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第二节　二项式定理
(1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理；(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．　
重点一　二项式定理
1．二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
2．通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项．
3．二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C．
[注意]　(1)项数为n＋1；(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．
[逐点清]
1．(多选)下列选项正确的有(　　)
A．Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项
B．(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关
C．二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项
D．(a＋b)n展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同
答案：BD
重点二　二项式系数的性质
[逐点清]
2．(2022·陕西高三模拟)若(2－x)10展开式中二项式系数和为A，所有项系数和为B，一次项系数为C，则A＋B＋C＝(　　)
A．4 095　　　　　　　　 B．4 097
C．－4 095 D．－4 097
解析：C　由(2－x)10展开式的通项公式为Tr＋1＝C·210－r·(－x)r＝(－1)r·210－rC·xr，所以一次项系数C＝(－1)1·29·C＝－5 120，二项式系数和A＝210＝1 024，令x＝1，则所有项的系数和B＝(2－1)10＝1，所以A＋B＋C＝－4 095．故选C．
3．(选择性必修第三册34页练习2题改编)化简：C＋C＋…＋C＝________．
解析：因为C＋C＋C＋…＋C＝22n，所以C＋C＋…＋C＝(C＋C＋…＋C)＝22n－1．
答案：22n－1
[记结论]
若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1，2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0 Tr＋1是常数项；
(2)h(r)是非负整数 Tr＋1是整式项；
(3)h(r)是负整数 Tr＋1是分式项；
(4)h(r)是整数 Tr＋1是有理项．
[提速度]
1．7展开式中的常数项是(　　)
A．189 B．63
C．42 D．21
解析：D　Tr＋1＝C(3x3)7－r·r＝37－r·Cx21－r，令21－r＝0，解得r＝6，∴常数项为3C＝21．故选D．
2．二项式(x＋)n(n∈N*)展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：B　Tr＋1＝C·3·2·xn－r，若系数为有理数，则n－r是2的倍数，r是3的倍数，n＝7，r＝3符合题意，故选B．
3．若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．120
解析：B　二项式系数之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C＝20．
二项式中的特定项及系数问题
1．(2021·北京高考)4的展开式中常数项为 ________．
解析：设4展开式的通项为Tr＋1，则Tr＋1＝C·(x3)4－r·r＝(－1)r·C·x12－4r．令12－4r＝0得r＝3．∴展开式中常数项为(－1)3·C＝－4．
答案：－4
2．(2021·天津高考)在6的展开式中，x6的系数是________．
解析：6的第r＋1项为Tr＋1＝C(2x3)6－r·r＝C26－rx3(6－r)·x－r＝C26－rx18－4r，令x18－4r＝x6得r＝3，∴T4＝C×23×x6＝160x6，∴x6的系数是160．
答案：160
3．已知多项式(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若an＝256，则n＝________，a4＝________．
解析：因为(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，所以an＝(－2)n，又an＝256，所以(－2)n＝256，解得n＝8．又(1－2x)8展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr，令r＝4，则T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，所以a4＝1 120．
答案：8　1 120
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤：
第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tk＋1＝Can－kbk，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；
第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出k；
第三步，把k代入通项公式中，即可求出Tk＋1，有时还需要先求n，再求k，才能求出Tk＋1或者其他量．　
二项式系数的性质与各项系数的和
　(多选)在二项式n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则(　　)
A．n＝10
B．展开式中没有常数项
C．展开式所有二项式系数和为1 024
D．展开式所有项的系数和为256
