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微专题1　平面向量数量积的综合应用
向量的数量积运算、向量的垂直是考查的热点，平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式考查.解答题以向量为载体，常与三角函数交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查，主要培养数学运算、直观想象等核心素养.
一、平面向量数量积的计算
例1　(1)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________.
答案　12
解析　因为·＝2·，
所以·－·＝·，
所以·＝·.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，
所以2||＝||||cos ，
化简得||＝2.
故·＝·(＋)＝||2＋·
＝(2)2＋2×2cos ＝12.
(2)在△ABC中，已知与的夹角是90°，||＝2，||＝1，M是BC上的一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________.
答案　
解析　根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)，
所以＝(0,2)，＝(1,0)，＝(1，－2).
设M(x，y)，则＝(x，y)，
所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，
所以x＝2y，
又＝λ＋μ，
即(x，y)＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，
所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.
反思感悟　平面向量数量积的运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b的夹角).
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
提醒：解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.
二、平面向量数量积的应用
1.求模
例2－1　已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________.
答案　2
解析　因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)
＝4×＝4，
则||＝2.
2.求夹角
例2－2　已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________.
答案　－
解析　因为2＝，
所以E为BC的中点.
设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，
·＝·(－)
＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，
所以cos θ＝＝＝－.
3.垂直问题
例2－3　△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)
A.|b|＝1 B.a⊥b
C.a·b＝1 D.(4a＋b)⊥
答案　D
解析　∵b＝－＝，
∴|b|＝||＝2，故A错；
∵·＝2×2×cos 60°＝2，
即－2a·b＝2，
∴a·b＝－1，故B，C都错；
∵(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝－4＋4＝0，
∴(4a＋b)⊥，故选D.
反思感悟　(1)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，然后求解.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：由向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝.
(3)两向量垂直的应用
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
三、平面向量的数量积与三角函数的综合问题
例3　(1)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]，若f(x)＝a·b，求f(x)的最值.
解　f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.
(2)已知向量m＝(sin α－2，－cos α)，n＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.
①若m⊥n，求α；
②若|m－n|＝，求cos 2α的值.
解　①若m⊥n，则m·n＝0，
即－sin α(sin α－2)－cos2α＝0，
即sin α＝，可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z.
②若|m－n|＝，则(m－n)2＝2，
即(2sin α－2)2＋(－2cos α)2＝2，
即4sin2α＋4－8sin α＋4cos2α＝2，
即8－8sin α＝2，
可得sin α＝，
所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－.
反思感悟　平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解.

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