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4.1　二项分布
[教材要点]
要点一　二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为：
P(X＝k)＝__________________(k＝0，1，2，…，n)
则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为____________．
状元随笔　判断一个随机变量是否服从二项分布的关键在于它是否同时满足以下两个条件：
①在一次试验中只有两种试验结果，而且事件A发生的概率为p，事件发生的概率为1－p.
②试验可以独立重复地进行，即每次重复做一次试验，事件A发生的概率都是同一常数p，事件发生的概率都是1－p.
要点二　二项分布与两点分布的均值与方差
(1)若随机变量X～B(n，p)，则
EX＝np，DX＝np(1－p)
(2)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则
EX＝p，DX＝p(1－p)
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　　)
(2)在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　　)
(3)如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.(　　)
(4)两点分布是二项分布的特殊情况．(　　)
2．某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为(　　)
×0.88×0.22 B．0.88×0.22
×0.28×0.82 D．0.28×0.82
3．已知X是一个随机变量，若X～B，则P(X＝2)等于(　　)
A．　　　　B． C．　　　　D．
4．已知X～B(n，p)，EX＝8，DX＝1.6，则n＝__________，p＝________．
题型一　求独立重复试验的概率
例1　甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；
(3)假设某人连续2次未击中目标，则射击停止，问：乙恰好射击5次后被中止射击的概率是多少？
方法归纳
独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练1　甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
题型二　二项分布的应用
角度1　与二项分布有关的应用题
例2　某校有关研究性学习小组进行一种验证性试验，已知该种试验每次成功的概率为.
(1)求他们做了5次这种试验至少有2次成功的概率．
(2)如果在若干次试验中，累计有两次成功就停止试验，求该小组做了5次试验就停止试验的概率．
角度2　可转化为与二项分布有关的应用题
例3　甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中每人答对的概率分别为，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列．
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
方法归纳
利用二项分布解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布模型，也就是看它是不是n次独立重复试验．随机变量是不是在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则不服从二项分布．
跟踪训练2　某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．
题型三　二项分布的均值与方差
例4　一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．
方法归纳
对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．
跟踪训练3　一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
易错辨析　审题不清致误
例5　某知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行．每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为.
(1)求选手甲可进入决赛的概率．
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列．
解析：(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为＝；
选手甲答4道题进入决赛的概率为＝；
选手甲答5道题进入决赛的概率为＝.
所以选手甲可进入决赛的概率为＝.
(2)依题意，ξ的可能取值为3，4，5，则有P(ξ＝3)＝＋＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
所以ξ的分布列如下：
ξ 3 4 5
P
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题对“甲答4题进入决赛”与“甲答4题结束比赛”等概念的理解不全面，容易导致失误． 在求分布列时，一定要将X的取值全面考虑，不要漏掉某一种情形，如求本例中P(ξ＝4)的时候，容易忽略“甲答4题结束比赛”这一情况．
[课堂十分钟]
1．[多选题]下列随机变量X服从二项分布的是(　　)
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
2．若100件产品中有10件次品，从中有放回地抽取5件，其中次品数ξ～B(n，p)，则(　　)
A．n＝5，p＝0.1 B．n＝10，p＝0.1
C．n＝5，p＝0.9 D．n＝10，p＝0.9
3．在比赛中运动员甲获胜的概率是，假设每次比赛互不影响，那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是(　　)
A． B．
C． D．
4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p是________．
5．某人投弹击中目标的概率P＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差．
(2)求重复10次投弹时击中次数Y的均值和方差．
4.1　二项分布
新知初探·课前预习
要点一
pk(1－p)n－k　X～B(n，p)
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：设X为击中目标的次数，则X～B(10，0.8)，∴这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X＝8)＝×0.88×(1－0.8)2＝×0.88×0.22.故选A.
答案：A
3．解析：由题意知n＝6，p＝，故P(X＝2)＝＝＝.故选D.
答案：D
4．解析：因为随机变量X～B(n，p)，所以EX＝np＝8，DX＝np(1－p)＝1.6，解得p＝0.8，n＝10.
答案：10　0.8
题型探究·课堂解透
例1　解析：设“甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A、B”，则P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲射击4次，全击中目标的概率为＝.
所以甲射击4次至少1次未中目标的概率为
P＝1－＝.
(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为
＝.
乙恰好击中3次，概率为
＝.
所以概率为＝.
(3)乙射击5次后，中止射击，第3次击中，4、5次不中，而1、2至少1次击中目标，所以中止的概率为＋＋＝.
跟踪训练1　解析：(1)甲恰好击中目标2次的概率为·＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝＝＝.
例2　解析：(1)设5次试验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少成功2次为事件C，
则P(C)＝1－P(A＋B)
＝1－P(A)－P(B)
＝
＝
所以5次实验至少2次成功的概率为.
(2)该小组做了5次试验后停止，所以前4次有且只有一次成功，且第5次成功．
设该事件为D，
则P(D)＝＝.
所以做了5次试验就停止的概率为.
例3　解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，
所以ξ～B.
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C互斥．
P(C)＝×()＝.
P(D)＝＝.
所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＝.
跟踪训练2　解析：(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A发生的概率为：P(A)＝＝.
(2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0，1，2，3，4)．
由题意，得P(B0)＝＝，
P(B1)＝＝，
P(B2)＝＝.
由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B发生的概率为P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝.
例4　解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，
所得的分数为η，
由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，
则Eξ＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6.
故Eη＝E4ξ＝4Eξ＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96.
所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是60和96.
跟踪训练3　解析：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，
且ξ～B，所以Eξ＝6×＝2，
Dξ＝6×＝.
(2)由已知η＝30ξ，所以Eη＝30Eξ＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
[课堂十分钟]
1．解析：选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5局比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n，0.3)．故选ACD.
答案：ACD
2．解析：n＝5，p＝＝0.1.
答案：A
3．解析：由n次独立重复试验的概率计算公式，得·＝.故选B.
答案：B
4．解析：P(X＝2)＝p2(1－p)2＝，
即p2(1－p)2＝，解得p＝或p＝.
答案：或
5．解析：(1)X的分布列为
X 0 1
P 0.2 0.8
EX＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，
DX＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.
(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10，0.8)，
∴EY＝10×0.8＝8，
DY＝10×0.8×0.2＝1.6.

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