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章末检测试卷一(第六章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)
1.若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于(　　)
A.(－2,3) B.(0,1)
C.(－1,2) D.(2，－3)
2.已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M的坐标分别为(　　)
A.B(5，－5)，M(0,0)
B.B(5，－5)，M
C.B(1,1)，M(0,0)
D.B(1,1)，M
3.已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(－)·(＋)＝0，则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
4.已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A.－13 B.9 C.－9 D.13
5.已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
7.已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于(　　)
A.－2 B.1 C.－1 D.0
8.已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　)
A.2 B. C.0 D.－
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋acos C＝2c，若a＝b，则sin B等于(　　)
A. B. C. D.
10.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
11.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是(　　)
A.若a∥b且b∥c，则a∥c
B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C.若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D.(a·b)c＝a(b·c)
12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是(　　)
A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
13.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是的△ABC面积的
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
14.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________.
15.在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝________.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，则A＝________；若m∥n，则A＝________.
17.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共82分)
18.(12分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值.
19.(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1).
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值.
20.(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.求tan C的值.
21.(14分)甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？
22.(15分)在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围.
23.(15分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置.
章末检测试卷一(第六章)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)
1.若＝(－1,2)，＝(1，－1)，则等于(　　)
A.(－2,3) B.(0,1)
C.(－1,2) D.(2，－3)
答案　D
解析　＝(－1,2)，＝(1，－1)，
所以＝－＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3).
2.已知A(2，－3)，＝(3，－2)，则点B和线段AB的中点M的坐标分别为(　　)
A.B(5，－5)，M(0,0)
B.B(5，－5)，M
C.B(1,1)，M(0,0)
D.B(1,1)，M
答案　B
解析　＝＋＝(2，－3)＋(3，－2)
＝(5，－5)，AB中点M.
3.已知平面上A，B，C三点不共线，O是不同于A，B，C的任意一点，且(－)·(＋)＝0，则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
答案　A
解析　(－)·(＋)＝0 ·(＋)＝0 (－)·(＋)＝0 ||＝||，所以△ABC是等腰三角形.
4.已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A.－13 B.9 C.－9 D.13
答案　C
解析　设C点坐标为(6，y)，
则＝(－8,8)，＝(3，y＋6).
∵A，B，C三点共线，∴－8(y＋6)－8×3＝0，∴y＝－9.
5.已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶3∶2，则cos B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　依题意设a＝4k，b＝3k，c＝2k(k>0)，则cos B＝＝＝.
6.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
答案　A
解析　∵四边形ABCD为平行四边形，∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，∴·＝2×3＋(－1)×1＝5.
7.已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋λb与a垂直，则λ等于(　　)
A.－2 B.1 C.－1 D.0
答案　C
解析　a＋λb＝(1＋4λ，－3－2λ)，
因为a＋λb与a垂直，所以(a＋λb)·a＝0，
即1＋4λ－3(－3－2λ)＝0，解得λ＝－1.
8.已知向量a＝(1，)，b＝(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　)
A.2 B. C.0 D.－
答案　B
解析　∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m，
a·b＝××cos ，
∴3＋m＝××cos ，
∴m＝.
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos A＋acos C＝2c，若a＝b，则sin B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　∵ccos A＋acos C＝2c，
∴由正弦定理可得sin Ccos A＋sin Acos C＝2sin C，
∴sin(A＋C)＝2sin C，∴sin B＝2sin C，∴b＝2c，
又a＝b，∴a＝2c.
∴cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，∴sin B＝＝.
10.已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈(0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
答案　B
解析　为方向上的单位向量，
为方向上的单位向量，
则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向.
又λ∈(0，＋∞)，
所以λ的方向与＋的方向相同.
而＝＋λ，
所以点P在上移动，
所以点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
11.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法中错误的是(　　)
A.若a∥b且b∥c，则a∥c
B.(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C.若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D.(a·b)c＝a(b·c)
答案　ACD
解析　选项A中，若b＝0，则命题不成立；
选项C中，若a和b，c都垂直，显然b，c在模长方面没有任何关系，所以命题不成立；
选项D中，(a·b)c是一个与向量c共线的向量，而a(b·c)是一个与向量a共线的向量，错误；B显然成立.
