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4．2　超几何分布
[教材要点]
要点一　超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝________________，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．
其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布．
状元随笔　判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N －M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布．满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成，如男生，女生；正品，次品；优，劣等．
要点二　超几何分布的均值
一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝________．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)超几何分布的模型是有放回的抽样．(　　)
(2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.(　　)
(3)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P(X＝m)．(　　)
(4)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．超几何分布的总体里只有两类物品．(　　)
2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数X
C．某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
3．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)
A．N＝10，M＝4，n＝6 B．N＝10，M＝6，n＝4
C．N＝14，M＝10，n＝4 D．N＝14，M＝4，n＝10
4．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为________．
题型一　超几何分布模型的概率
例1　从5名男生和3名女生中任选3人参加某活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列及P(X<2)．
方法归纳
关于超几何分布的概率求法
首先明确随机变量是否服从超几何分布，把握等可能、不放回两个特点；其次是明确公式中的参数，即N，M，n的值各是什么；最后代入公式计算概率．
跟踪训练1　在高二年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出3个球，至少摸到2个红球就中奖，求中奖的概率．
题型二　超几何分布的均值
例2　一袋中有7个大小相同的小球，其中有2个红球，3个黄球，2个蓝球，从中任取3个小球．
(1)求红、黄、蓝三种颜色的小球各取1个的概率．
(2)设X表示取到的蓝色小球的个数，求X的分布列和数学期望．
方法归纳
(1)先判断随机变量服从超几何分布，找出参数N，M，n的取值．
(2)利用公式P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，m＝min{M，n}求出分布列．
(3)利用均值定义求出均值EX.
跟踪训练2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率．
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．
题型三　超几何分布与二项分布的区别
例3　在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数η的均值．
方法归纳
二项分布和超几何分布最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样，所以在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读，辨别题目条件是非常重要的．
跟踪训练3　(1)现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本的本数为 (　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)甲、乙两人玩秒表游戏，先按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数．若出现0，1，2，3，则甲赢；若出现6，7，8，9，则乙赢；若出现4，5，则是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的分布列．
易错辨析　对超几何分布的概念理解不透致错
例4　盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X的分布列．
解析：X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
因此，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
【易错警示】
易错原因 纠错心得
本题易错认为X服从超几何分布，其中N＝12，M＝3，n＝3，所以在取得正品之前已取出次品数X的分布列为P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，从而所求分布列错误．产生错误的原因是未理解超几何分布的概念，本题是不放回抽样，属于排列问题，而超几何分布是一次性抽取若干件产品，属于组合问题． 根据超几何分布的定义，可以知道超几何分布的模型是不放回抽样．同时在总体中只有两类物品，它研究的对象必须明确，即是对哪一类物品的分布进行研究的，不能搞错．如检验产品时，既可以研究抽取的产品中合格品的件数是否服从超几何分布．也可以研究抽取的产品中不合格品的件数是否服从超几何分布，由于是从总数为N件的物品中任取n件，这N件物品中包括合格品与不合格品，因此在计算不合格品的分布列的过程中也可得到合格品的分布列．
[课堂十分钟]
1．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为(　　)
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝(　　)
A．　　　　B． C．　　　　D．
3．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为(　　)
4．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．(用式子表示)
5．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回的方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X表示，求随机变量X的分布列与均值．
4．2　超几何分布
新知初探·课前预习
要点一
要点二
[基础自测]
1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由超几何分布的定义可知B正确．
答案：B
3．解析：根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6，故选A.
答案：A
4．解析：次品数服从超几何分布，则EX＝3×＝0.3.
答案：0.3
题型探究·课堂解透
例1　解析：由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＝.
跟踪训练1　解析：由题意知，摸到红球个数X为离散型随机变量，X服从超几何分布，则至少摸到2个红球的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝.
故中奖的概率为.
例2　解析：(1)P＝＝.
(2)X可能取0，1，2，X服从N＝7，M＝5，n＝2的超几何分布．
P(X＝0)＝＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝，
X的分布列为
X 0 1 2
P
EX＝＝.
跟踪训练2　解析：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有6人，参赛学生全从B中抽出(等价于A中没有学生入选代表队)的概率为＝，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，X表示参赛的男生人数，则X的可能取值为1，2，3，且X服从超几何分布．
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X 1 2 3
P
∴数学期望EX＝1×＋2×＋3×＝2.
另解：由超几何分布的均值公式EX＝4×＝2.
例3　解析：(1)方法一　P(ξ＝0)＝＝；
P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝，
∴随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
方法二　由题意知P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2)，
∴随机变量ξ服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴Eξ＝＝＝.
(2)由题意知每次取到次品的概率为＝，
∴η～B，∴Eη＝3×＝.
跟踪训练3　解析：(1)设语文课本有m本，任取2本中的语文课本数为X，则X服从参数为N＝7，M＝m，n＝2的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝k)＝(k＝0，1，2)．由题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＝＝，
所以m2－m－12＝0，解得m＝4或m＝－3(舍去)，
即7本书中语文课本有4本．故选C.
(2)由题意得，每次甲赢的概率为0.4，X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝×0.63＝0.216，
P(X＝1)＝×0.4×0.62＝0.432，
P(X＝2)＝×0.42×0.6＝0.288，
P(X＝3)＝×0.43＝0.064.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
答案：(1)C　(2)见解析
[课堂十分钟]
1．解析：若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，取到10个球中恰有6个红球，即X＝6，P(X＝6)＝(注意袋中球的个数为80＋20＝100)．
答案：D
2．解析：P(X＝3)＝＝.
答案：D
3．解析：设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，
则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝.
答案：D
4．解析：设选取的4人中英国人有X个，由题意知X服从参数为N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，其中X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4)．∴P(X＝3)＝.
答案：
5．解析：X可能取的值为0，1，2.
由题意知，X服从超几何分布，
所以P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为：
X＝k 0 1 2
P(X＝k)
∴EX＝0×＋1×＋2×＝.

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