[解析]　因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为C，所以n＝8，A错误； 因为Tk＋1＝C8－k(－3x2)k＝(－3)kCx5k－24，k＝0，1, …，8，因为5k－24≠0，所以展开式中没有常数项，B正确；展开式所有二项式系数和为28＝256，C错误；令x＝1，可得展开式所有项的系数和为(－2)8＝256，D正确．故选B、D．
[答案]　BD
1．求二项展开式的所有项系数之和，常采用赋值法，只需令x＝1即可．
2．二项式系数先增后减中间项最大，当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn．　
　(2022·天津模拟)在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________．
解析：二项式中仅x5的系数最大，其最大值必为Cn，即得＝5，解得n＝10．
答案：10
多项式展开式中特定项(系数)问题
考向1　几个多项式和的展开式中特定项(系数)问题
　在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是(　　)
A．25 B．30
C．35 D．40
[解析]　法一：(1＋x)n的通项公式Tr＋1＝Cxr中，当n依次取3,4,5,6，r取3得到含x3的系数为C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝35．
法二：多项式可化为＝，二项式(x＋1)7的通项公式为Tr＋1＝Cx7－r,7－r＝4 r＝3，含x3项的系数为C＝35．故选C．
[答案]　C
对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．　
考向2　几个多项式积展开式中特定项(系数)问题
　(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．5 B．10
C．15 D．20
[解析]　因为(x＋y)5的展开式的第r＋1项Tr＋1＝Cx5－ryr，所以(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＋C＝15．故选C．
[答案]　C
对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．　
考向3　三项式展开式中特定项(系数)问题
　(x－3y＋2)5的展开式中，常数项为________，所有不含字母x的项的系数之和为________．
[解析]　由多项式知常数项为25＝32．令x＝0，y＝1，即得所有不含字母x的项的系数之和，所以所求系数之和为(0－3×1＋2)5＝(－1)5＝－1．
[答案] 　32　－1
(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法
1．(x2＋3x－1)5展开式中x的系数为(　　)
A．－3　　 B．3
C．－15　　 D．15
解析：D　∵(x2＋3x－1)5＝[(3x－1)＋x2]5＝(3x－1)5＋C(3x－1)4·x2＋…＋(x2)5，含x的项只存在于(3x－1)5中，x的系数为C(－1)4×3＝15．故选D．
2．已知(1＋x)5展开式中的所有项的系数和为64，则实数a＝________；展开式中常数项为________．
解析：令x＝1，可得(1＋x)5展开式中的所有项的系数和为32(a＋1)＝64，则实数a＝1．展开式中常数项为a×C＋C＝1＋5＝6．
答案：1　6
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．在6的展开式中，含x4项的系数为(　　)
A．160　　　　　　　　 B．192
C．184 D．186
解析：B　二项式6的展开式的通项Tr＋1＝C(2x)6－rr＝C26－rx6－2r，当r＝1时，T2＝C×25×x4＝192x4，含x4项的系数为192．故选B．
2．已知n的展开式中第3项是常数项，则n＝(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：A　n的展开式的通项Tk＋1＝(－2)kCx，当k＝2时，T3＝T2＋1＝(－2)2Cx，则＝0，解得n＝6．故选A．
3．(1＋3x)2＋(1＋2x)3＋(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(　　)
A．49 B．56
C．59 D．64
解析：C　令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1＋3)2＋(1＋2)3＋(1＋1)4＝59．故选C．
4．(x＋y)(2x－y)6的展开式中x4y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
解析：D　(2x－y)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－k(－y)k，当k＝2时，T3＝240x4y2，当k＝3时，T4＝－160x3y3，故x4y3的系数为240－160＝80，故选D．
5．已知n的展开式中所有项的系数和等于，则展开式中项的系数的最大值是(　　)
A． B．
C．7 D．70
解析：C　令x＝1得n＝，∴n＝8，∴8的展开式通项公式为Tr＋1＝Cr，要求展开式中项的系数的最大值，则r必为偶数，∴T1＝C0＝1，T3＝C2＝7x2，T5＝C4＝x4，T7＝C6＝x6，T9＝C8＝x8，故选C．
6．(多选)已知n(a<2)的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1 024，则下列说法正确的是(　　)
A．a＝1
B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大
D．展开式中的常数项为45
解析：BCD　由题意，C＝＝45，所以n＝10(负值舍去)，又展开式中各项系数之和为1 024，所以(1－a)10＝1 024，因为a<2，所以a＝－1，故A错误；偶数项的二项式系数和为×210＝×1 024＝512，故B正确；10展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；10的展开式的通项Tr＋1＝Cx－(10－r)·x2r＝Cx－5，令－5＝0，解得r＝2，所以常数项为C＝45，故D正确．故选B、C、D．
