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第六节　离散型随机变量的数字特征
(1)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；(2)能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题．　
重点　离散型随机变量的数字特征
1．均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
2．方差
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝(xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)．
[注意]　 1 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D X 越大，表明平均偏离程度越大，X的取值越分散.反之，D X 越小，X的取值越集中在E X 附近； 2 方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负实数.
[逐点清]
1．(易错题)两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：B　两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，共有32＝9种情况，则投入A邮箱的信件数X所有可能的取值为0,1,2，∴P(X＝2)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝0)＝1－P(X＝2)－P(X＝1)＝．∴离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
∴E(X)＝0＋1×＋2×＝．故选B．
2．(选择性必修第三册70页练习1题改编)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________．
解析：∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，∴D(X)＝(c－c)2×1＝0．
答案：0
[记结论]
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数；
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)；
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2；
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
[提速度]
1．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A． B．
C． D．
解析：A　∵η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，即E(η)＝12＋7＝34，
∴2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，∴m＋n＝，②
由①②，可解得m＝．
2．已知随机变量X的取值为0,1,2，若P(X＝0)＝，E(X)＝1，则D(X)＝(　　)
A． B．
C． D．1
解析：B　设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝－a，从而随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a －a
所以E(X)＝0×＋1·a＋2×＝－a，因为E(X)＝1，所以－a＝1，所以a＝．故D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝．故选B．
离散型随机变量的均值与方差
考向1　均值与方差的性质
1．小智参加三分投篮比赛，投中1次得1分，投不中扣1分，已知小智投篮命中率为0．5，记小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则D(|ξ|)为(　　)
A． B．
C． D．3
解析：B　由题意可得ξ的可能取值为－3,3，－1,1，小智投篮命中率为，所以P(ξ＝3)＝P(ξ＝－3)＝，P(ξ＝1)＝P(ξ＝－1)＝，故随机变量|ξ|的分布列为
|ξ| 1 3
P
故E(|ξ|)＝1×＋3×＝，D(|ξ|)＝2×＋2×＝．故选B．
2．已知X的概率分布列为
X －1 0 1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________，D(Y)＝________．
解析：E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×＋0×＋1×＝－，D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋(x3－E(X))2p3＝2×＋2×＋2×＝．E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×＋3＝，D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝4×＝．
答案：　
离散型随机变量性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E(X)，D(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)求E(Y)，D(Y)；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(Y)或D(Y)．　
考向2　离散型随机变量的均值与方差
　10个计算机芯片中含2个不合格的芯片，现随机从中抽出3个芯片作为样本，用X表示样本中不合格芯片的个数．
(1)求样本中至少含有一个不合格芯片的概率；
(2)计算样本中含不合格芯片数的分布列；
(3)求X的期望与方差．
[解]　根据题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2．且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝．
(1)样本中至少含有一个不合格芯片的概率P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝．
(2)随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
(3)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
方差D(X)＝2×＋2×＋2×＝．
求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)由均值的定义求E(X)；
(5)由方差的定义求D(X)．　
　为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
解：(1)两人所付滑雪费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－－＝，1－－＝．
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付滑雪费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝．
(2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝．
所以ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80．
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝．
均值与方差在决策中的应用
　某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
[解]　(1)当n≥16时，y＝16×(10－5)＝80；
当n≤15时，y＝10n－80．
所以y关于n的函数解析式为y＝n∈N．
(2)①X可能的取值为60,70,80．
P(X＝60)＝0．1，P(X＝70)＝0．2，P(X＝80)＝0．7．
所以X的分布列为
X 60 70 80
P 0．1 0．2 0．7
E(X)＝60×0．1＋70×0．2＋80×0．7＝76，
D(X)＝162×0．1＋62×0．2＋42×0．7＝44．
②法一：花店一天应购进17枝玫瑰花，理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列如下：
Y 55 65 75 85
P 0．1 0．2 0．16 0．54
Y的数学期望为E(Y)＝55×0．1＋65×0．2＋75×0．16＋85×0．54＝76．4．
由以上的计算结果可以看出，E(X)法二：花店一天应购进16枝玫瑰花，理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列如下：
Y 55 65 75 85
P 0．1 0．2 0．16 0．54
Y的数学期望为E(Y)＝55×0．1＋65×0．2＋75×0．16＋85×0．54＝76．4．
Y的方差为D(Y)＝(55－76．4)2×0．1＋(65－76．4)2×0．2＋(75－76．4)2×0．16＋(85－76．4)2×0．54＝112．04．
由以上的计算结果可以看出，D(X)利用样本的数字特征解决有关决策的问题就是根据提取的数据，建立相应的概率模型，然后利用概率知识求出样本的数字特征——数学期望、方差等，通过比较得到最优方案，从而解决问题．解题的关键如下：
(1)建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；　
(2)分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；
(3)求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；
(4)做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策．　
　2022年3·15期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元(含1万元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打5折；若摸出2个红球和1个黑球则打7折；若摸出1个白球2个黑球，则打9折，其余情况不打折．方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2 000元．
(1)若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7折优惠的概率；
(2)若某顾客消费恰好满1万元，试从数学期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？
解：(1)选择方案一，若享受到7折优惠，则需要摸出2个红球和1个黑球，设顾客享受到7折优惠为事件A，
