资源简介

第三章 章末复习课
一、空间向量的概念及运算
空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等．
例1　(1)[多选题]下列命题中不正确的是(　　)
A．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
C．零向量是没有方向的
D．有向线段就是向量，向量是有向线段
(2)如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角均为60°.求：
①的长；
②与夹角的余弦值．
跟踪训练1　[多选题]如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.以下结论正确的是(　　)
A．＝0
B．()·()＝0
C．＝0
D．·＝·
二、利用空间向量证明线、面的位置关系
用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结：
(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直．
(3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量．
(4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．
例2　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
求证：(1)AF∥平面BDE；
(2)CF⊥平面BDE.
跟踪训练2　如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD，求证：
(1)平面PQB⊥平面DCQ；
(2)PC∥平面BAQ.
三、利用空间向量求空间角
空间中三种角的计算公式
(1)两条异面直线所成的角θ：cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝＝(其中u，v分别是两异面直线的方向向量)．
(2)直线和平面所成的角θ：sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝(其中u是直线的方向向量，n是平面的法向量)．
(3)两个平面的夹角θ：cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝(其中n1，n2分别是两平面的法向量)．
　
例3 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.求：
(1)cos 〈A1D，〉；
(2)直线AD与平面ANM所成角的正弦值；
(3)平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值．
跟踪训练3　如图，四棱锥F ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC＝2，BD＝，CF与平面ABCD垂直，CF＝2，求平面BAF和平面DAF的夹角的大小．
四、利用空间向量求距离
空间中两种距离的计算公式
(1)直线l外一点P到直线l的距离：PQ＝＝(其中A是l上的定点，是在l上的投影向量，＝a，u是l的单位方向向量)．
(2)平面α外一点P到平面α的距离：PQ＝＝＝(其中A是平面α内的定点，n是平面 α的法向量)．
例4　长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：
(1)M到直线PQ的距离；
(2)M到平面AB1P的距离．
跟踪训练4　如图所示，在四棱锥P ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，BC＝2，E是PB上一点，且BE＝2EP，求点E到直线PD的距离．
五、利用空间向量解决探索性问题
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解或是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．
角度1　与线、面位置关系有关的探索性问题
例5　在四棱锥P ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，请说明理由．
跟踪训练5　如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)在棱PA上是否存在点M，使BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
角度2　与空间角有关的探索性问题
例6　在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，D为BC的中点．
(1)求证：A1B∥平面AC1D；
(2)在线段A1C上是否存在一点E，使平面EAD与平面CAD的夹角的余弦值为？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由．
跟踪训练6　如图所示，在四棱锥P ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2，E为CD的中点，点F在线段PB上．
(1)求证：AD⊥PC；
(2)试确定点F的位置，使直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．
章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)A中，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，A不正确；B中，两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同，B正确；C中，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定，C不正确；D中，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故D不正确．故选ACD.
(2)记＝a，＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.
①|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴|AC1|＝.
②BD1＝b＋c－a，＝a＋b，∴|BD1|＝，||＝，
BD1·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，
∴cos 〈BD1，〉＝＝.
答案：(1)ACD　(2)见解析
跟踪训练1　解析：可以推出：(－)·(－)＝·＝0，所以B正确；－＋－＝＋＝0，所以C正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos ∠ASB，·＝2×2×cos ∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此D正确．故选BCD.
答案：BCD
例2　
解析：(1)证明：设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG 平面BDE，AF 平面BDE，所以AF∥平面BDE.
(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C xyz，则C(0，0，0)，A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F.
所以＝，＝(0，－，1)，＝(－，0，1).所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0.
所以CF⊥BE，CF⊥DE.
又BE∩DE＝E，所以CF⊥平面BDE.
跟踪训练2　解析：
如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长度，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz.
(1)依题意有D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，所以·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC 平面DCQ，故PQ⊥平面DCQ，又PQ 平面PQB，所以平面PQB⊥平面DCQ.