7．(多选)关于多项式4的展开式，下列结论中正确的有(　　)
A．各项系数之和为0
B．各项系数的绝对值之和为256
C．存在常数项
D．含x项的系数为－40
解析：ABC　选项A：令x＝1代入多项式，可得各项系数和为(1＋1－2)4＝0，故A正确；
选项B：取多项式4，令x＝1代入多项式可得(1＋1＋2)4＝256，所以原多项式各项系数的绝对值之和为256，故B正确；
选项C：多项式可化为4，则展开式的通项公式为Tr＋1＝C4－r(－2)r，当4－r＝0,2,4即r＝4,2,0时，4－r有常数项，且当r＝0时，常数项为CC＝6，当r＝2时，常数项为C×2×(－2)2＝48，当r＝4时，常数项为(－2)4＝16，故原多项式的展开式的常数项为6＋48＋16＝70，故C正确；
选项D：当r＝1时，展开式中含x的项为CCx(－2)1＝－24x，当r＝3时，含x的项为Cx(－2)3＝－32x，故原多项式的展开式中含x的项的系数为－56，故D错误，故选A、B、C．
8．52 022除以4的余数是________．
解析：由52 022＝(1＋4)2 022＝C＋C·4＋C·42＋…＋C·42 022，∴52 022除以4的余数是C＝1．
答案：1
9．已知(x＋1)n的二项式系数和为128，则C－C2＋C4＋…＋C(－2)n＝________．
解析：由已知可得2n＝128，解得n＝7，所以二项式(x＋1)7＝(1＋x)7的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cxr，令x＝－2，则二项式的展开式为C(－2)0＋C(－2)1＋C(－2)2＋…＋C(－2)7＝C－C2＋C4＋…＋C(－2)7＝(1－2)7＝－1．
答案：－1
10．若(1＋2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．
解析：对于(1＋2x)2 022＝a0＋a1x＋…＋a2 022x2 022，令x＝得，(1＋1)2 022＝a0＋＋＋…＋， 令x＝0得，(1＋0)2 022＝a0，所以a0＝1，所以＋＋…＋＝22 022－1．
答案：22 022－1
B级——综合应用
11．(2022·烟台一模)多项式(x2＋1)(x＋1)(x＋2)(x＋3)展开式中x3的系数为(　　)
A．6 B．8
C．12 D．13
解析：C　原式＝x2(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)，所以展开式中含x3的项包含(x＋1)(x＋2)(x＋3)中含x的项为1·2·x＋2·3·x＋1·3·x＝11x ，和(x＋1)(x＋2)(x＋3)中含x3的项为x3，这两项的系数和为11＋1＝12．故选C．
12．(1＋x＋x2＋x3)4的展开式中，奇次项系数的和是(　　)
A．64 B．120
C．128 D．256
解析：C　设f(x)＝(1＋x＋x2＋x3)4，利用函数的奇偶性可知，f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a12x12．
f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a12＝44，①
f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a12＝0，②
①－②，得2a1＋2a3＋…＋2a11＝44，∴奇次项系数的和为＝128．
13．已知(＋x)n(n∈N*，1≤n≤12)的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n的值________．
解析：(＋x)n的展开式的通项为Tr＋1＝C·()n－r·()rxr，r≤n，r∈N．若系数为有理数，则∈Z，且∈Z．当n＝3时r＝0；n＝4时r＝4；n＝5时r＝2；n＝6时r＝0,6；n＝7时r＝4；n＝8时r＝2,8；n＝9时r＝0,6；n＝10时r＝4,10；n＝11时r＝2,8；n＝12时r＝0,6,12．所以n可取6,8,9,10,11中的任意一个值．
答案：6(n取6,8,9,10,11中任意一个值均可)
14．在(1＋x)5＋(1－2x)6的展开式中，所有项的系数和等于________，含x4的项的系数是________．
解析：(1＋x)5＋(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，将x＝1代入得(1＋1)5＋(1－2)6＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝25＋1＝33．而a4x4＝Cx4＋C(－2x)4＝245x4．
答案：33　245
15．已知(x＋2)5的展开式中的常数项为13，则实数a的值为________，展开式中的各项系数之和为________．
解析：5的展开式通项为Tr＋1＝C·5－r·(－1)r＝(－1)r·a5－rC·xr－5，则(x＋2)5的展开式通项为(－1)r·a5－rC·xr－4＋2(－1)r·a5－rC·xr－5，当r＝4时，(－1)ra5－rCxr－4产生常数项，当r＝5时，2(－1)ra5－rCxr－5产生常数项，则常数项为(－1)4·aC＋2×(－1)5C＝13，即5a－2＝13，解得a＝3，令x＝1，可得展开式中的各项系数之和为(1＋2)5＝96．
答案：3　96
C级——迁移创新
16．(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有(　　)
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：C＝C
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C＝C＋C
C．由“n行所有数之和为2n”猜想：C＋C＋C＋…＋C＝2n
D．由“111＝11,112＝121,113＝1 331”猜想115＝15 101 051
解析：ABC　由杨辉三角的性质以及二项式定理可知A、B、C正确；115＝(10＋1)5＝C105＋C104＋C103＋C102＋C101＋C＝161 051，故D错误．

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