则P(A)＝＝．
(2)若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为5 000,7 000,9 000,10 000，
P(X＝5 000)＝＝，P(X＝7 000)＝＝，P(X＝9 000)＝＝，P(X＝10 000)＝1－－－＝．
故X的分布列为
X 5 000 7 000 9 000 10 000
P
所以E(X)＝5 000×＋7 000×＋9 000×＋10 000×＝≈9 608．3(元)．
若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则Z＝10 000－2 000Y，
由已知可得Y～B，故E(Y)＝3×＝，
所以E(Z)＝E(10 000－2 000Y)＝10 000－2 000E(Y)＝8 800(元)，
因为E(X)>E(Z)，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算．
[课时过关检测]
A级——基础达标
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1,2，若n1＝2，n2＝3，则(　　)
A．E(ξ1)B．E(ξ1)D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
解析：A　抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷ni次，设抛掷次数为随机变量ξi，i＝1,2，n1＝2，n2＝3，∵n1＝2，∴ξ1的分布列为
ξ1 1 2
P
E(ξ1)＝1×＋2×＝，D(ξ1)＝2×＋2×＝，∵n2＝3，∴ξ2的分布列为
ξ2 1 2 3
P
E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝，D(ξ2)＝2×＋2×＋2×＝．
∴E(ξ1)2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝(　　)
ξ －1 0 1
P 1－2q q2
A．1－　　 B．1＋　　　
C．1－　　 D．1＋
解析：C　由离散型随机变量分布列的性质，得解得q＝1－，∴E(ξ)＝(－1)×＋0×(1－2q)＋1×q2＝q2－＝1－．
3．已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　因为取出小球上的数字X的数学期望是2，且个数依次成等差数列，设标有数字1,2,3的小球依次为a－d，a，a＋d个，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，所以E(X)＝＋＋×3＝2 d＝0，a∈N*．故袋中标有数字1,2,3的小球个数相同．不妨设标有数字1,2,3的小球各有1个，从而随机抽取一个小球的概率皆为，方差为×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝，故选B．
4．(多选)对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是(　　)
A．E(X)是反映随机变量的平均取值
B．D(X)越小，说明X越集中于E(X)
C．E(aX＋b)＝aE(X)＋b
D．D(aX＋b)＝a2D(X)＋b
解析：ABC　离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值；即A、B正确；由期望和方差的性质可得，E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，即C正确，D错误．故选A、B、C．
5．(多选)设0ξ 0 1 2
P
A．E(ξ)减小 B．E(ξ)增大
C．D(ξ)先减小后增大 D．D(ξ)先增大后减小
解析：BD　由分布列可得：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，所以当p在(0,1)内增大时，E(ξ)增大，故选项B正确；D(ξ)＝·2＋2＋2＝－p2＋p＋＝－2＋，所以D(ξ)在上单调递增，在上单调递减，先增后减，故选项D正确，故选B、D．
6．已知随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a b
若E(X)＝1，则E(aX＋b)＝________．
解析：由概率分布列的性质知a＋b＝．E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝a＋b＝．
答案：
7．现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则X的数学期望是________．
解析：依题意，X的所有可能值是0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，E(X)＝0×＋1×＋2×＝，所以X的数学期望是．
答案：
8．(2020·浙江高考)盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，E(ξ)＝________．
解析：ξ＝0表示停止取球时没有取到黄球，所以P(ξ＝0)＝＋×＝．随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，则P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＋××＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．
答案：　1
9．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，某校准备成立一个环境保护兴趣小组．该校高二年级有男生400人，女生200人；高三年级有男生100人，女生300人．现按男、女用分层随机抽样的方法从高二年级中抽取6人，从高三年级中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛．
(1)设事件A为“选出参加环保知识竞赛的4人中有两个男生、两个女生，而且这两个男生高二、高三年级学生都有”，求事件A发生的概率；
(2)用X表示抽取的4人中高三年级女生的人数，求X的分布列及方差．
解：(1)由题意可得，抽取了高二年级男生4人，女生2人，高三年级男生1人，女生3人．
所以P(A)＝＝＝．
(2)X的可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，
所以D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝．
B级——综合应用
10．如图所示是一个正方体，现将其六面分别都涂红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色放干后，再切割为125个同样大小的正方体，然后放在足够大的容器内均匀搅拌，若从中随机取出一个小正方体记它的涂有颜色面数为X，则X的均值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　根据题意正方体内部有3×3×3＝27个小正方体没有被涂上颜色，仅有一面被涂上颜色的有6×9＝54个，仅有两个面涂上颜色的有3×12＝36个，有三个面涂上共有8个，故随机变量X的可能取值为0,1,2,3．于是P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝．所以期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝．故选D．
11．(多选)X 0 1 2
P p－p2 1－p p2
A．P(X＝2)的值最大
B．P(X＝0)C．E(X)随着p的增大而减小
D．E(X)随着p的增大而增大
解析：BD　当p＝时，P(X＝2)＝，P(X＝1)＝1－＝>，A错误；因为12．一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则白球的个数为________；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝__________．
解析：设白球的个数为y，从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则＝ ，化简得y2－19y＋70＝0，解得y＝5或y＝14(舍)，由题设知ξ的所有取值是0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝．则随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)＝＋×2＋×3＝．
答案：5　
13．某投资公司在2023年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150．则X1的分布列为
X1 300 －150
P
∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元)，
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000．
若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300,0．则X2的分布列为
X2 500 －300 0
P
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元)，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000．
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
C级——迁移创新
14．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未射中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时射中10环的概率为a，射中9环的概率为b，既未射中9环也未射中10环的概率为c(a，b，c∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，则当＋取最小值时，c的值为________．
解析：由该运动员一次射箭射中环数的期望为9环，得10a＋9b＝9，所以＋＝＝＋10，当且仅当＝，即a＝9b时，＋取得最小值，解得此时c＝1－a－b＝1－－＝．
答案：
15．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0(1)求方差D(ξ)的最大值；
(2)求的最大值．
解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，
从而E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p－p2．
(1)D(ξ)＝p－p2＝－＋＝－2＋，∵0(2)＝＝2－，
∵0当2p＝，即p＝时，取等号．
因此，当p＝时，取得最大值2－2．

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