k＝1时符合题意，
所以(x2＋3x－1)4的展开式中x的系数为·3＝－12.
(2)＝，
∴Tk＋1＝(－1)4－k(k＝0，1，2，3，4)
k＝0时，T1＝1，的展开式的通项为Tr＋1＝xk－r＝xk－2r(r≤k)，
令k＝2r可得或，
∴常数项为1－12＋6＝－5.
答案：(1)C　(2)－5
例5　解析：(1)二项式的通项公式为：
Tk＋1＝·(mx)6－k·＝·m6－k·(－2)k·，
因为的展开式中x3项的系数是240，
所以当6－k＝3时，有·m6－k·(－2)k＝240成立，解得k＝2，因此有·m6－2·(－2)2＝240 m＝±.故选D.
(2)Tk＋1＝)n－k
＝，
令n－6k＝0，∴n＝6k.
又T4是常数项，
∴k＝3，
∴n＝18.
(3)Tk＋1＝·xn－k·
＝(k＝0，1，2，3，…，n)
由题意知：·＝·，
解得n＝5，
∴Tk＋1＝(k＝0，1，2，3，…，5)
当k＝0，2，4时，对应项是有理项，
所以有理项的系数和为
＝1＋
＝.
答案：(1)D　(2)18　(3)
跟踪训练5　解析：(1)展开式的通项公式
Tk＋1＝·x5－k·＝·x5－2k，
令5－2k＝3，所以k＝1.
因为x3的系数为10，所以＝10.
所以a＝2.故选D.
(3x)2＝54x2，
即＝6，解得n＝4.
(3)由题意得，展开式中项的系数为·()k，
∵系数为有理数，∴n－k是3的倍数，k是2的倍数，
当n＝9，k＝6时，不符合题意；当n＝10，k＝4，10时，不符合题意；当n＝11，k＝2，8时，不符合题意；当n＝12，k＝0，6，12时，符合题意，故选ABC.
答案：(1)D　(2)4　(3)ABC
[课堂十分钟]
1．解析：原式＝(x－1＋1)4＝x4.
答案：A
2．解析：T4＝x4(－)3＝5
∴x＝－.
答案：B
3．解析：xk＝a5－kx2k－5
令2k－5＝3，
解得k＝4
由·a＝10，得a＝2.
答案：D
4．解析：x5应是(1＋x)10中含x5项，含 x2项分别与1，－x3相乘的结果．
∴其系数为(－1)＝207.
答案：207
5．解析：T3＝(x3)3＝·x5
所以第三项的系数为·＝.
通项Tk＋1＝(x3)5－k＝x15－5k，
令15－5k＝0，得k＝3.
所以常数项为T4＝(x3)2·＝.

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