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3．2　离散型随机变量的方差
[教材要点]
要点　离散型随机变量的方差与标准差
1．定义：若离散型随机变量X的分布列如表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称DX＝________________＝________________为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差，记作σX.
2．特征：随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度，方差(标准差)________，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差(标准差)________，则随机变量的取值越分散．
状元随笔　随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　)
(2)若a是常数，则Da＝0.(　　)
(3)随机变量的方差即为总体方差，不随抽样样本的不同而不同．(　　)
(4)标准差与随机变量本身有相同的单位．(　　)
2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计(　　)
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
3．已知X的分布列为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则DX等于(　　)
A．0.7　　　　B．0.61　　　　C．－0.3　　　　D．0
4．已知随机变量X，DX＝，则X的标准差为________．
题型一　已知分布列求方差(标准差)
例1　(1)下表是随机变量X的分布列，其中a，b，c成等比数列，a＋2c＝3b，且a，b，c互不相等，则DX＝________．
X －1 0 2
P a b c
(2)已知X的分布列为
X 0 10 20 50 60
P
求X的方差及标准差．
方法归纳
分布列含有参数的，先根据题设条件及分布列的性质求参数，再由均值的定义求均值，最后根据方差(标准差)的定义求解即可．
跟踪训练1　(1)甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，若命中目标的人数为X，则DX＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表所示．
降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900
工期延误 天数Y 0 2 6 10
历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700 ，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为________．
题型二　求离散型随机变量的方差(标准差)
例2　已知袋中有20个大小相同的球，其中标数字0的有10个，标数字n(n＝1，2，3，4)的有n个．现从袋中任取一球，随机变量X表示所取球上标的数字，求X的方差、标准差．
状元随笔　已知标数字n的有n个，即标数字1的有1个、标数字2的有2个，标数字3的有3个，标数字4的有4个，从而可以明确随机变量X的取值及各个取值对应的概率，进而写出X的分布列、求出X的均值，即可求得X的方差、标准差．
方法归纳
求离散型随机变量的方差和标准差的步骤
(1)明确随机变量的所有取值，并理解随机变量每一个取值的意义；
(2)求出随机变量取各个值的概率；
(3)列出随机变量的分布列；
(4)利用均值公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求出随机变量X的均值EX；
(5)利用方差公式DX＝求出随机变量X的方差DX；
(6)利用方差与标准差的关系，求出随机变量的标准差＝.
跟踪训练2　有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝x·y.
求：(1)X所取各值的概率；
(2)随机变量X的均值与方差．
题型三　均值、方差的综合应用
例3　有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点工程，为了对重点工程负责，政府到两建材厂抽样检查，从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度，抗拉强度的分布列分别如下：
ξ 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
η 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξ和η分别表示甲、乙建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，那么哪个建材厂的材料稳定性较好？
先计算出Eξ和Eη，比较两种材料抗拉强度的均值，再计算出Dξ和Dη，比较两种材料的稳定性．
方法归纳
在衡量随机变量的实际决策问题中，一般先计算均值，比较随机变量平均水平的高低，再计算方差，比较随机变量取值的稳定性．
跟踪训练3　为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列．
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
[课堂十分钟]
1．已知离散型随机变量X的概率分布列为
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其方差DX＝(　　)
A.1 B．0.6
C.2.44 D．2.4
2．在某公司的一次投标工作中，中标可以获利12万元，没有中标损失成本费0.5万元．若中标的概率为0.6，设公司盈利为X万元，则DX＝(　　)
A.7 B．31.9
C.37.5 D．42.5
3．随机变量X表示某运动员在2次比赛中的得分，其分布列如表，若0＜a＜，EX＝3，则DX＝(　　)
X 0 2 4
P a －a
A. B．
C． D．
4．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
5．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
甲保护区：
X 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区：
Y 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
3．2　离散型随机变量的方差
新知初探·课前预习
要点
1．E(X－EX)2　
2．越小　越大
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：因为D(X甲)>D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．故选B.
答案：B
3．解析：EX＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，
DX＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.
答案：B
4．解析：X的标准差＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)由题意可得：解得或
因为a，b，c互不相等，所以a＝，b＝，c＝，分布列为
X －1 0 2
P
故EX＝－＋0＋＝－，
DX＝＝.
(2)∵EX＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16
∴DX＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384
∴σX＝＝8.
答案：(1)　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)由题意知，命中目标的人数X的所有可能取值是0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴EX＝0×＋1×＋2×＝，
DX＝＝.
(2)由题意得，P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 2 6 10
P 0.3 0.4 0.2 0.1
故EY＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3，
DY＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.
故工期延误天数Y的方差为9.8.
答案：(1)B　(2)9.8
例2　解析：由题意知，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，4且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
∴EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，
∴DX＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
∴σX＝＝＝.
跟踪训练2　解析：(1)P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝4)＝＝.
(2)X的分布列为
X 0 1 2 4
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
DX＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝.
例3　解析：由题意可得，Eξ＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
Eη＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
Dξ＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
Dη＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于Eξ＝Eη，而Dξ跟踪训练3　解析：(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)可得Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)；
Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)；
Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于Eξ>Eη，说明甲平均射中的环数比乙高；
又因为Dξ所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会．
[课堂十分钟]
1．解析：∵分布列中出现的所有的概率之和等于1，
∴0.5＋m＋0.2＝1解得m＝0.3
所以EX＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
所以DX＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
故选C.
答案：C
2．解析：∵P＝0.6，P＝0.4，
∴EX＝12×0.6＋×0.4＝7，
从而DX＝2×0.6＋2×0.4＝37.5.
故选C.
答案：C
3．解析：∵EX＝3
∴0×a＋2×＋4×(－a)＝3
解得a＝
∴DX＝(0－3)2×＋(2－3)2×＋(4－3)2×＝.
答案：D
4．解析：设事件在一次试验中发生的概率为p，由题意知，事件在一次试验中发生的次数X服从两点分布，即
X 0 1
P 1－p p
∴EX＝p.
∴DX＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)＝0.25
解得p＝0.5.
答案：0.5
5．解析：甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：
EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
DX＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：
EY＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
DY＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为EX＝EY，DX>DY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．

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