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考点四十七 用样本估计总体及样本的数字特征
知识梳理
1．统计图表
统计图表是表达和分析数据的重要工具，常用的统计图表有条形统计图、扇形统计图、折线统计图、茎叶图等．
2.频率分布直方表
(1)含义：把反映总体频率分布的表格称为频率分布表．
(2)频率分布表的画法步骤：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
3. 频率分布直方图
利用直方图反映样本的频率分布规律，这样的直方图称为频率分布直方图．
(1)作频率分布直方图的方法
①先制作频率分布表，然后作直角坐标系．
②把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的，这样得出一系列的矩形．
③每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．
(2)频率分布直方图的特征
①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势；
②从频率分布直方图中得不出原始的数据内容，把数据表示为频率分布直方图后，原有的数据信息就丢失了；
③直方图中各小长方形的面积之和为1.
④直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积．
⑤直方图中每组样本的频数为频率×总体数．
4.频率分布折线图
将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连接起来，就得到频率分布折线图．
5.总体密度曲线
如果将样本容量取得足够大，分组的组距足够小，则相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
6．茎叶图
茎相同者共用一个茎(如两位数中的十位数)，茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶(如两位数中的个位数)，一般按从小到大(或从大到小)的顺序同行列出．这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶图．其优点是当样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好．
茎叶图的画法步骤
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧．
7．样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数．
在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即＝(x1＋x2＋…＋xn)．
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝ ，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差．
(5)标准差和方差的一些结论
若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2.
典例剖析
题型一 频率分布直方图
例1　为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．
答案　12
解析 志愿者的总人数为＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.
变式训练 某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
答案　600
解析　由直方图易得数学考试中成绩小于60分的频率为(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2，所以所求分数小于60分的学生数为3 000×0.2＝600.
解题要点 解决频率分布直方图时要明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1. 常用的结论有：
③直方图中各小长方形的面积之和为1.
④直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积．
⑤直方图中每组样本的频数为频率×总体数．
题型二 茎叶图
例2　在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________，________．
答案 45　46
解析 甲组数据为：28，31，39，42，45，55，58，57，66，中位数为45.乙组数据为：29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46.
变式训练 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是________．
答案　91.5和91.5
解析　这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96，
∴中位数为×(91＋92)＝91.5.
平均数为×(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96)＝91.5.
解题要点 求解茎叶图的习题，要读懂图，弄清楚“茎”和“叶”分别是什么，从而还原出具体的数据．
题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例3　(2014·高考陕西卷)某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为________．
答案 ＋100，s2
解析　＝，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值为＋100，方差不变.
变式训练 甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各随机抽出6件进行测量，测得数据如下：(单位：mm)
甲：99，100，98，100，100，103；
乙：99，100，102，99，100，100.
(1) 分别计算上述两组数据的平均数和方差；
(2) 根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求．
解析 (1) 甲＝100＋(－1＋0－2＋0＋0＋3)＝100；
乙＝100＋(－1＋0＋2－1＋0＋0)＝100.
s＝[(－1)2＋02＋(－2)2＋02＋02＋32]＝，
s＝[(－1)2＋02＋22＋(－1)2＋02＋02]＝1.
(2) 由(1)知，甲＝乙，s>s，
∴ 乙机床加工的这种零件更符合要求．
解题要点 1.熟记一些常用结论：若取值x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均值为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2.
2. 平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．
当堂练习
1．（2015安徽理）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
答案　16
解析　已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16.
2．（2015江苏）已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为________．
答案　6
解析　这组数据的平均数为(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.
3. （2015重庆文）重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是________．
答案　20
解析　由茎叶图，把数据由小到大排列，处于中间的数为20,20，所以这组数据的中位数为20.
4．（2015山东文）为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
甲 　 　乙
9 8 6 2 8 9
1 1 3 0 1 2
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为________．
答案　①④
解析　甲地5天的气温为：26,28,29,31,31，
其平均数为甲＝＝29；
方差为s＝[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6；
标准差为s甲＝.
乙地5天的气温为：28,29,30,31,32，
其平均数为乙＝＝30；
方差为s＝[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2；
标准差为s乙＝.
∴甲＜乙，s甲＞s乙．
5．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)，已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________．
答案 5,8
解析 因为甲组数据的中位数为15，由茎叶图可得x＝5，
因乙组数据的平均数为16.8，
则＝16.8，
解得y＝8.
课后作业
填空题
1．样本中有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．
答案 2
解析 由题意知该组数据的平均值为(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
2．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为______．
答案 100
解析 支出在[50,60)元的频率为1－0.36－0.24－0.1＝0.3，
因此＝0.3，故n＝100.
3．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为________．
答案 0.4
解析 落在[22,30)的频数为4，则所求频率为P＝＝0.4.
4．已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位数为5，则这组数据的平均数和方差分别为________．
答案　5,24
5．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是________．
　　　　1　　2　5
　　　　2 0　2　3　3
　　　　3 1　2　4　4　8　9
　　　　4 5　5　5　7　7　8　8　9
　　　　5 0　0　1　1　4　7　9
　　　　6 1　7　8
答案 46,45,56
解析 样本中数据共30个，中位数为＝46；显然样本数据中出现次数最多的为45，故众数为45；极差为68－12＝56.
6．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是________．
答案　62.8,3.6
解析　平均数增加60，即为62.8.
方差＝[(ai＋60)－(＋60)]2＝ (ai－)2＝3.6.
7．某校甲、乙两个班级各有编号为1,2,3,4,5的五名学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6 7 7 8 7
乙班 6 7 6 7 9
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝________．
答案
解析 甲班的平均数为甲＝＝7，
甲班的方差为s＝＝；
乙班的平均数为乙＝＝7，
乙班的方差为s＝＝.
∵>，∴s2＝.
8．(2013·福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．
答案　480
解析　少于60分的学生人数600×(0.05＋0.15)＝120(人)，∴不少于60分的学生人数为480人．
9．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为________．
答案 78
解析 由题意得75×0.4＋80×0.6＝30＋48＝78，∴平均分为78.
10． （2015湖北文）某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．
答案　(1)3　(2)6 000
解析　由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6×10 000＝6 000，故应填3,6 000.
11．下面茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．
答案　
解析　设被污损的数字为a(0≤a≤9且a∈N)，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋99＋90＋a，解得8>a，即得0≤a≤7且a∈N，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P＝＝.
二、解答题
12． (2015广东理)
某工厂36名工人的年龄数据如下表.
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
　1　　40 　10　　36 　19　　27 　28　　34
　2　　44 　11　　31 　20　　43 　29　　39
　3　　40 　12　　38 　21　　41 　30　　43
　4　　41 　13　　39 　22　　37 　31　　38
　5　　33 　14　　43 　23　　34 　32　　42
　6　　40 　15　　45 　24　　42 　33　　53
　7　　45 　16　　39 　25　　37 　34　　37
　8　　42 　17　　38 　26　　44 　35　　49
　9　　43 　18　　36 　27　　42 　36　　39
(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值和方差s2；
(3)36名工人中年龄在－s与＋s之间的有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)
解析 (1)44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)＝＝40.
s2＝[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝.
(3)40－＝，40＋＝在的有23个，占63.89%.
13．(2015广东文)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．
(1)求直方图中x的值；
(2)求月平均用电量的众数和中位数；
(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
解析 (1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得：
x＝0.007 5，所以直方图中x的值是0.007 5.
(2)月平均用电量的众数是＝230.
因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量为[220,240]的用户有0.012 5×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.007 5×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.002 5×20×100＝5户，抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．

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