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条件概率的概念
[教材要点]
要点一　条件概率的概念
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝________为在________发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
状元随笔　(1)0≤P(A|B)≤1；
(2)几何解释：P(A|B)＝＝＝；
(3)概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中计算B发生的概率．用古典概率公式，则P(B|A)＝，P(AB)＝，一般来说P(B|A)比P(AB)大．
要点二　互斥事件的条件概率
如果B与C是两个互斥事件，则P(B＝________．
状元随笔　(1)前提条件：P(A)>0.
(2)P(B＝P(B|A)＋P(C|A)，必须B与C互斥，并且都是在同一个条件A下．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　)
(2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生.(　　)
(3)P(B|A)≠P(AB)．(　　)
2．[多选题]下列式子成立的是(　　)
A．P(A|B)＝P(B|A) B．0≤P(A|B)≤1
C．P(AB)＝P(A)·P(B|A) D．P(AB|A)＝P(B)
3．下面几种概率是条件概率的是(　　)
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
4．若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________．
题型一　利用定义求条件概率
例1　甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，求：
(1)乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；
(2)甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率.
方法归纳
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(AB)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．在例1题中，首先结合古典概型分别求出了事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
跟踪训练1　(1)袋子中有5个球(3个白色、2个黑色)，现每次取一个，无放回地抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为(　　)
A． B．
C． D．
(2)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
题型二　缩小样本空间求条件概率
例2　一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率．
方法归纳
P(B|A)表示事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时，首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把给定事件A所含的基本事件定义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB，如图所示，从而P(B|A)＝.
跟踪训练2　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
题型三　求互斥事件的条件概率
例3　在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
方法归纳
条件概率的解题策略
(1)应用概率加法公式的前提是事件互斥．
(2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
跟踪训练3　有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率．
易错辨析　混淆条件概率P(B|A)与积事件的概
率P(AB)致错
例4　袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球(只有颜色不同)，不放回抽取，每次任取一球，取两次，求：
(1)第二次才取到黄球的概率；
(2)取出的两个球的其中之一是黄球时，另一个也是黄球的概率．
解析：(1)设A表示“第一次取到白球”，B表示“第二次取到黄球”，C表示“第二次才取到黄球”．
则P(C)＝P(AB)＝＝.
(2)记D表示“其中之一是黄球”，E表示“两个都是黄球”，F表示“其中之一是黄球时，另一个也是黄球”．
则P(F)＝P(E|D)＝＝÷＝.
【易错警示】
易错原因 纠错心得
求解第(1)小题时易误认为P(C)＝P(B|A)＝＝.求解第(2)小题时易误认为P(F)＝P(E)＝＝. 产生以上错解的原因是不理解P(AB)与P(B|A)的含义． 解题时，先要正确理解并区分条件概率与积事件的概率，P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，然后正确选择相应的计算公式求解即可．
[课堂十分钟]
1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现反面”为事件B，则P(B|A)等于(　　)
A． B．
C． D．
2．有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是(　　)
A． B．
C． D．
3．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
4．设A，B为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________．
5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮三级以上的风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮三级以上的风，
求：(1)P(A|B)；(2)P(B|A)．
1．1　条件概率的概念
新知初探·课前预习
要点一
　事件A
要点二
P(B|A)＋P(C|A)
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√
2．解析：A不正确，B正确，由P(B|A)＝得P(AB)＝P(B|A)·P(A)，C正确，D选项应是P(AB|A)＝P(B|A)，故D不正确．
答案：BC
3．解析：由条件概率的定义知B为条件概率．
答案：B
4．解析：由公式得P(B|A)＝＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：设A＝{甲市是雨天}，B＝{乙市是雨天}，P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则(1)P(A|B)＝＝＝，(2)P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练1　解析：(1)记第一次取到白球为事件A，第二次取到白球为事件B，则
P(B|A)＝＝＝.
(2)根据条件概率公式知P＝＝0.5.
答案：(1)C　(2)0.5
例2　解析：方法一(定义法)　设Ai＝{第i只是好的}(i＝1，2)．由题意知要求出P(A2|A1)．
因为P(A1)＝＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝.
方法二(直接法)　因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝＝.
跟踪训练2　解析：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝＝30.
根据分步乘法计数原理n(A)＝＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝＝12，所以P(AB)＝＝＝.
(3)方法一　由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.
例3　解析：方法一(定义法)　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.
则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.
所以P(B|A)＝＝÷＝，
P(C|A)＝＝÷＝.
所以P(B＝P(B|A)＋P(C|A)＝＝.
所以所求的条件概率为.
方法二(直接法)　因为n(A)＝＝9，n(B＝＝5，
所以P(B＝.所以所求的条件概率为.
跟踪训练3　解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，
则D＝B且B与C互斥，
又P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝，
故P(D|A)＝P(B
＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＝.
[课堂十分钟]
1．解析：由题意，P(A)＝＝，P(AB)＝，
由条件概率公式得P(B|A)＝＝＝.
答案：A
2．解析：由于是在下雨天参加赛马，所以考查的应该是Harry在下雨天的比赛中的赢率，则P＝＝.
答案：B
3．解析：P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝.
答案：B
4．解析：由P(B|A)＝＝＝.
答案：
5．解析：由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
(1)P(A|B)＝＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.

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