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2．1　随机变量
2．2　离散型随机变量的分布列
最新课标 (1)通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列． (2)通过具体实例，了解超几何分布，并能解决简单的实际问题．
[教材要点]
要点一　随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个________表示．在这个对应关系下，________随着试验结果的变化而变化．像这种________随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量．
(2)表示：常用字母________表示．
状元随笔　(1)随机变量可将随机试验的结果数量化，如设随机变量X表示骰子掷出的点数，则X＝1，2，3，4，5，6，或者说X的取值范围是{1，2，3，4，5，6}．有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但也可以用数来表示．如掷一枚硬币，X＝0表示正面向上，X＝1表示反面向上．
(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量的不同取值对应着试验的不同结果，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，这些数是预先知道的可能值，但不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源．
要点二　离散型随机变量及其分布列
(1)离散型随机变量：
取值能够________的随机变量称为离散型随机变量．
状元随笔　试验是在相同的条件下重复进行的，试验的所有可能结果是明确的，每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定会出现哪一个结果．
(2)分布列的定义：
若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为Pi(i＝1，2，…，n，…)，记作________________．也可以列表如下：
xi x1 x2 … xn …
P(X＝xi) p1 p2 … pn …
则称为离散型随机变量X的分布列，简称为X的分布列．
状元随笔　1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
2．离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是用表格或解析式表示．
(3)分布列的性质：①pi＞____(i＝1，2，…，n，…)
②p1＋p2＋…＋pn＋…＝________
状元随笔　1.由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．分布列的性质②可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
要点三　两点分布
如果随机变量X的分布列为：
X 1 0
P p q
其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为____的两点分布(又称0－1分布或伯努利分布)．
状元随笔　若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率为1－p.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　)
(2)在离散型随机变量的分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　　)
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　　)
(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.(　　)
2．[多选题]下列变量中，是离散型随机变量的是(　　)
A．掷5次硬币正面向上的次数M
B．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
C．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和X
3．下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　)
4．已知离散型随机变量X的概率分布列如下：
X 0 1 2 3
P a
则常数a的值为________．
题型一　随机变量与离散型随机变量的判断
例1　下列变量中，哪些是随机变量？哪些不是随机变量？哪些是离散型随机变量？并说明理由．
(1)机场候机室中某天的旅客数量；
(2)某次列车到达终点站的时间；
(3)体积为1 000 cm3的球的半径长．
方法归纳
判断一个变量是否为随机变量，主要看变量的结果，结果不能确定的是随机变量，判断一个变量是否为离散型随机变量，主要是看变量的取值能否按一定顺序列举出来，如果可以就是离散型随机变量；否则就不是离散型随机变量．
跟踪训练1　(1)下列不是随机变量的是(　　)
A．某人投篮6次投中的次数
B．某日大盘收盘指数
C．在标准状态下，水在100 ℃会沸腾
D．某人早晨在站点等公交车的时间
(2)[多选题]以下选项中说法正确，且所描述对象是离散型随机变量的是(　　)
A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X是一个随机变量
B．如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差X是一个随机变量
C．一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置X是一个随机变量
D．某人射击一次中靶的环数X是一个随机变量
题型二　随机变量的可能取值及含义
例2　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果．
(1)在10件产品中有2件是次品，8件是正品，任取三件，取到正品的个数ξ；
(2)在10件产品中有2件次品，8件正品，每次取一件，取后不放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数ξ；
(3)在10件产品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数ξ；
(4)在10件产品中的8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，共取5次，取到正品的件数ξ.
方法归纳
解决此类问题的关键在于明确随机变量所有可能的取值，以及取每一个值时对应的意义，即随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
跟踪训练2　写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ；
(2)从4张已编号(1—4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ.
