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§5　正态分布
最新课标 (1)通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征． (2)了解正态分布的均值、方差及其含义．
[教材要点]
要点一　正态分布
由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为X～N(μ，σ2)．其中EX＝________，DX＝________．
状元随笔　(1)对参数μ，σ的理解
①正态分布由参数μ、σ唯一确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．
②参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．
(2)服从正态分布的随机变量X的概率特点
若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(X＝a)＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P(X要点二　正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
(2)曲线是单峰的，关于直线________对称．
(3)曲线的最高点位于________处．
(4)当x<μ时，曲线________；当x>μ时，曲线________；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴________．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越________；σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越________．
要点三　正态分布随机变量X在三个特殊区间取值的概率
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为________．
状元随笔　对小概率事件(一般情况下，指发生的概率小于0.27%的事件)要有一个正确的理解：
(1)这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很有可能发生的；
(2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，也有0.27%的犯错的可能．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　)
(2)正态曲线可以关于y轴对称．(　　)
(3)在正态分布中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．(　　)
(4)正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形状由σ确定．(　　)
2．已知三条正态曲线fi(x)＝ (x∈R，i＝1，2，3)如图所示，则下列判断正确的是(　　)
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
3．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．不确定
4．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝________．
题型一　正态曲线及其性质
例1　(1)如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态分布密度曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
(2)[多选题]甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布)，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
方法归纳
用正态曲线的性质可求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ；
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ；
(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．
跟踪训练1　(1)[多选题]某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝e－，则下列命题中正确的是(　　)
A．这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．这次考试的数学成绩的标准差为10
(2)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值μ＝________，方差σ2＝________．
题型二　正态分布的概率计算
例2　(1)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝(　　)
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
(2)若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　)
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
(3)据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态分布N(174，9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174，180]范围内的人数为________．
方法归纳
求解正态分布的概率问题的思路
利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考考查的重点．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断，常用结论如下．
1．对于正态分布N(μ，σ2)，由直线x＝μ是正态曲线的对称轴知：
(1)对任意的实数a，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
(2)P(X(3)P(a2．对于μ＝0的正态分布，求X落在某区间的概率时常利用如下两个公式：
(1)P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)；
(2)P(a3．当条件中无已知概率时，则要将区间转化为三个特殊区间：P(μ－σ跟踪训练2　(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝(　　)
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(0A．0.4 B．0.6
C．0.7 D．0.8
(3)某工厂制造的某种机器零件的尺寸X～N(100，0.01)，现从中随机抽取10 000个零件，尺寸在(99.8，99.9]内的个数约为________．
题型三　正态分布的实际应用
例3　有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～N(20，4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？
方法归纳
解答这类问题的关键是：第一，能够根据正态分布的参数，判别出所提供区间与特殊区间的关系；第二，熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定给定区间属于上述三个区间中的哪一个．
跟踪训练3　某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
易错辨析　混淆正态分布的均值与标准差
例4　[多选题]把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度，得到一条新的曲线C2，下列说法正确的是(　　)
A．曲线C2仍是正态曲线
B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等
C．以曲线C2为正态曲线的总体的方差比以曲线C1为正态曲线的总体的方差大2
D．以曲线C2为正态曲线的总体的均值比以曲线C1为正态曲线的总体的均值大2
解析：正态密度函数为f(x)＝e－，正态曲线的对称轴为直线x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝.所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标f(μ)没变，从而σ没变，所以方差没变，所以A、B正确，C错误；而平移前后对称轴变了，即μ变了．因为曲线向右平移2个单位长度，所以均值μ增大了2个单位长度，所以D正确．故选ABD.
答案：ABD
【易错警示】
易错原因 纠错心得
混淆了μ和σ的意义导致错选或漏选． 切记正态密度函数中μ是均值，σ是标准差，正态曲线关于直线x＝μ对称，σ的大小决定曲线的“胖瘦”．
[课堂十分钟]
1．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是(　　)
A．0和8 B．0和4
C．0和2 D．0和
2．设X～N(10，0.64)，则DX等于(　　)
A．0.8 B．0.64
C．0.642 D．6.4
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于(　　)
A． B．
C． D．
4．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝________．
5．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率．
§5　正态分布
新知初探·课前预习
要点一
μ　σ2
要点二
(2)x＝μ　(3)x＝μ　(4)上升　下降　(5)平移　(6)越大　分散　越小　集中
要点三
3σ原则
[基础自测]
1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1<μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，σ越大，总体分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，总体分布越集中，曲线越“瘦高”，则σ1＝σ2<σ3.故选D.
答案：D
3．解析：由正态曲线性质知EX＝0.故选C.
答案：C
4．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称的特点可知c＝μ.
答案：μ
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)利用正态曲线的性质求解，当μ＝0，σ＝1时，正态密度曲线f(x)＝，在x＝0时，取最大值，故σ2＝1.由正态密度曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.故选D.
(2)由图象可知甲曲线关于直线x＝0.4对称，乙曲线关于直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，故A，C正确；因为甲曲线比乙曲线更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确；因为乙曲线的峰值为1.99，即＝1.99，所以σ2≠1.99，D错误，故选ABC.
答案：(1)D　(2)ABC
跟踪训练1　解析：(1)由正态分布密度函数知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，C正确．
(2)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，
因此总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2.
答案：(1)ACD　(2)20　2
例2　解析：
(1)由X～N(2，σ2)可知，其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.故选A.
(2)由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≥1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.
(3)因为身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3.
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168，180]范围内的概率为0.954 4.
因为μ＝174，所以身高在(168，174]和(174，180]范围内的概率相等，均为0.477 2.
故该市高二男生身高在(174，180]范围内的人数为3 000×0.477 2≈1 432.
答案：(1)A　(2)C　(3)1 432
跟踪训练2　解析：(1)因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
所以μ＝2，对称轴是x＝2.
因为P(ξ<4)＝0.8，
所以P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
所以P(0<ξ<4)＝0.6，
所以P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
(2)由题意可得P(1(3)∵X～N(100，0.01)，∴μ＝100，σ＝0.1，则P(99.8答案：(1)C　(2)D　(3)1 359
例3　解析：(1)∵X～N(20，4)，
∴μ＝20，σ＝2.
∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.因此尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个)．
跟踪训练3　解析：由于外直径ξ～N(4，0.52)，则ξ在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之内取值的概率为0.997 4，在(2.5，5.5)之外取值的概率为0.002 6，而5.7 (2.5，5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．
[课堂十分钟]
1．解析：由条件可知μ＝0，σ＝2.
答案：C
2．解析：由正态分布的性质知DX＝0.64.
答案：B
3．解析：∵ξ～N(3，σ2)，∴ξ＝3为正态曲线的对称轴．
∴P(ξ＜3)＝.
答案：D
4．解析：由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
答案：0.16
5．解析：依题意得μ＝104，σ＝400.
∴P(104－800由正态分布性质知P(X<104－800)＝P(X>104＋800)．
故2P(X>10 800)＋P(104－800∴P(X>10 800)＝＝0.023，
故使用时间超过10 800小时的概率为0.023.

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