资源简介

§2　成对数据的线性相关性
2．1　相关系数
2．2　成对数据的线性相关性分析
最新课标 (1)结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系． (2)结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．
[教材要点]
要点　相关系数
1．样本(线性)相关系数：一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝＝，称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数，为了计算的方便，再给出如下式子：r＝
状元随笔　(1)计算样本相关系数r，需要求出的量；
①应用公式r＝，，.
②应用公式r＝
(2)公式的选择：当题目中的数据需要自己一一求出时，两个公式选用哪一个都可以；当题目中的数据已给出时，需通过已给出的数据判断选出哪一个公式方便．另外注意两个公式的相通性，适当时可进行转化．
2．样本相关系数与相关程度
样本(线性)相关系数r的取值范围是[－1，1].
|r|值越接近____，随机变量之间的线性相关程度越强；
|r|值越接近____，随机变量之间的线性相关程度越弱．
当r>0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量______相关；
当r<0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量______相关；
当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段．(　　)
(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．(　　)
(3)当一个变量的值增加时，另一个变量的值随之减少，则称这两个变量负相关．(　　)
(4)一般地，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好．(　　)
2．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图如图(2)．由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
3．已知两个变量负相关，且相关程度很强，则它们的相关系数的大小可能是(　　)
A．－0.95 B．－0.13
C．0.15 D．0.96
4．用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，其中________(填甲、乙、丙中的一个)组数据的线性相关性最强．
题型一　相关关系的判断
例1　(1)如图所示的散点图分别反映的变量间的相关关系是(　　)
A．正相关，负相关，不相关 B．负相关，不相关，正相关
C．负相关，正相关，不相关 D．正相关，不相关，负相关
(2)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是(　　)
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%
B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%
C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%
D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
方法归纳
判定两个变量正、负相关性的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)相关系数：当r>0时，两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关．
跟踪训练1　(1)(多选题)如图所示的两个变量不具有相关关系的是(　　)
(2)某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
月份 1 2 3 4 5 6
人均销售额 6 5 8 3 4 7
利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3
根据表中数据，下列说法正确的是(　　)
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
题型二　线性相关程度的判断
例2　为了对2020年某校期末成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理成绩对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学成绩x 68 72 78 81 85 88 91 93
物理成绩y 70 66 81 83 79 80 92 89
用变量y与x的样本相关系数r(精确到0.01)说明物理成绩y与数学成绩x的线性相关程度的强弱，并说明它们的变化趋势特征．
参考数据：＝52 957, ≈545.82.
方法归纳
在统计中常用样本相关系数r来衡量两个变量间线性相关程度的强弱．r的范围为[－1，1]，r为正时，两个变量正相关；r为负时，两个变量负相关；|r|越接近1，两个变量间线性相关程度越大；|r|越接近0，两个变量间线性相关程度越小．
跟踪训练2　某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如表：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
求水稻产量与施化肥量的相关系数，并判断相关性的强弱．
相关系数及线性回归直线方程系数公式：
参考数据：＝7 000，＝1 132 725，＝87 175.
[课堂十分钟]
1．[多选题]如图所示是由成对样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)得到的散点图，由散点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的是(　　)
2．对两个变量x，y的几组观测数据统计如表，则这两个相关变量的关系是(　　)
x 10 9 8 7 6 5
y 2 3 3.5 4 4.8 5
A.负相关 B．正相关
C．先正后负相关 D．先负后正相关
3．已知x，y是两个变量，下列四个关系中，x，y呈负相关的是(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝－x2＋1
C．y＝x－1 D．y＝－x＋1
4．下列说法中正确的是________(填序号)．
①变量间的线性相关系数r的取值范围为[－1，1]；
②变量间的线性相关系数r的绝对值越接近0，则变量间的线性相关程度越低；
③变量间的相关系数越小，变量间的相关程度越小．
5．现随机抽取了某校10名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成绩(y)，数据如表：
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
请问：这10名学生的两次数学考试成绩是否具有显著的线性相关关系？
2．1　相关系数
2．2　成对数据的线性相关性分析
新知初探·课前预习
要点
2．1　0　正　负
[基础自测]
1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由两个散点图的形状判断，x与y负相关，u与v是正相关．故选C.
答案：C
3．解析：相关系数r<0时，成对数据负相关，且|r|越大，两个变量之间的线性相关程度越强．
答案：A
4．解析：|r|越接近1，两个变量的线性相关性越强，而|－0.98|＞|0.81|＞|0.63|，所以乙组数据的线性相关性最强．
答案：乙
题型探究·课堂解透
例1　解析：(1)对于图(1)，图中的点成带状分布，且从左到右上升，两个变量正相关；对于图(2)，图中的点杂乱无章，没有明显的规律，两个变量不相关；对于图(3)，图中的点成带状分布，且从左到右下降，两个变量负相关．故选D.
(2)观察图形，可知人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%，故选B.
答案：(1)D　(2)B
跟踪训练1　解析：(1)A是确定的函数关系；B中的点大都分布在一条曲线周围；C中的点大都分布在一条直线周围；D中点的分布没有任何规律可言，x，y不具有相关关系．故选AD.
(2)由统计表可得利润率与人均销售额不是正比例关系，也不是反比例关系，排除C和D；其属于正相关关系，A正确，B错误．
答案：(1)AD　(2)A
例2　解析：＝＝82，
＝＝80，
r＝≈＝≈0.87>0.
所以物理成绩y与数学成绩x的线性相关程度较强，且呈正相关，它们的变化趋势相同．
跟踪训练2　解析：由已知数据计算可知，＝30，≈399.3，
∴相关系数r＝≈0.97
由于0.97与1十分接近，所以水稻产量与施化肥量的相关性强．
[课堂十分钟]
1．解析：散点图中的点均匀分布在一条直线附近，故选AD.
答案：AD
2．解析：根据两个变量x，y的几组观测数据统计表知，y随x的增大而减小，所以这两个相关变量负相关．
答案：A
3．解析：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2－1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；对于B，y＝－x2－1，当x增大时，y的值不一定减小，两个变量不是负相关，不符合题意；对于C，y＝x－1，当x增大时，y的值一定增大，两个变量正相关，不符合题意；对于D，y＝－x＋1，当x增大时，y的值一定减小，两个变量负相关，符合题意；故选D.
4．解析：根据题意，依次分析，对于①，相关系数r满足|r|≤1，即相关系数r的取值范围为[－1，1]，①正确；对于②，根据相关系数的性质知|r|≤1，且|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小，则②正确；对于③，当r接近－1时，变量间的相关程度比r接近0时的大，故③错误．
答案：①②
5．解析：＝ (120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，
＝ (84＋64＋…＋57＋71)＝68，
＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584，
＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384，
＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73 796，
所以，相关系数为
r＝≈0.750 6，
故两次数学考试成绩有显著的线性相关关系．

展开更多......

收起↑