题型三　离散型随机变量的分布列
角度1　两点分布
例3　一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝求X的分布列．
方法归纳
两点分布的两个特点
(1)两点分布只有两个结果，且是对应的．
(2)P(X＝0)＝1－P(X＝1)．
角度2　由古典概型求分布列
例4　同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数X的分布列．
角度3　根据排列组合求分布列
例5　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率．
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
方法归纳
求离散型随机变量的分布列的一般步骤
(1)确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率；
(3)按规范形式写出分布列；
(4)根据分布列的性质对结果进行检验，即检验分布列的概率和是不是1.
跟踪训练3　(1)设某试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)
A.0　　　　B．　　　　C．　　　　D．
(2)某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动的次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．
①记“选出的2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；
②设X为选出的2人参加义工活动的次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．
题型四　分布列的性质及其应用
例6　(1)已知随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.10 0.□0 0.15 0.4□
□为丢失的数据，则丢失的数据分别为(　　)
A．2，0 B．2，5 C．3，0 D．3，5
(2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ai(i＝1，2，3，4)，求：
①P({X＝1}＝3})；
②P.
方法归纳
1．利用分布列的性质检验分布列的正确性：利用性质1和性质2都可以检验分布列的正确性．例如各个概率值都小于或等于1；所有的概率之和必须等于1.
2．因为离散型随机变量在某一范围内的取值，包含有n个随机变量，而它们所对应的事件互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．
跟踪训练4　(1)若随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，0] B．[0，1]
C．(0，1] D．(1，2]
(2)某一射手射击所得的环数X的分布列如下：
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率为________．
易错辨析　对离散型随机变量分布列的性质认识
不够致错
例7　设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 6a2－a 3－7a
则常数a的值为(　　)
A． B．1
C．或1 D．－或－1
解析：由离散型随机变量分布列的性质可得
解得a＝.故选A.
答案：A
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题易由离散型随机变量分布列的性质得6a2－a＋3－7a＝1，解得a＝或a＝1，从而错选C.产生此种错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列满足概率和为1，忽略了0≤pi≤1(i＝1，2)． 牢记离散型随机变量分布列的两条性质是解题的关键．
[课堂十分钟]
1．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则ξ＝10，表示的试验结果是(　　)
A．第10次击中目标 B．第10次未击中目标
C．第9次未击中目标 D．第9次击中目标
2．已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P a b
则a＋b＝(　　)
A． B． C．1 D．
3．[多选题]下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　)
A．抛掷一枚骰子，出现的点数记为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数记为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取一个球，令随机变量
X＝
D．做一次实验，实验成功的次数记为随机变量X
4．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则P(25．一个类似于细胞分裂的物体，1次分裂为2，2次分裂为4，3次分裂为8，如此继续分裂有限次，而随机终止．设分裂n次终止的概率为(n＝1，2，…)．记ξ为原物体在分裂终止后生成的子块数目，求P(ξ≤10)．
2．1　随机变量
2．2　离散型随机变量的分布列
新知初探·课前预习
要点一
(1)确定的数值　数值　取值　(2)X，Y，ξ，η
要点二
(1)一一列举出来　(2)P(X＝xi)＝Pi(i＝1，2，…，n，…)　(3)①0　②1
要点三
p
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：选项A，C，D均能一一列出，而B不能一一列出，故选ACD.
答案：ACD
3．解析：选项A，D不满足分布列的基本性质p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1，选项B不满足分布列的基本性质pi≥0.故选C.
答案：C
4．解析：由分布列的性质可得＋a＋＝1，解得a＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)候机室中的旅客数量可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，而且是离散型随机变量．(2)某次列车到达终点站的时间每次都是随机的，故是随机变量．不能把到达终点站的时间一一列举出来，故不是离散型随机变量．(3)体积为的球的半径长为定值，故不是随机变量．
跟踪训练1　解析：(1)C中，标准状态下，水在100 ℃时会沸腾，其结果不具有随机性．
(2)A，B，C，D中所描述的对象都是随机变量．根据离散型随机变量的定义可知，A，D中的X的所有可能取值可以一一列举出来，因此是离散型随机变量，而B，C中的X可以取某一区间内的一切值，不能一一列举出来，因此不是离散型随机变量．
答案：(1)C　(2)AD
例2　解析：(1)ξ＝1，2，3，ξ＝k(k＝1，2，3)表示取到k个正品；
(2)ξ＝2，3，4，…，10，ξ＝k(k＝2，3，…，10)表示取了k次，第k次取得次品，前k－1次只取得一件次品．
(3)ξ＝2，3，4，…，ξ＝k(k＝2，3，4，…)表示取了k次，前k－1次取得一件次品，第k次取得次品．
(4)ξ＝0，1，2，3，4，5，ξ＝k(k＝0，1，2，3，4，5)表示抽取5次共取得的正品数．
跟踪训练2　解析：(1)ξ可取0，1，2，3.ξ＝i表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝0，1，2，3.