(2)根据题意，＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，＝(0，1，0)，故有·＝0，·＝0.所以为平面BAQ的一个法向量，又因为 ＝(0，－2，1)，且·＝0，即DA⊥PC，且PC 平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.
例3　解析：建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，A1(0，0，4)，M(5，2，4)，D(0，8，0).
(1)∵＝(5，2，4)，A1D＝(0，8，－4)，
∴·A1D＝0＋16－16＝0，
∴⊥A1D．
∴cos 〈A1D，〉＝0.
(2)由(1)知A1D⊥AM，又A1D⊥AN，AM∩AN＝A，AM，AN 平面AMN，
∴A1D⊥平面AMN，
∴A1D＝(0，8，－4)是平面ANM的一个法向量．
又＝(0，8，0)，|A1D|＝4，||＝8，A1D·＝64，
∴cos 〈A1D，〉＝＝＝.
∴AD与平面ANM所成角的正弦值为.
(3)由(2)知平面ANM的一个法向量是A1D＝(0，8，－4)，又平面ABCD的一个法向量是a＝(0，0，1)，
∴cos 〈A1D，a〉＝＝＝－.
∴平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值为.
跟踪训练3　
解析：过点A作AE⊥平面ABCD，以A为坐标原点，，，方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是A(0，0，0)
B，D，F(0，2，2)，＝，＝(0，2，2)，设平面BAF的法向量为n1＝(x，y，z)，
则由得
令z＝1，得
所以n1＝(－，－1，1).
同理，可求得平面DAF的一个法向量n2＝(，－1，1)，
由n1·n2＝0，知平面BAF与平面DAF垂直．
所以平面BAF和平面DAF的夹角的大小为.
例4　
解析：如图，建立空间直角坐标系B－xyz，
则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2)，B1(0，0，4).
(1)∵＝(－2，－3，2)，
＝，
∴在上的射影的模为＝＝，
∴M到直线PQ的距离为＝＝；
(2)设平面AB1P的法向量n＝(x，y，z)，则n⊥AB1，n⊥，
∵AB1＝(－4，0，4)，＝(－4，4，0)，
∴，令x＝1，解得：y＝1，z＝1，∴n＝(1，1，1)，
又＝(2，－3，－4)，
∴M到平面AB1P的距离d＝＝＝.
跟踪训练4　解析：以A为原点，AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，0，2)，P(0，0，3)，D(0，2，0)，所以＝(－1，0，1)，＝(0，2，－3).
取a＝＝(－1，0，1)，u＝＝.
所以点E到直线PD的距离为＝＝.
例5　解析：
如图，以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1).
(1)证明∵＝(0，1，1)，平面PAD的一个法向量为n＝(1，0，0)，
∴·n＝0，即⊥n，又BM 平面PAD，∴BM∥平面PAD.
(2)＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)，假设平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.设N(0，y，z)，则＝(－1，y－1，z－1)，从而MN⊥BD，MN⊥PB，
∴即
∴∴N，
∴在平面PAD内存在一点N，使MN⊥平面PBD.
跟踪训练5　解析：(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又PD 平面PAD，所以AB⊥PD，又PA⊥PD.AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以PD⊥平面PAB.
(2)取AD的中点O，连接PO，CO，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
因为PO 平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.
因为CO 平面ABCD，所以PO⊥CO.
因为AC＝CD，所以CO⊥AD.
如图，建立空间直角坐标系O xyz，由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1).所以＝(2，0，－1)，＝(0，－1，－1).设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则y＝－2，z＝2，所以n＝(1，－2，2)为平面PCD的一个法向量，设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0，1]使得＝λ.因此点M(0，1－λ，λ)，＝(－1，－λ，λ).
因为BM 平面PCD，所以要使BM∥平面PCD，则·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝，所以在棱PA上存在点M，使BM∥平面PCD，此时＝.
例6　解析：(1)证明　设A1C交AC1于点F，则F为A1C的中点，连接DF.因为D为BC的中点，所以在△A1BC中，A1B∥DF，而DF 平面AC1D，A1B 平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，假设在线段A1C上存在一点E，使平面EAD与平面CAD的夹角的余弦值为.过点E作EM⊥AC于点M，则EM⊥平面ABC，设EM＝h(0＜h＜3)，则A(2，0，0)，D，E，所以＝.＝.依题意知，CC1＝(0，0，3)为平面ADC的一个法向量，设平面ADE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，可得n＝，
所以|cos 〈CC1，n〉|＝＝.
解得h＝，所以存在符合题意的点E，此时E为A，C的中点．
跟踪训练6　解析：(1)证明　如图所示，在平行四边形ABCD中，连接AC，因为AB＝2，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos 45°＝4，得AC＝2，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.又AD∥BC，所以AD⊥AC.因为AD＝AP＝2，DP＝2，所以PA⊥AD，又AP∩AC＝A，AP，AC 平面PAC，所以AD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，所以AD⊥PC.
(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 侧面PAD，所以PA⊥底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两垂直，以A为原点，直线AD，AC，AP为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz，则A(0，0，0)，D(－2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(－1，1，0)，P(0，0，2)，所以＝(0，2，－2)，＝(－2，0，－2)，＝(2，2，－2).设＝λ(λ∈[0，1])，则＝(2λ，2λ，－2λ)，F(2λ，2λ，－2λ＋2)，所以＝(2λ＋1，2λ－1，－2λ＋2).易得平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1).设平面PDC的法向量为n＝(x，y，z)，由得
令x＝1，得n＝(1，－1，－1).
因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等，所以|cos 〈·m〉|＝|cos 〈·n〉|，即＝，所以|－2λ＋2|＝，
即|λ－1|＝|λ|(λ∈[0，1])，
解得λ＝，所以＝，
即当＝时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．

展开更多......

收起↑