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4．2　二项式系数的性质
[教材要点]
要点一　杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数________．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的________，即＝________
要点二　二项式系数的和
＝________．
＋…＝________．
状元随笔　对于2n＝，也可以从集合的角度解释．设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有
＝2n.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)(a＋b)n的展开式中，二项式系数具有对称性．(　　)
(2)二项展开式的二项式系数和为.(　　)
(3)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(　　)
(4)二项展开式项的系数是先增后减的．(　　)
2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　)
A．1 B．－1
C．215 D．315
3．若(1＋3x)n的展开式中，第3项的二项式系数为6，则第4项的系数为(　　)
A．4 B．27
C．36 D．108
4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．
题型一　杨辉三角
例1　如下图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)第二个数是多少？
方法归纳
解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察——分析，实验——猜想结论——证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同)．
跟踪训练1　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3.
题型二　二项式系数和与各项的系数和的基本问题
例2　(1)在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　　)
A．－32　　　　B．0　　　　C．32　　　　D．1
(2)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为32，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70 C．90 D．120
方法归纳
(1)对于(a＋b)n展开式中，二项式系数的和是＝2n.
(2)对于(ax＋b)n的式子，求其展开式中的各项系数之和常用赋值法．
跟踪训练2　(1)设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3项的系数为(　　)
A．500 B．－500
C．150 D．－150
(2)如果的展开式中各项系数之和为128，则n的值为________，展开式中的系数为________．
题型三　二项展开式中系数和问题
例3　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
(1)求a1＋a2＋…＋a7；
(2)求a1＋a3＋a5＋a7；
(3)求|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
状元随笔　解决二项式系数和问题的思维过程如下：
方法归纳
对于(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式，求各项系数和时，可令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(a＋b)n.
若求奇数项和或偶数项和，可分别令x＝1和x＝－1，得
两式相加减即可求出结果．对于形如(ax2＋bx＋c)n的式子，求其展开式的各项系数和，只需令x＝1.对于(ax＋by)n(a，b为常数)的式子，求其展开式的各项系数和，可令x＝y＝1.
跟踪训练3　多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10.
(1)求a0＋a1＋…＋a9＋a10的值；
(2)求a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10的值；
(3)求a0.
易错辨析　错用二项式系数的性质
例4　(1＋2x)20的展开式中，x的奇次项系数的和与x的偶次项系数的和各是多少？
解析：设x的奇次项系数的和为A，x的偶次项系数的和为B，则令x＝1，得A＋B＝320，
令x＝－1，得B－A＝1，
∴2B＝320＋1，∴B＝，A＝.
即奇次项系数的和为，偶次项系数的和为.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
求解本题，容易出现下列两种错误． 错解一：∵二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和相同，∴奇次项系数的和与偶次项系数的和均为219. 错解二：由二项展开式知x的奇次项系数的和为 ·220.错解一是将系数和与二项式系数和混淆了；错解二解法欠妥，很难求出数值．其原因在于没把握住求系数和的根本方法． 对于求系数和的问题，要注意用赋值法解决．奇、偶次项是针对x的指数而言，奇、偶数项是针对第几项而言．
[课堂十分钟]
1．杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是(　　)
A．第6行 B．第7行
C．第8行 D．第9行
2．在(a＋b)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
3．若(x＋3y)n展开式的各项系数和等于(7a＋b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　)
A．5 B．8
C．10 D．15
4．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________．
5．已知(x－m)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7的展开式中x4的系数是－35，求a1＋a2＋a3＋…＋a7.
4．2　二项式系数的性质
新知初探·课前预习
要点一
(1)相等　(2)和　＋
要点二
(1)2n　(2)2n－1
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：令x＝1得各项系数和为－1.
答案：B
3．解析：Tk＋1＝ (3x)k，
由＝6，得n＝4.
∴T4＝ (3x)3，故第4项的系数为×33＝108，故选D.
答案：D
4．解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64.
答案：1　64
题型探究·课堂解透
例1　解析：设第n行第2个数为an(n≥2)，
则　∴an＋1－an＝n.
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋a2
＝2＋2＋3＋4＋…＋(n－1)
＝1＋
＝.
跟踪训练1　解析：∵＝，即＝，∴n＝34.
答案：34
例2　解析：(1)由题意知2n＝32，得n＝5.令x＝1，可得展开式中各项系数的和为(3×12－1)5＝32.故选C.
(2)令x＝1，得各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以由题意知2n＝32，得n＝5，二项展开式的通项为Tk＋1＝ x5－k＝3k，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为32＝90，故选C.
答案：(1)C　(2)C
跟踪训练2　解析：(1)N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2
∴(2n)2－2n＝240
∴2n＝16，∴n＝4.
∴Tk＋1＝·(5x)4－k·(－)k＝(－1)k··54－k·
令4－＝3，即k＝2
此时·52·(－1)2＝150.
(2)令x＝1，得展开式的各项系数之和为2n，
所以2n＝128，解得n＝7，所以展开式的通项为(－1)k·37－k ，
令7－k＝－3，解得k＝6.
所以展开式中的系数是3＝21.
答案：(1)C　(2)7　21
例3　解析：(1)当x＝1时，等号左边为(1－2)7＝－1，等号右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1.当x＝0时，a0＝1.
∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2.
(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，②
①－②，得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝－＝－1 094.
(3)由展开式，知a1，a3，a5，a7均为负数，a0，a2，a4，a6均为正数，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7.
由(2)可知，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
跟踪训练3　解析：(1)令x＋1＝1，即x＝0，得0＝a0＋a1×1＋…＋a9×19＋a10×110，
即a0＋a1＋…＋a9＋a10＝0.
(2)令x＋1＝－1，即x＝－2，得(－2)3＋(－2)10＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，
即a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝1 016.
(3)令x＋1＝0，即x＝－1，得a0＝0.
[课堂十分钟]
1．解析：，，，，，，均能被7整除．
答案：B
2．解析：由题意知＝，解得n＝1＋5＝6.
答案：A
3．解析：(7a＋b)10展开式的二项式系数之和为210，令x＝1，y＝1，则由题意知，4n＝210，解得n＝5.
答案：A
4．解析：S＝＋＋…＋＝2n＝32，故n＝5.
Tk＋1＝ (x2)5－k＝x10－5k
令10－5k＝0，k＝2.
故展开式中的常数项为T3＝＝10.
答案：10
5．解析：因为Tk＋1＝ x7－k(－m)k
所以 (－m)3＝－35
∴m＝1
令x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(1－1)7＝0
令x＝0时，a0＝(－1)7＝－1
所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1.

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