(2)ξ可取3，4，5，6，7.其中ξ＝3表示取出编号为1，2的两张卡片．ξ＝4表示取出编号为1，3的两张卡片．ξ＝5表示取出编号为2，3或1，4的两张卡片．ξ＝6表示取出编号为2，4的两张卡片．ξ＝7表示取出编号为3，4的两张卡片．
例3　解析：因为X服从两点分布，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－＝.
所以X的分布列为
X 1 0
P
例4　解析：同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，X的可能取值为1，2，3，4，5，6，如下表：
X 出现的点数 情况数
1 (1，1) 1
2 (2，2)，(2，1)，(1，2) 3
3 (3，3)，(3，2)，(3，1)，(2，3)，(1，3) 5
4 (4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，4)，(2，4)，(1，4) 7
5 (5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，5)，(3，5)，(2，5)，(1，5) 9
6 (6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(6，2)，(6，1)，(5，6)，(4，6)，(3，6)，(2，6)，(1，6) 11
由古典概型可知X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P
例5　解析：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝＝.即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
(2)X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.故X的分布列为：
X 0 1 2
P
跟踪训练3　解析：(1)设失败率为p，则成功率为2p，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1
P p 2p
由p＋2p＝1，∴p＝，p(ξ＝0)＝.
(2)①参加义工活动的次数之和为4，则2人分别参加活动次数为“1和3”或“2和2”，次数为“1和3”共有种选法，次数为“2和2”共有种选法，则P(A)＝＝，所以事件A发生的概率为.
②随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝.所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
答案：(1)C　(2)见解析
例6　解析：(1)由离散型随机变量分布列的性质，得0.10＋0.□0＋0.15＋0.4□＝1，即0.□0＋0.4□＝0.75，比较十分位和百分位的数字可知，
0．4□的□为5，0.□0的□为3.
(2)题目中所给的X的分布列为
X 1 2 3 4
P a 2a 3a 4a
由离散型随机变量的分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝.
①P({X＝1}＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＝.
②P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝.
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练4　解析：(1)由随机变量X的分布列，可得P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X≤0)＝0.5，P(X<1)＝0.5，则当P(X(2)根据射手射击所得的环数X的分布列，有P(X＝7)＝0.09，P(X＝8)＝0.28，P(X＝9)＝0.29，P(X＝10)＝0.22.
所求的概率为P(X≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
答案：(1)C　(2)0.88
[课堂十分钟]
1．解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝10，则说明前9次均未击中目标，第10次击中目标或未击中目标．
答案：C
2．解析：由随机变量X的分布列的性质得＋a＋b＝1，解得a＋b＝.
答案：A
3．解析：对选项A，抛掷一枚骰子，出现的点数有6种情况，故随机变量X有6个取值，不服从两点分布，故A不符合题意；对选项B，射击一次，击中目标的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，故B符合题意；对选项C，显然服从两点分布，故C符合题意；对选项D，做一次实验，实验成功的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，故D符合题意．
答案：BCD
4．解析：∵随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，
∴＝1，
解得a＝5，
∴P(2答案：
5．解析：依题意，原物体在分裂终止后所生成的子块数目ξ的分布列为
ξ 2 4 8 16 … 2n …
P … …
所以P(ξ≤10)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝8)
＝＝.

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