12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是(　　)
A.若＝＝，则△ABC一定是等边三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC一定是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形
D.若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形
答案　AC
解析　由＝＝，
利用正弦定理可得＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C，
所以A＝B＝C，△ABC是等边三角形，A正确；
由acos A＝bcos B，可得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确；
由bcos C＋ccos B＝b，
可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
即sin(B＋C)＝sin B，所以sin A＝sin B，
则A＝B，△ABC是等腰三角形，C正确；
由余弦定理可得cos C＝>0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确.
13.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是(　　)
A.若＝＋，则点M是边BC的中点
B.若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C.若＝－－，则点M是△ABC的重心
D.若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是的△ABC面积的
答案　ACD
解析　A.＝＋ －＝－，即＝，则点M是边BC的中点；
B.＝2－，则点M在边CB的延长线上，所以B错误.
C.如图，设BC中点D，则＝－－＝＋＝2，由重心性质可知C成立.
D.＝x＋y，且x＋y＝ 2＝2x＋2y，2x＋2y＝1，设＝2，
所以＝2x＋2y，2x＋2y＝1，可知B，C，D三点共线，所以△MBC的面积是△ABC面积的.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
14.若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________.
答案　
解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，
依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
15.在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则C＝________.
答案　105°或15°
解析　由正弦定理＝，
得sin B＝＝＝.
∵0°∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.
16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，则A＝________；若m∥n，则A＝________.
答案　　
解析　若m⊥n，
则cos A－sin A＝0，
所以tan A＝，则A＝.
若m∥n，则sin A＋cos A＝0，
所以tan A＝－，则A＝.
17.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________.
答案　2
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系(图略)，
则由题意得A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，M.
所以＝，＝，
所以·＝－＝2.
三、解答题(本大题共6小题，共82分)
18.(12分)已知＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，且∥.
(1)求实数n的值；
(2)若⊥，求实数m的值.
解　(1)因为＝(－1,3)，＝(3，m)，＝(1，n)，
所以＝＋＋＝(3,3＋m＋n)，
因为∥，所以＝λ，
即解得n＝－3.
(2)因为＝＋＝(2,3＋m)，
＝＋＝(4，m－3)，
又⊥，所以·＝0，
即8＋(3＋m)(m－3)＝0，解得m＝±1.
19.(12分)已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1).
(1)求a·b，|a＋b|；
(2)求a与b的夹角的余弦值.
解　(1)因为e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以a＝3e1－2e2＝(3，－2)，
b＝4e1＋e2＝(4,1)，
所以a·b＝(3，－2)·(4,1)＝12－2＝10，
a＋b＝(7，－1)，
所以|a＋b|＝＝5.
(2)设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
20.(14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.求tan C的值.
解　由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.
由A＝，得B＋C＝π，
则－cos 2B＝－cos＝sin 2C
＝2sin Ccos C，
所以sin2C＝2sin Ccos C，又sin C≠0，解得tan C＝2.
21.(14分)甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？
解　如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在C处相遇.
在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，
∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，
即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t×，
128t2－60t－27＝0，∴t＝或t＝－(舍去)，
所以甲船用小时能最快追上乙船.
22.(15分)在△ABC中，若c＝，C＝，求a－b的取值范围.
解　∵C＝，∴A＋B＝π，
∴外接圆直径2R＝＝＝2.
∴a－b＝2Rsin A－·2Rsin B
＝2sin A－sin B＝2sin A－sin
＝sin.
∵0∴－－1即a－b∈(－1，).
23.(15分)如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P.
(1)用和分别表示和；
(2)如果＝＋λ＝＋μ，求实数λ和μ的值；
(3)确定点P在边BC上的位置.
解　(1)由＝，
可得＝＋＝－＋.
∵＝，∴＝＋＝－＋.
(2)将＝－＋，＝－＋
代入＝＋λ＝＋μ，
则有＋λ＝＋μ，
即(1－λ)＋λ＝μ＋(1－μ)，
∵，不共线，
∴解得
(3)设＝m，＝n.
由(2)知＝＋，
∴＝－＝n－＝n－＝·＋＝m＝m－m，
∴解得
∴＝，即＝2，
∴点P在BC的三等分点且靠近点C处.

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