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3.1　离散型随机变量的均值
[教材要点]
要点一　离散型随机变量的均值
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列如表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称EX＝________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
(2)特征：均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的________．
状元随笔　1.均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数．
2．离散型随机变量的均值EX是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
3．由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位．
要点二　两点分布的均值
若X服从参数为P的两点分布，则EX＝P.
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机变量X的均值EX是一个变量，它随样本的改变而改变．(　　)
(2)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同．(　　)
(3)常数的数学期望就是这个常数本身．(　　)
(4)若X服从两点分布，则EX＝np.(　　)
2．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝0)＝0.7，则Eξ＝(　　)
A．0.3 B．0.6
C．0.7 D．1
3．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值是(　　)
A．0.6 B．1
C．3.5 D．2
4．已知某一随机变量X的分布列如下表：
X 3 b 8
P 0.2 0.5 a
且EX＝6，则a＝________，b＝________．
题型一　利用分布列的性质求均值
例1　设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ
ξ －1 0 1
P 1－2q q2
方法归纳
根据分布列的性质求参数，再由均值的定义求解．
跟踪训练1　已知随机变量X的分布列如表：
X －2 －1 0 1 2
P m
求EX.
题型二　求离散型随机变量的均值
例2　一个盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)
方法归纳
求离散型随机变量X的均值的步骤：
(1)理解X的实际意义，并写出X全部可能的取值；
(2)求出X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列(有时也可省略)；
(4)利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出均值其中第1、2步是解答此类题目的关键．
跟踪训练2　在一场娱乐晚会上，有5名民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众必须独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5名歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选3号歌手且观众乙未选3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
题型三　实际应用中的决策问题
例3　某柑橘基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计当年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案时，第二年与第一年相互独立．记ξi(i＝1，2)表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数．
(1)写出ξ1，ξ2的分布列；
(2)实施哪种方案，两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？
(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑橘产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；两年后柑橘产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元．问：实施哪种方案所带来的平均效益更大？
方法归纳
解决实际问题的三个步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
跟踪训练3　某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
易错辨析　求均值时因求错分布列致误
例4　一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，则剩余子弹数目X的期望为________．
解析：X的可能取值为3，2，1，0.
P(X＝3)＝0.6
P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24
P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096
P(X＝0)＝0.43＝0.064
所以EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.
答案：2.376
【易错警示】
易错原因 纠错心得
解答本题易得期望值2.28或2.4的错误结论，错因是审题不细，导致在解题时误认为是求“命中子弹数目X的期望”而不是剩余子弹数目的期望或根本没有注意到条件“直到第一次命中为止” 合理分析题设信息可以避免因审题不清带来的不必要的失误．如本例中的条件及待求问题都需要仔细研读．
[课堂十分钟]
1．设随机变量X的分布列P(x＝k)＝，k＝1，2，3，4，则EX的值为(　　)
A．2.5 B．3.5
C．0.25 D．2
2．已知随机变量X的分布如表所示，则EX等于(　　)
X －1 0 1
P 0.5 0.2 p
A.0 B．－0.2
C．－1 D．－0.3
3．若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P
则X的数学期望EX＝(　　)
A．2 B．2或
C． D．1
4．同学用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的数学期望为________．
5．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：
版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版
人数 20 15 5 10
若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
3．1　离散型随机变量的均值
新知初探·课前预习
要点一
(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn　(2)平均水平
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：因为随机变量ξ服从两点分布，且P(ξ＝1)＝0.3，所以Eξ＝0.3.故选A.
答案：A
3．解析：抛掷骰子所得点数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5 6
P
所以Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.故选C.
答案：C
4．解析：由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.
又由EX＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6.
答案：0.3　6
题型探究·课堂解透
例1　解析：因为随机变量的概率非负且变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，
所以
解得q＝1－.于是，ξ的分布列为
ξ －1 0 1
P －1
所以Eξ＝(－1)×＋0×(－1)＋1×＝1－.
跟踪训练1　解析：由随机变量分布列的性质，得＋m＋＝1解得m＝，
∴EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
例2　解析：(1)由古典概型的概率计算公式知，所求概率P＝＝.
(2)X的所有可能取值为1，2，3，且由题意知
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 1 2 3
P
所以EX＝1×＋2×＋3×＝.
跟踪训练2　解析：(1)设A表示事件“观众甲选3号歌手”，B表示事件“观众乙选3号歌手”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
∵事件A与B相互独立，
∴观众甲选3号歌手且观众乙未选3号歌手的概率为
P(A )＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝＝(或P(A )＝＝)．
(2)设C表示事件“观众丙选3号歌手”，则P(C)＝＝.
∵X的所有可能取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为
P(X＝0)＝P()＝＝，
P(X＝1)＝P(A )＋P( B )＋P( C)＝＝＝，
P(X＝2)＝P(AB )＋P(A C)＋P( BC)＝＝＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
例3　解析：(1)ξ1所有可能的取值为0.8，0.9，1.0，1.125，1.25；ξ2所有可能的取值为0.8，0.96，1.0，1.2，1.44.
ξ1，ξ2的分布列分别为
ξ1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25
P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
ξ2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44
P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
(2)令事件A、B分别表示方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量，
由(1)可得，P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，P(B)＝0.24＋0.08＝0.32.
可见，方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大．
(3)令ηi(i＝1，2)表示方案i所带来的效益，由题意及(1)易得η1，η2的分布列分别为
η1 10 15 20
P 0.35 0.35 0.3
η2 10 15 20
P 0.5 0.18 0.32
所以Eη1＝10×0.35＋15×0.35＋20×0.3＝14.75(万元)，Eη2＝10×0.5＋15×0.18＋20×0.32＝14.1(万元)．
可见，方案一所带来的平均效益更大．
跟踪训练3　解析：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
记“这两人的累计得分X≤3”为事件A，
则事件A包含“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，
因为P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下．
X1 0 2 4
P
　
X2 0 3 6
P
所以EX1＝0×＋2×＋4×＝，EX2＝0×＋3×＋6×＝.
因为EX1>EX2，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
[课堂十分钟]
1．解析：EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.5.
答案：A
2．解析：由题可得0.5＋0.2＋p＝1，解得p＝0.3，则由离散型随机变量的均值公式得EX＝－1×0.5＋0×0.2＋0.3＝－0.2.
答案：B
3．解析：因为分布列中概率和为1，所以＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以EX＝.
答案：C
4．解析：依题意得，得分之和X的可能取值分别是0，1，2，且P(X＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P(X＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0.5＝0.2，所以得分之和X的分布列为
X 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
所以EX＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.
答案：0.9
5．解析：X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＝＝.

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