资源简介

考点五十 几何概型
知识梳理
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝
3．几何概型的两个特点
几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．
4．几何概型与古典概型的区别
古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个．
典例剖析
题型一 与长度有关的几何概型
例1　(2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为________．
答案　
解析 在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则X≤1，即－2≤X≤1的概率为P＝.
变式训练 (2015山东文)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为________．
答案　
解析　由－1≤log≤1，得≤x＋≤2，∴0≤x≤.
∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝＝.
解题要点 基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．
题型二 与面积有关的几何概型
例2　(2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________．
答案
解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.
变式训练 (2015福建文)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．
答案　
解析　由图形知C(1,2)，D(－2,2)，∴S四边形ABCD＝6，S阴＝×3×1＝.∴P＝＝.
解题要点 求解与面积有关的几何概型的注意点：
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．
题型三 与体积有关的几何概型
例3　在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
答案　1－
解析 点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则P(A)＝＝1－.
变式训练 有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
答案　
解析　先求点P到点O的距离小于或等于1的概率，圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π，以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝×π×13＝π.则点P到点O的距离小于或等于1的概率为＝，故点P到点O的距离大于1的概率为1－＝.
解题要点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
当堂练习
1．(2015陕西文)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为________．
答案　－
解析　由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：
P＝＝＝－.
2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．
答案　
解析　由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.
3. 在区间上随机取一个x，sin x的值介于－与之间的概率为________．
答案
解析 由－＜sinx＜，x∈，得－＜x＜.所求概率为＝.
4．在[－2,3]上随机取一个数x，则(x＋1)(x－3)≤0的概率为________．
答案　
解析　由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由几何概型得所求概率为.
5．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＞0”发生的概率为__________．
答案
解析 由3a－1＞0得a＞，由几何概型知P＝＝.
课后作业
填空题
1．在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为________．
答案　
解析　可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25cm2与49cm2之间为事件A，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10cm，则P(A)＝＝.
2．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a，则这个实数a<13的概率是________．
答案　
解析　这是一个与长度有关的几何概型．所求的概率P＝＝.
3．在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为________．
答案　
解析　由题意如图
知点C在C1C2线段上时分成两条线段围成的矩形面积小于32cm2, ∴P＝＝.
4．如图，一个矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机的撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________．
答案　
解析　据题意得＝＝ S阴影＝.
5．假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC内的概率为________．
答案　
解析　设圆O的半径为R，“所投点落在△ABC内”为事件A，则P(A)＝＝＝.
6．一只蚂蚁在一直角边长为1cm的等腰直角三角形ABC(∠B＝90°)的边上爬行，则蚂蚁距A点不超过1cm的概率为________．
答案 2－
解析 如图，E为斜边AC上的点，且AE＝1cm，则蚂蚁应在线段AE及边AB上爬行，所求概率P＝＝2－.
7．(2015湖北文)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则________．
答案　p1<解析　在直角坐标系中，依次作出不等式x＋y≤，xy≤的可行域如图所示：
依题意，p1＝，p2＝，而＝，所以p1<8．在区间[20,80]内任取一个实数m，则实数m落在区间[50,75]内的概率为________．
答案
解析 选择区间长度度量，则所求概率为＝.
9．(2013·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝______.
答案 3
解析 由图知要使|x|≤m的概率为，易得m＝3.
10． (2014·福建文)如图所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．
答案　0.18
解析　几何概型与随机模拟实验的关系．由题意知，这是个几何概型问题，＝＝0.18.
∵S正＝1，∴S阴＝0.18.
11．取一个边长为2a的正方形及其内切圆如图，随机向正方形内丢一粒豆子，豆子落入圆内的概率为______________________．
答案　
解析　记“豆子落入圆内”为事件A，则P(A)＝＝＝＝.
二、解答题
12．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．
解析 (1)易知基本事件(a，b)共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a－2>0,16－b2>0，Δ≥0，即a>2，－4设“方程有两个正根”为事件A，则事件A包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝＝.
(2)试验的全部结果构成区域为{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，a，b∈N*}，其面积为16.
设“方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b2<16}，其面积为×π×42＝4π.
故所求的概率为P(B)＝＝.
13．已知集合A＝[－2，2]，B＝[－1，1]，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1内的概率；
(2)求以(x，y)为坐标的点到直线x＋y＝0的距离不大于的概率．
解析 (1)集合M内的点形成的区域面积S＝8.
因x2＋y2＝1的面积S1＝π，
故所求概率为P1＝＝.
(2)由题意≤，即－1≤x＋y≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S2＝4，所求概率为P2＝＝.

展开更多......

收起↑