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章末复习
一、向量的线性运算
1.
向量运算 法则(或几何意义)
向量的线性运算 加法
减法
数乘 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
2.向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线 x1y2－x2y1＝0.
3.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养.
例1　(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是(　　)
A.(7，－2) B.(1，－2)
C.(1，－3) D.(7,2)
答案　A
解析　∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，
∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2).
(2)设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则(　　)
A.＝－＋
B.＝－
C.＝－
D.＝－＋
答案　D
解析　∵＝3，∴－＝3(－)，
∴2＝3－，∴＝－.
反思感悟　向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量.因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
(2)求解策略
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
②首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝.
③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.
跟踪训练1　在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案　A
解析　作出示意图如图所示.
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.
二、向量的数量积运算
1.向量的夹角及垂直问题
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系.
(2)两个向量的夹角公式(θ为两个非零向量a，b的夹角)：
cos θ＝＝.
2.向量的长度(模)与距离的问题
求向量的模主要有以下两种方法：
(1)利用公式|a|2＝a2将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、合并，使问题得以解决；
(2)利用公式|a|＝将其转化为实数运算，使问题得以解决.
3.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
例2　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
解　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
∴a·b＝＝(k>0).
(2)a·b＝＝≥×2＝，当且仅当k＝1时等号成立，
此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
反思感悟　数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量).
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)
cos θ＝＝ .
跟踪训练2　已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为 .
答案　
解析　由⊥知·＝0，
即·＝(λ＋)·(－)
＝(λ－1)·－λ2＋2
＝(λ－1)×3×2×－λ×9＋4＝0，
解得λ＝.
三、余弦定理、正弦定理
1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积.
2.解斜三角形共包括四种类型：
(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；
(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；
(3)已知三边(先用余弦定理求角)；
(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数).
3.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.
例3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n.求A.
解　方法一　∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，
∴B＝，A＋C＝.
∵m∥n，∴2b2＝3ac，
∴由正弦定理，得2sin2B＝3sin Asin C，
即sin Asin C＝，
∴sin Asin＝，
∴sinA＝，
∴sin Acos A＝cos2A，
∴cos A＝0或tan A＝，∴A＝或A＝.
方法二　2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，∴B＝，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝a2＋c2－ac.(*)
∵m∥n，∴2b2＝3ac，∴b2＝ac.
将b2＝ac代入到(*)中，
得2a2－5ac＋2c2＝0，
解得a＝2c或c＝2a.
当a＝2c时，b＝c，cos A＝＝0，
∴A＝；
当c＝2a时，b＝a，cos A＝＝，
∴A＝.
综上，A＝或A＝.
反思感悟　通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝等.
利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝，cos A＝等，通过代数变换.
跟踪训练3　在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值.
解　(1)由正弦定理，得＝＝，即tan C＝.
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)·＝||||cos C＝abcos C＝4，
且cos C＝cos ＝，∴ab＝8.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－2ab－2abcos
＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.
∴c＝2.
1.已知平面向量＝(1,2)，＝(3,4)，则向量等于(　　)
A.(－4，－6) B.(4,6)
C.(－2，－2) D.(2,2)
答案　C
解析　＝－＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，故选C.
2.设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　A
解析　c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，
又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.
3.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)
A.－ B.
C.1 D.－1
答案　A
解析　由平面向量基本定理，化简＝＋＝＋＝－＋(＋) ＝－，
所以λ＝，μ＝－，即λ＋μ＝－.
4.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(t,2－t)，a－b与a垂直，则|a－b|的最小值为(　　)
A. B.1 C. D.2
答案　B
解析　由题意知a－b与a垂直，
则(a－b)·a＝0，可得a·b＝a2＝1.
又由|a－b|＝
＝＝，
所以当t＝1时，|a－b|取得最小值1.
5.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝bcos C＋ccos B，且a＝1，B＝120°，则b＝ .
答案　
解析　∵c＝bcos C＋ccos B，
∴由正弦定理可得sin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝sin(B＋C)＝sin A，
∴c＝a＝1，
∵B＝120°，
∴由余弦定理可得，b＝＝＝.

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